1、第第 3 讲讲基本不等式及其应用基本不等式及其应用 一、选择题 1.下列不等式一定成立的是() A.lg x21 4 lg x(x0)B.sin x 1 sin x2(xk，kZ) C.x212|x|(xR)D. 1 x211(xR) 解析当 x0 时，x21 42x 1 2x，所以 lg x21 4 lg x(x0)，故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当 xk ，kZ 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x0 时，有 1 x211，故选项 D 不正确. 答案C 2.若 2x2y1，则 xy 的取值范围是(
2、) A.0，2B.2，0 C.2，)D.(，2 解析2 2x y2x2y1，所以 2xy1 4，即 2 xy22，所以 xy2. 答案D 3.(2016合肥二模)若 a，b 都是正数，则 1b a 14a b 的最小值为() A.7B.8C.9D.10 解析a，b 都是正数， 1b a 14a b 5b a 4a b 52 b a 4a b 9，当 且仅当 b2a0 时取等号.故选 C. 答案C 4.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是() A. 1 ab 1 4 B.1 a 1 b1 C. ab2D.a2b28 解析4ab2 ab(当且仅当 ab 时，等号成立)，即 ab2，a
3、b4，1 ab 1 4，选项 A，C 不成立； 1 a 1 b ab ab 4 ab1，选项 B 不成立；a 2b2(ab)2 2ab162ab8，选项 D 成立. 答案D 5.(2015湖南卷)若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) A. 2B.2C.2 2D.4 解析依题意知 a0，b0，则1 a 2 b2 2 ab 2 2 ab，当且仅当 1 a 2 b，即 b 2a 时， “”成立. 因为1 a 2 b ab，所以 ab 2 2 ab，即 ab2 2， 所以 ab 的最小值为 2 2，故选 C. 答案C 6.若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则
4、 xy 的最大值是() A.4 3 B.5 3 C.2D.5 4 解析由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时 等号成立)，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2. 答案C 7.(2017安庆二模)已知 a0，b0，ab1 a 1 b，则 1 a 2 b的最小值为( ) A.4B.2 2C.8D.16 解析由 a0，b0，ab1 a 1 b ab ab ，得 ab1， 则1 a 2 b2 1 a 2 b2 2.当且仅当 1 a 2 b，即 a 2 2 ，b 2时等号成立.故选 B. 答案B 8.(2017福州六校联考)已知函数 f(x
5、)xa x2 的值域为(，04，)， 则 a 的值是() A.1 2 B.3 2 C.1D.2 解析由题意可得 a0， 当 x0 时， f(x)xa x22 a2， 当且仅当 x a 时取等号；当 x0， mn1， 则1 m 1 n的 最大值为_. 解析mn0，mn1，m0，n0，b0，若不等式3 a 1 b m a3b恒成立，则 m 的最大值为( ) A.9B.12C.18D.24 解 析因 为 a0 ， b0 ， 不 等 式 3 a 1 b m a3b 恒 成 立 ， 所 以 m （a3b） 3 a 1 b min ，因为(a3b) 3 a 1 b 69b a a b62 9b a a b
6、 12，当且仅当 a3b 时取等号，所以 m 的最大值为 12. 答案B 14.(2017石家庄调研)设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d 1，则Sn8 an 的最小值是() A.9 2 B.7 2 C.2 21 2 D.2 21 2 解析易知 ana1(n1)dn，Snn（n1） 2 . Sn8 an n（n1） 2 8 n 1 2 n16 n 1 1 2 2n16 n 1 9 2，当且仅当 n4 时取等号， 因此Sn8 an 的最小值为9 2. 答案A 15.(2017辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x1)2(y 1)28 上，则 ab
7、的最大值为_. 解析由题意知 a0，b0，且(a1)2(b1)28，化简得 a2b22(ab) 6， 则 62ab4 ab(当且仅当 ab 时取等号)， 令 t ab(t0)， 则 t22t30， 解得 0t1，则 0ab1，所以 ab 的最大值为 1. 答案1 16.正数 a，b 满足1 a 9 b1，若不等式 abx 24x18m 对任意实数 x 恒 成立，则实数 m 的取值范围是_. 解析因为 a0，b0，1 a 9 b1，所以 ab(ab) 1 a 9 b 10b a 9a b 10 2 916， 由题意，得 16x24x18m，即 x24x2m 对任意实数 x 恒成立. 又 x24x2(x2)26，所以 x24x2 的最小值为6，所以6m，即 m6. 答案6，)
