1、8.4直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 最新考纲考情考向分析 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发 点，认识和理解空间中线面平行的有关性 质与判定定理. 2.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一 些有关空间图形的平行关系的简单命题. 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的 重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、 面面平行的判定及其应用等内容题型主要 以解答题的形式出现，解题要求有较强的推 理论证能力，广泛应用转化与化归的思想. 1线面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行(简记为 “
2、线线平行线面平行”) la a l l 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行(简记为“线面平行线线平行”) l l b lb 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一 个平面平行，则这两个平面平行(简 记为“线面平行面面平行”) a b abP a b 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平 面相交，那么它们的交线平行 a b ab 知识拓展 重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab. (
3、3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面() (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行() (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面() (5)若直线 a 与平面内无数条直线平行，则 a.() (6)若，直线 a，则 a.() 题组二教材改编 2P61A 组 T1(1)下列命题中正确的是() A若 a，b 是两条直线，且 ab，
4、那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B若直线 a 和平面满足 a，那么 a 与内的任何直线平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线 a，b 和平面满足 ab，a，b，则 b 答案D 解析A 中，a 可以在过 b 的平面内；B 中，a 与内的直线也可能异面；C 中，两平面可相 交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知 b，正确 3P62A 组 T3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_ 答案平行 解析连接 BD，设 BDACO，连接 EO， 在BDD1中， E 为 DD1的中点， O 为 BD 的中点， 所以 EO 为
5、BDD1的中位线， 则 BD1EO， 而 BD1平面 ACE，EO平面 ACE， 所以 BD1平面 ACE. 题组三易错自纠 4若平面平面，直线 a平面，点 B，则在平面内且过 B 点的所有直线中() A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一与 a 平行的直线 答案A 解析当直线 a 在平面内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A. 5设，为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件： a，b，a，b；，； ，；a，b，ab. 其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号) 答案 解析在条件或条件中，或与相交； 由，条件
6、满足； 在中，a，abb，又 b，从而，满足 6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为 _ 答案平行四边形 解析平面 ABFE平面 DCGH， 又平面 EFGH平面 ABFEEF，平面 EFGH平面 DCGHHG， EFHG.同理 EHFG， 四边形 EFGH 是平行四边形 题型一直线与平面平行的判定与性质 命题点 1直线与平面平行的判定 典例如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC1 2AD，E，F，H 分别为线段 AD， PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点 (1)求证：AP平面 BEF；
7、 (2)求证：GH平面 PAD. 证明(1)连接 EC， ADBC，BC1 2AD， BC 綊 AE， 四边形 ABCE 是平行四边形， O 为 AC 的中点 又 F 是 PC 的中点，FOAP， 又 FO平面 BEF，AP平面 BEF，AP平面 BEF. (2)连接 FH，OH，F，H 分别是 PC，CD 的中点， FHPD，又 PD平面 PAD，FH平面 PAD， FH平面 PAD. 又 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， OHAD，又 AD平面 PAD，OH平面 PAD， OH平面 PAD. 又 FHOHH，平面 OHF平面 PAD. 又 GH平面 OHF，GH平面 PAD.
8、命题点 2直线与平面平行的性质 典例 (2017长沙调研)如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD， BC平面 GEFH. (1)证明：GHEF； (2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积 (1)证明因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC， 且平面 PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC. 同理可证 EFBC，因此 GHEF. (2)解如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP， GK. 因为 PAPC，O 是 AC
9、的中点，所以 POAC， 同理可得 POBD. 又 BDACO，且 AC，BD底面 ABCD， 所以 PO底面 ABCD. 又因为平面 GEFH平面 ABCD， 且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH. 因为平面 PBD平面 GEFHGK， 所以 POGK，且 GK底面 ABCD， 从而 GKEF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB8，EB2 得 EBABKBDB14， 从而 KB1 4DB 1 2OB，即 K 为 OB 的中点 再由 POGK 得 GK1 2PO， 即 G 是 PB 的中点，且 GH1 2BC4. 由已知可得 OB4 2， PO PB2OB2 68326
