1、7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 最新考纲考情考向分析 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次 不等式模型 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系 3.会解一元二次不等式， 对给定的一元二次 不等式，会设计求解的程序框图. 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集 合的运算相结合考查一元二次不等式的解 法，有时也在导数的应用中用到，加强函数 与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想 的应用意识本节内容在高考中常以选择题 的形式考查，属于低档题，若在导数的应用 中考查，难度较高. 1“三个二次”的关系 判别式b24ac000)的图象 一元二次方程
2、ax2bxc 0 (a0)的根 有两相异实根 x1，x2 (x10 (a0)的解集 x|xx2 x|x b 2a x|xR 一元二次不等式 ax2bx c0)的解集 x|x1 x0 或(xa)(xb)0 型不等式的解法 不等式 解集 ab (xa)(xb)0 x|xbx|xax|xa (xa)(xb)0 x|axbx|bx0(0(0) (2)fx gx0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式 ax2bxc0.() (2)若不等式 ax2bxc0 的解集是(
3、，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根 是 x1和 x2.() (3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.() (4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且b24ac0.() (5)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxc0 的解集一定不是空 集() 题组二教材改编 2P80A 组 T4已知全集 UR，集合 Ax|x2x60，B x| 4x x10，那么集 合 A(UB)等于() A2,4)B(1,3 C2，1D1,3 答案D 解析因为 Ax|2x3，Bx|x1 或 x4， 故UBx|1x
4、0， 令 3x22x20，得 x11 7 3 ，x21 7 3 ， 3x22x20 的解集为 ，1 7 3 1 7 3 ， . 题组三易错自纠 4不等式x23x40 的解集为_(用区间表示) 答案(4,1) 解析由x23x40 可知，(x4)(x1)0， 得4x0 的解集是 1 2， 1 3 ，则 ab_. 答案14 解析x11 2，x 21 3是方程 ax 2bx20 的两个根， a 4 b 220， a 9 b 320， 解得 a12， b2， ab14. 6已知关于 x 的不等式(a24)x2(a2)x10 的解集为空集，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 2，6 5 解析当 a240
5、时，a2.若 a2，不等式可化为10，显然无解，满足题意；若 a 2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当 a2 时，要使不等式的解集为空集， 则 a240， a224a240， 解得2a6 5. 综上，实数 a 的取值范围为 2，6 5 . 题型一一元二次不等式的求解 命题点 1不含参的不等式 典例 求不等式2x2x30 的解集 解化2x2x30， 解方程 2x2x30，得 x11，x23 2， 不等式 2x2x30 的解集为(，1) 3 2， 即原不等式的解集为(，1) 3 2，. 命题点 2含参不等式 典例 解关于 x 的不等式 ax222xax(aR) 解原不等式可化为 ax2(a
6、2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x2 a (x1)0， 解得 x2 a或 x1. 当 a1，即 a2 时，解得1x 2 a； 当2 a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意； 当2 a1，即2a0 时，不等式的解集为 x|x 2 a或 x1； 当2a0 时，不等式的解集为 x| 2 ax1； 当 a2 时，不等式的解集为1； 当 a2 时，不等式的解集为 x|1x 2 a. 思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论 (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分 类讨论，若不易
7、分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论 (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式， 然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集 跟踪训练 解下列不等式： (1)00， x2x24， 则 x2x10， x3x20， 可得 x2 或 x1， 2x3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为x|2x1 或 2x3 (2)12x2axa2，12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 得 x1a 4，x 2a 3. 当 a0 时，a 4 a 3，解集为 x| xa
8、4或 x a 3； 当 a0 时，x20，解集为x|xR 且 x0； 当 a0 时，a 4 a 3，解集为 x| xa 3或 x a 4. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为 x|x a 4或 x a 3； 当 a0 时，不等式的解集为x|xR 且 x0； 当 a0 时，不等式的解集为 x|x a 3或 x a 4. 题型二一元二次不等式恒成立问题 命题点 1在 R 上的恒成立问题 典例 (1)若一元二次不等式 2kx2kx3 80 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( ) A(3,0B3,0) C3,0D(3,0) 答案D 解析2kx2kx3 80 为一元二次不等式， k0，
