1、第第 3 课时课时导数与函数的综合问题导数与函数的综合问题 一、选择题 1.方程 x36x29x100 的实根个数是() A.3B.2C.1D.0 解析设 f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可 知函数的极大值为 f(1)60，极小值为 f(3)100，所以方程 x36x2 9x100 的实根个数为 1. 答案C 2.若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立，则实数 a 的取值范围是() A.(，)B.(2，) C.(0，)D.(1，) 解析2x(xa)1，ax 1 2x. 令 f(x)x 1 2x，f(x)12 xln 20. f(x)在(0，)上单调递
2、增， f(x)f(0)011， 实数 a 的取值范围为(1，). 答案D 3.(2017山东省实验中学诊断)若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x)xf(x)0，则 () A.3f(1)f(3) C.3f(1)f(3)D.f(1)f(3) 解析由于 f(x)xf(x)， 则 f（x） xxf（x）f（x） x2 0 恒成立， 因此f（x） x 在 R 上是单调递减函数，f（3） 3 f(3). 答案B 4.(2017德阳模拟)方程 f(x)f(x)的实数根 x0叫作函数 f(x)的“新驻点”，如果 函数 g(x)ln x 的“新驻点”为 a，那么 a 满足() A.a1B.0a1 C.
3、2a3D.1a2 解析g(x)1 x，ln x 1 x. 设 h(x)ln x1 x， 则 h(x)在(0，)上为增函数. 又h(1)10， h(x)在(1，2)上有零点，1a2. 答案D 5.(2017贵阳联考)已知函数 f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表： x10234 f(x)12020 f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示.当 1a2 时，函数 yf(x)a 的零点的个 数为() A.1B.2C.3D.4 解析根据导函数图象，知 2 是函数的极小值点，函数 yf(x)的大致图象如图 所示. 由于 f(0)f(3)2，1a2，所以 yf(x)a 的零点个数为 4. 答案D
4、二、填空题 6.已知函数 yx33xc 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c_. 解析设 f(x)x33xc，对 f(x)求导可得，f(x)3x23，令 f(x)0，可得 x1，易知 f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1，1)上单调递减， 若 f(1)13c0，可得 c2；若 f(1)13c0，可得 c2. 答案2 或 2 7.若函数 f(x)axln x 在 1 2，上单调递增，则实数 a 的取值范围为 _. 解析由已知得 f(x)a1 x 0 对x 1 2，恒成立，a1 x 对x 1 2，恒成立，1 x 1 1 2 2，a2. 答案2，) 8.(2017安徽江南名校联考)已知
5、x(0，2)，若关于 x 的不等式 x ex0. 即 kx22x 对任意 x(0，2)恒成立，从而 k0， 因此由原不等式，得 k0，函数 f(x)在(1，2)上单调递增， 当 x(0，1)时，f(x)0，函数 f(x)在(0，1)上单调递减，所以 k1 时，令 g(x)0 解得 xea 11. 当 0 xea 11 时，g(x)ea11 时，g(x)0， g(x)在(0，ea 11)上递减，在(ea11，)上递增， g(ea 11)1 时，不是对所有的 x0，都有 f(x)ax 成立. 综上，由(1)(2)可知，实数 a 的取值范围是(，1. 10.(2017武汉调研)已知函数 f(x)ln
6、 xa（x1） x (aR). (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)求证：不等式(x1)ln x2(x1)对x(1，2)恒成立. (1)解定义域为(0，)，f(x)xa x2 . a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数； a0 时，f(x)在(a，)上为增函数，在(0，a) 上为减函数. (2)证明法一x(1，2)，x10， 要证原不等式成立，即证 ln x2（x1） x1 对x(1，2)恒成立，令 g(x)ln x 2（x1） x1 ， g(x)（x1） 2 （x1）20，g(x)在(0，)上为增函数， 当 x(1，2)时，g(x)g(1)ln 12（11） 11 0， l
7、n x2（x1） x1 对x(1，2)恒成立， (x1)ln x2(x1)对x(1，2)恒成立. 法二令 F(x)(x1)ln x2(x1)， F(x)ln xx1 x 2， ln xx1 x . 令(x)ln xx1 x ，由(1)知 a1 时， (x)在(0，1)上为减函数，在(1，)上为增函数. x(1，2)，则(x)在(1，2)为增函数，(x)(1)0， 即 x(1，2)，F(x)0，F(x)在(1，2)上为增函数， F(x)F(1)0， (x1)ln x2(x1)对x(1，2)恒成立. 11.函数 f(x)3x2ln x2x 的极值点的个数是() A.0B.1C.2D.无数个 解析函
8、数定义域为(0，)， 且 f(x)6x1 x2 6x22x1 x ， 由于 x0，g(x)6x22x1 中200 恒成立，故 f(x)0 恒成立， 即 f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 答案A 12.(2014全国卷)已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是() A.(2，)B.(，2) C.(1，)D.(，1) 解析法一由题意 a0，由 f(x)3ax26x0 得 x0 或 x2 a. 当 a0 时，f(x)在(，0)和 2 a，上单调递增，在 0，2 a 上单调递减. 且 f(0)10，故 f(x)有小于 0 的零点，不
9、符合题意，排除 A，C. 当 a0 且唯一，只需 f 2 a 0，即 a24，a2，故选 B. 法二f(x)有唯一正零点 x0，等价于方程 ax33x210 有唯一正根 x0，即 a 3 x 1 x3有唯一正根 x 0. 令 g(x)3 x 1 x3，g(x) 3（1x） （1x） x4 ， g(x)在(，1)上递减，(1，0)上递增，(0，1)上递增，(1，)上递 减. 又 g(1)2，g(1)2，且当 x1 时，g(x)1 时，g(x)0， g(x)的大致图象如图： 直线 ya 与 yg(x)有唯一交点，且横坐标 x00，只需 ag(1)2. 答案B 13.(2017西安模拟)定义域为 R
10、 的可导函数 yf(x)的导函数 f(x)， 满足 f(x)f(x)， 且 f(0)2，则不等式 f(x)2ex的解集为() A.(，0)B.(，2) C.(0，)D.(2，) 解析设 g(x)f（x） ex ，则 g(x)f（x）f（x） ex ， f(x)f(x)，g(x)0，g(x)在 R 上为减函数， f(0)2，g(0)f(0)2， f(x)2ex，f（x） ex 2，即 g(x)0，不等式的解集为(0，). 答案C 14.(2017广州调研)已知函数 f(x)ex mx，其中 m 为常数. (1)若对任意 xR 有 f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)当 m1 时，判断
11、 f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由. 解(1)依题意，可知 f(x)ex m1， 令 f(x)0，得 xm. 故当 x(，m)时，ex m1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增. 故当 xm 时，f(m)为极小值也是最小值. 令 f(m)1m0，得 m1， 即对任意 xR ，f(x)0 恒成立时，m 的取值范围是(，1. (2)f(x)在0，2m上有两个零点，理由如下： 当 m1 时，f(m)1m0，f(0)f(m)1 时，g(m)em20， g(m)在(1，)上单调递增. g(m)g(1)e20，即 f(2m)0. f(m)f(2m)0，f(x)在(m，2m)上有一个零点. 故 f(x)在0，2m上有两个零点.