10、， 所以 GK3. 故四边形 GEFH 的面积 SGHEF 2 GK 48 2 318. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点) (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba) (3)利用面面平行的性质(，aa) (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa) 跟踪训练 (2016全国)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABAD AC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明：MN平面 PAB； (2)求四面体 N-BCM 的体积 (1)证明由已知得 AM2 3AD2. 如图， 取 BP
11、的中点 T， 连接 AT， TN， 由 N 为 PC 中点知 TNBC， TN1 2BC2. 又 ADBC，故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形， 于是 MNAT. 因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB， 所以 MN平面 PAB. (2)解因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 ABAC3 得 AEBC，AE AB2BE2 5. 由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 SBCM1 24 52 5. 所以四面体 N-BCM 的体积 V四面体N-BCM1 3S
12、BCMPA 2 4 5 3 . 题型二平面与平面平行的判定与性质 典例 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中 点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明(1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点， GH 是A1B1C1的中位线， GHB1C1. 又B1C1BC，GHBC， B，C，H，G 四点共面 (2)E，F 分别是 AB，AC 的中点， EFBC. EF平面 BCHG，BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. A1G 綊 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形， A1EGB
13、. 又A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG. 又A1EEFE，A1E，EF平面 EFA， 平面 EFA1平面 BCHG. 引申探究 在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D. 证明如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M， 四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD， D 为 BC 的中点， A1BDM. A1B平面 A1BD1， DM平面 A1BD1， DM平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊 BD， 四边形 BDC1D1为平行四边形， DC1BD1. 又 DC1平
14、面 A1BD1，BD1平面 A1BD1， DC1平面 A1BD1. 又DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D， 平面 A1BD1平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义 (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行 (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化 跟踪训练 (2018唐山质检)如图所示， 四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形， M， N， G 分别是 AB，AD，EF 的中点求
15、证： (1)BE平面 DMF； (2)平面 BDE平面 MNG. 证明(1)如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则 AE 必过点 O， 连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线， 所以 BEMO. 因为 BE平面 DMF， MO平面 DMF， 所以 BE平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点， 所以 DEGN. 因为 DE平面 MNG，GN平面 MNG， 所以 DE平面 MNG. 因为 M 为 AB 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线， 所以 BDMN. 因为 BD平面 MNG，MN平面 MNG， 所以 BD平面 MNG
16、. 因为 DEBDD，BD，DE平面 BDE， 所以平面 BDE平面 MNG. 题型三平行关系的综合应用 典例如图所示，平面平面，点 A，点 C，点 B，点 D，点 E，F 分别在线 段 AB，CD 上，且 AEEBCFFD. (1)求证：EF平面； (2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC4，BD6，且 AC，BD 所成的角为 60，求 EF 的长 (1)证明当 AB，CD 在同一平面内时，由平面平面，平面平面 ABDCAC，平面 平面 ABDCBD 知，ACBD. AEEBCFFD，EFBD. 又 EF，BD，EF平面. 当 AB 与 CD 异面时，如图所示，设平面 ACD平面D
17、H，且 DHAC， 平面平面，平面平面 ACDHAC， ACDH， 四边形 ACDH 是平行四边形， 在 AH 上取一点 G，使 AGGHCFFD， 连接 EG，FG，BH. 又AEEBCFFDAGGH， GFHD，EGBH. 又 EGGFG，BHHDH， 平面 EFG平面. 又 EF平面 EFG，EF平面. 综合可知，EF平面. (2)解如图所示，连接 AD，取 AD 的中点 M，连接 ME，MF. E，F 分别为 AB，CD 的中点， MEBD，MFAC， 且 ME1 2BD3，MF 1 2AC2. EMF 为 AC 与 BD 所成的角或其补角， EMF60或 120. 在EFM 中，由余