9、又 2kx2kx3 80 对一切实数 x 都成立， 则必有 2k0， k242k 3 8 0， 解得3k0，则 a 的取值范围是() A(0,4)B0,4) C(0，)D(，4) 答案B 解析对于xR，ax2ax10， 则必有 a0， a24a0 或 a0，0a4. 命题点 2在给定区间上的恒成立问题 典例 设函数 f(x)mx2mx1.若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围 解要使 f(x)m5 在 x1,3上恒成立， 即 m x1 2 23 4m60 时，g(x)在1,3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)，即 7m60， 所以 m6 7，所以 0m 6 7； 当
10、 m0 时，60 恒成立； 当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数， 所以 g(x)maxg(1)，即 m60， 所以 m6，所以 m0. 综上所述，m 的取值范围是 m|m0， 又因为 m(x2x1)60，所以 m 6 x2x1. 因为函数 y 6 x2x1 6 x1 2 23 4 在1,3上的最小值为6 7，所以只需 m 6 7即可 所以 m 的取值范围是 m|m0， g1x2x24x40. 解得 x3. 故当 x 的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的 m1,1，函数 f(x)的值恒大于零 思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定 的区
11、间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴 下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元， 求谁的范围，谁就是参数 跟踪训练 函数 f(x)x2ax3. (1)当 xR 时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 x2,2时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)当 a4,6时，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围 解(1)当 xR 时，x2ax3a0 恒成立， 需a24(3a)0，即 a24a120， 实数 a 的取值范
12、围是6,2 (2)当 x2,2时，设 g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)： 如图，当 g(x)的图象恒在 x 轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2. 如图，g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x2，)时，g(x)0， 即 0， xa 22， g20， 即 a243a0， a 22， 42a3a0， 可得 a2 或 a6， a4， a7 3， 解得 a. 如图，g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x(，2时，g(x)0. 即 0， xa 22， g20， 即 a243a0， a 22， 7a0， 可得 a2 或 a6， a4， a7. 7a6， 综上，实数
13、 a 的取值范围是7,2 (3)令 h(a)xax23. 当 a4,6时，h(a)0 恒成立 只需 h40， h60， 即 x24x30， x26x30， 解得 x3 6或 x3 6. 实数 x 的取值范围是 (，3 63 6，) 题型三一元二次不等式的应用 典例 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每小时可获得 的利润是 100 5x13 x 元 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 解(1)根据题意，得 200 5
14、x13 x 3 000， 整理得 5x143 x0，即 5x 214x30， 又 1x10，可解得 3x10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是3,10 (2)设利润为 y 元，则 y900 x 100 5x13 x 9104 51 x 3 x2 9104 3 1 x 1 6 261 12， 故当 x6 时，ymax457 500 元 即甲厂以6 千克/小时的生产速度生产900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500 元 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 (2)引进数学符号，
15、将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义 (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 跟踪训练 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低 x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加 8 5x 成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围 解(1)由题意，得 y100 1 x 10 100 1 8 50 x.
16、 因为售价不能低于成本价，所以 100 1 x 10 800. 所以 yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为 x0,2 (2)由题意得 40(10 x)(254x)10 260， 化简得 8x230 x130，解得1 2x 13 4 . 所以 x 的取值范围是 1 2，2. 转化与化归思想在不等式中的应用 典例 (1)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围 是_ 思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为 a，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离 常数，转化为函数值域问题 解析(1)由题意知 f(x)
17、x2axb xa 2 2ba2 4 . f(x)的值域为0，)， ba 2 4 0，即 ba 2 4 . f(x) xa 2 2. 又f(x)c， xa 2 2c， 即a 2 cx0 恒成立， 即 x22xa0 恒成立 即当 x1 时，a(x22x)恒成立 令 g(x)(x22x)， 则 g(x)(x22x)(x1)21 在1，)上单调递减， g(x)maxg(1)3，故 a3. 实数 a 的取值范围是a|a3 答案(1)9(2)a|a3 1不等式(x1)(2x)0 的解集为() Ax|1x2Bx|x1 或 x2 Cx|1x2Dx|x2 答案A 解析由(x1)(2x)0 可知，(x2)(x1)
18、0， 所以不等式的解集为x|1x2 2 (2018河北省三市联考)若集合 Ax|32xx20， 集合 Bx|2x0， 则不等式 f(x)x2的解集为() A1,1B2,2 C2,1D1,2 答案A 解析方法一当 x0 时，x2x2，1x0； 当 x0 时，x2x2，0 x1. 由得原不等式的解集为x|1x1 方法二作出函数 yf(x)和函数 yx2的图象，如图所示，由图知 f(x)x2的解集为1,1 4若集合 Ax|ax2ax10，则实数 a 的取值范围是() Aa|0a4Ba|0a4 Ca|00， a24a0， 得 0320， 即 x228x1920，解得 12x16， 所以每件售价应定为
19、12 元到 16 元之间 6若不等式 x2(a1)xa0 的解集是4,3的子集，则 a 的取值范围是() A4,1B4,3 C1,3D1,3 答案B 解析原不等式为(xa)(x1)0， 当 a1 时， 不等式的解集为a,1， 此时只要 a4 即可， 即4a1 时， 不等式的解集为1， a，此时只要 a3 即可，即 1a3，综上可得4a3. 7若不等式2x22axa1 有唯一解，则 a 的值为_ 答案 1 5 2 解析若不等式2x22axa1 有唯一解，则 x22axa1 有两个相等的实根， 所以4a24(a1)0，解得 a1 5 2 . 8若 0a0 的解集是_ 答案x|ax 1 a 解析原不
20、等式即(xa) x1 a 0， 由 0a1，得 a1 a，ax 1 a. 不等式的解集为 x|ax 1 a. 9(2018济南模拟)若不等式 mx22mx42x24x 对任意 x 都成立，则实数 m 的取值范围 是_ 答案(2,2 解析原不等式等价于，(m2)x22(m2)x40， 当 m20，即 m2 时，对任意 x，不等式都成立； 当 m20，即 m2 时，4(m2)216(m2)0， 解得2m2. 综合，得 m(2,2 10(2018湛江调研)已知函数 f(x)ax2bxc(a0)，若不等式 f(x)0 的解集为 x|x3，则 f(ex)0(e 是自然对数的底数)的解集是_ 答案x|ln
21、 2xln 3 解析依题意可得 f(x)a x1 2 (x3)(a0)，则 f(ex)a ex1 2 (ex3)(a0，可得1 2e x3， 解得ln 2xln 3. 11设二次函数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n(m0 的解集； (2)若 a0，且 0 xmn0， 即 a(x1)(x2)0. 当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为x|x2； 当 a0 的解集为x|1x0，且 0 xmn1 a， xm0. f(x)m0，即 f(x)m. 12已知不等式(ab)x2a3b 3 4，求不等式(a2b)x22(ab1)x a20 的解集 解因为(ab)x2a
22、3b0， 所以(ab)x 3 4， 所以 ab0，且3b2a ab 3 4， 解得 a3b0， 等价于 bx2(4b2)x3b20， 即 x2 42 b x32 b0， 即(x1) x32 b 0. 因为32 b1， 所以所求不等式的解集为 x|3 2 bx0 在区间1,5上有解， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 23 5 ， 解析方法一x2ax20 在 x1,5上有解， 令 f(x)x2ax2， f(0)20，即 255a20，解得 a23 5 . 方法二由 x2ax20 在 x1,5上有解， 可得 a2x 2 x 2 xx 在 x1,5上有解 又 f(x)2 xx 在 x1,5上是减函数
23、， 2 xxmin23 5 ，只需 a23 5 . 14 不等式 a28b2b(ab)对于任意的 a， bR 恒成立， 则实数的取值范围为_ 答案8,4 解析因为 a28b2b(ab)对于任意的 a，bR 恒成立，所以 a28b2b(ab)0 对于 任意的 a，bR 恒成立，即 a2ba(8)b20 恒成立， 由一元二次不等式的性质可知， 2b24(8)b2b2(2432)0， 所以(8)(4)0，解得84. 15(2018郑州质检)已知函数 f(x) x22x，x0， x22x，x0， 若关于 x 的不等式f(x)2af(x) b20 恰有 1 个整数解，则实数 a 的最大值是() A2B3
24、 C5D8 答案D 解析作出函数 f(x)的图象如图实线部分所示， 由f(x)2af(x)b20， 得a a 24b2 2 f(x)a a 24b2 2 ， 若 b0，则 f(x)0 满足不等式，即不等式有 2 个整数解，不满足题意，所以 b0，所以 af(x)0，且整数解 x 只能是 3，当 2x4 时，8f(x)0， 所以8a3，即 a 的最大值为 8，故选 D. 16(2017宿州模拟)若关于 x 的不等式 4x2x 1a0 在1,2上恒成立，则实数 a 的取值范 围为_ 答案(，0 解析因为不等式 4x2x 1a0 在1,2上恒成立， 所以 4x2x 1a 在1,2上恒成立 令 y4x2x 1(2x)222x11(2x1)21. 因为 1x2，所以 22x4. 由二次函数的性质可知，当 2x2，即 x1 时，y 取得最小值 0，所以实数 a 的取值范围 为(，0