18、弦定理得 EF ME2MF22MEMFcosEMF 32222321 2 136， 即 EF 7或 EF 19. 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用 来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 跟踪训练如图所示， 四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面， 若截面为平行四边形 (1)求证：AB平面 EFGH，CD平面 EFGH； (2)若 AB4，CD6，求四边形 EFGH 周长的取值范围 (1)证明四边形 EFGH 为平行四边形， EFHG. HG平面 ABD，EF平面 ABD， EF平面 ABD. 又EF平面 ABC，平面
19、 ABD平面 ABCAB， EFAB，又AB平面 EFGH，EF平面 EFGH， AB平面 EFGH.同理可证，CD平面 EFGH. (2)解设 EFx(0 x4)， EFAB，FGCD， CF CB x 4，则 FG 6 BF BC BCCF BC 1x 4. FG63 2x. 四边形 EFGH 为平行四边形， 四边形 EFGH 的周长 l2 x63 2x12x. 又0 x4，8l12， 即四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,12) 1若直线 l 不平行于平面，且 l，则() A内的所有直线与 l 异面 B内不存在与 l 平行的直线 C与直线 l 至少有两个公共点 D内的直线与 l 都相
20、交 答案B 解析因为 l，直线 l 不平行于平面，所以直线 l 只能与平面相交，于是直线 l 与平面 只有一个公共点，所以平面内不存在与 l 平行的直线 2已知直线 a 和平面，那么 a的一个充分条件是() A存在一条直线 b，ab 且 b B存在一条直线 b，ab 且 b C存在一个平面，a且 D存在一个平面，a且 答案C 解析在 A，B，D 中，均有可能 a，错误；在 C 中，两平面平行，则其中一个平面内的 任一条直线都平行于另一平面，故 C 正确 3(2018攀枝花质检)平面平面，点 A，C，点 B，D，则直线 AC直线 BD 的充 要条件是() AABCDBADCB CAB 与 CD
21、相交DA，B，C，D 四点共面 答案D 解析充分性：A，B，C，D 四点共面，由平面与平面平行的性质知 ACBD.必要性显然成立 4一条直线 l 上有相异的三个点 A，B，C 到平面的距离相等，那么直线 l 与平面的位置关 系是() AlBl Cl 与相交但不垂直Dl或 l 答案D 解析当 l时，直线 l 上任意点到的距离都相等；当 l时，直线 l 上所有的点到的距 离都是 0；当 l时，直线 l 上有两个点到的距离相等；当 l 与斜交时，也只能有两个点到 的距离相等故选 D. 5对于空间中的两条直线 m，n 和一个平面，下列命题中的真命题是() A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn
22、 C若 m，n，则 mn D若 m，n，则 mn 答案D 解析对 A，直线 m，n 可能平行、异面或相交，故 A 错误；对 B，直线 m 与 n 可能平行， 也可能异面，故 B 错误；对 C，m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面的 两直线平行，故 D 正确 6 如图， L， M， N 分别为正方体对应棱的中点， 则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是() A垂直B相交不垂直 C平行D重合 答案C 解析如图，分别取另三条棱的中点 A，B，C，将平面 LMN 延展为 平面正六边形 AMBNCL，因为 PQAL，PRAM，且 PQ 与 PR 相 交， AL 与 AM
23、相交， 所以平面 PQR平面 AMBNCL， 即平面 LMN 平面 PQR. 7(2018重庆模拟)在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体 的四个面中与 MN 平行的是_ 答案平面 ABD 与平面 ABC 解析如图，取 CD 的中点 E，连接 AE，BE， 则 EMMA12， ENBN12， 所以 MNAB. 所以 MN平面 ABD， MN平面 ABC. 8 设， ， 是三个不同的平面， m， n 是两条不同的直线， 在命题“m， n， 且_， 则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_ 答案或 解
24、析由面面平行的性质定理可知，正确；当 n，m时，n 和 m 在同一平面内，且没 有公共点，所以平行，正确 9(2017承德模拟)如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱 CC1， C1D1，D1D，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需 满足条件_时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必 考虑全部可能情况) 答案点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合) 解析连接 HN，FH，FN，则 FHDD1，HNBD， 平面 FHN平面 B1BDD1，只需 MFH， 则 M
25、N平面 FHN，MN平面 B1BDD1. 10(2018海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍 是真命题，则该命题称为“可换命题”给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两 直线平行；平行于同一平面的两直线平行其中是“可换命题”的是_(填序号) 答案 解析由线面垂直的性质定理可知是真命题， 且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题， 故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不 是“可换命题”；由公理 4 可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题， 故是“可换命题”；
26、因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命 题，故不是“可换命题” 11(2017南昌模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为 梯形，ABCD，AB2DC2 3，且PAD 与ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点，G 为 PAD 的重心 (1)求证：GF平面 PDC； (2)求三棱锥 GPCD 的体积 (1)证明方法一连接 AG 并延长交 PD 于点 H，连接 CH. 由梯形 ABCD 中 ABCD 且 AB2DC 知，AF FC 2 1. 又 E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心，AG GH 2 1. 在AHC 中，AG
27、GH AF FC 2 1，故 GFHC. 又 HC平面 PCD，GF平面 PCD， GF平面 PDC. 方法二过 G 作 GNAD 交 PD 于 N，过 F 作 FMAD 交 CD 于 M，连接 MN， G 为PAD 的重心，GN ED PG PE 2 3， GN2 3ED 2 3 3 . 又 ABCD 为梯形，ABCD， CD AB 1 2， CF AF 1 2， MF AD 1 3，MF 2 3 3 ，GNFM. 又由所作 GNAD，FMAD，得 GNFM， 四边形 GNMF 为平行四边形 GFMN，又GF平面 PCD，MN平面 PCD， GF平面 PDC. 方法三过 G 作 GKPD 交
28、 AD 于 K，连接 KF，GK， 由PAD 为正三角形，E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心，得 DK2 3DE，DK 1 3AD， 又由梯形 ABCD 中 ABCD，且 AB2DC， 知AF FC 2 1，即 FC 1 3AC， 在ADC 中，KFCD， 又GKKFK，PDCDD， 平面 GKF平面 PDC， 又 GF平面 GKF，GF平面 PDC. (2)解方法一由平面 PAD平面 ABCD， PAD 与ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点， 知 PEAD，BEAD， 又平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 PAD， PE平面 ABCD，且 PE3， 由(1)知 GF平
29、面 PDC， V三棱锥GPCDV三棱锥FPCDV三棱锥PCDF 1 3PES CDF. 又由梯形 ABCD 中 ABCD，且 AB2DC2 3，知 DF1 3BD 2 3 3 ， 又ABD 为正三角形，得CDFABD60， SCDF1 2CDDFsinBDC 3 2 ， 得 V三棱锥PCDF1 3PES CDF 3 2 ， 三棱锥 GPCD 的体积为 3 2 . 方法二由平面 PAD平面 ABCD，PAD 与ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点，知 PEAD，BEAD， 又平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 PAD， PE平面 ABCD，且 PE3， 连接 CE，PG2 3PE，
30、V三棱锥GPCD2 3V 三棱锥EPCD2 3V 三棱锥PCDE 2 3 1 3PES CDE， 又ABD 为正三角形，得EDC120， 得 SCDE1 2CDDEsinEDC 3 3 4 . V三棱锥GPCD2 3 1 3PES CDE 2 3 1 33 3 3 4 3 2 ， 三棱锥 GPCD 的体积为 3 2 . 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，BCPD2，E 为 PC 的中点，CB3CG. (1)求证：PCBC； (2)AD 边上是否存在一点 M，使得 PA平面 MEG？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请 说明理由 (1)证明因为
31、 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD， 所以 PDBC. 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BCCD. 又 PDCDD，PD，CD平面 PCD， 所以 BC平面 PCD. 因为 PC平面 PDC，所以 PCBC. (2)解连接 AC，BD 交于点 O，连接 EO，GO， 延长 GO 交 AD 于点 M，连接 EM，则 PA平面 MEG. 证明如下：因为 E 为 PC 的中点，O 是 AC 的中点， 所以 EOPA. 因为 EO平面 MEG，PA平面 MEG， 所以 PA平面 MEG. 因为OCGOAM， 所以 AMCG2 3， 所以 AM 的长为2 3. 13 (2018南昌质检)在四
32、面体 ABCD 中， 截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中， 错误的是() AACBD BAC截面 PQMN CACBD D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 答案C 解析因为截面 PQMN 是正方形，所以 MNQP， 又 PQ平面 ABC，MN平面 ABC，则 MN平面 ABC， 由线面平行的性质知 MNAC，又 MN平面 PQMN， AC平面 PQMN，则 AC截面 PQMN，同理可得 MQBD，又 MNQM，则 ACBD，故 A，B 正确 又因为 BDMQ，所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，即为 45， 故 D 正确 14(2017山西太
33、原五中月考)过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平 面 ABB1A1平行的直线共有_条 答案6 解析过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线只可能落在平面 DEFG 中(其中 D，E，F，G 分别为 AC，BC，B1C1，A1C1的中点)易知经过 D，E，F，G 中任意两点的直 线共有 C246(条) 15如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12， AB1，M，N 分别在 AD1，BC 上移动，始终保持 MN平面 DCC1D1，设 BNx，MNy， 则函数 yf(x)的图象大致
34、是() 答案C 解析过 M 作 MQDD1，交 AD 于点 Q，连接 QN. MN平面 DCC1D1，MQ平面 DCC1D1， MNMQM，平面 MNQ平面 DCC1D1. 又平面 ABCD 与平面 MNQ 和 DCC1D1分别交于 QN 和 DC， NQDC， 可得 QNCDAB1，AQBNx， MQ AQ DD1 AD 2，MQ2x. 在 RtMQN 中，MN2MQ2QN2，即 y24x21， y24x21(x0，y1)，函数 yf(x)的图象为焦点在 y 轴上的双曲线上支的一部分故 选 C. 16(2018哈尔滨模拟)在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形，SASBSC
35、 15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于点 D，E，F，H.D，E 分别是 AB，BC 的中 点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为_ 答案 45 2 解析如图，取 AC 的中点 G， 连接 SG，BG. 易知 SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面 SGB， 故 AC平面 SGB， 所以 ACSB. 因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD， 则 SBHD. 同理 SBFE. 又 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 则 H，F 也为 AS，SC 的中点， 从而得 HF 綊 1 2AC 綊 DE， 所以四边形 DEFH 为平行四边形 又 ACSB，SBHD，DEAC， 所以 DEHD， 所以四边形 DEFH 为矩形， 其面积 SHFHD 1 2AC 1 2SB45 2 .
