1、第第 5 讲讲古典概型古典概型 一、选择题 1.集合 A2，3，B1，2，3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和 等于 4 的概率是() A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 6 解析从 A，B 中任意取一个数，共有 C12C136 种情形，两数和等于 4 的情 形只有(2，2)，(3，1)两种，P2 6 1 3. 答案C 2.(2017黄山一模)从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则取出的 3 个数可 作为三角形的三边边长的概率是() A. 3 10 B.1 5 C.1 2 D.3 5 解析从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数的基本事件数有 C3510 种
2、.根据 三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共 3 个 基本事件，故所求概率为 P 3 C35 3 10. 答案A 3.(2017马鞍山一模)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为 x， 第二次向上的点数记为 y，在直角坐标系 xOy 中，以(x，y)为坐标的点落在直 线 2xy1 上的概率为() A. 1 12 B.1 9 C. 5 36 D.1 6 解析落在 2xy1 上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共 3 个，故所求的概率 为 P 3 66 1 12. 答案A 4.(2017郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次
3、为 a，b，c， 当且仅当 ab，bc 时称为“凹数”(如 213，312 等)，若 a，b，c1，2，3， 4，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是() A.1 6 B. 5 24 C.1 3 D. 7 24 解析选出一个三位数有 A3424 种情况，取出一个凹数有 C3428 种情况， 所以，所求概率为 P 8 24 1 3. 答案C 5.如图，三行三列的方阵中有九个数 aij(i1，2，3；j1，2，3)，从中任取三 个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是() a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 A.3 7 B.4 7 C. 1 14 D.
4、13 14 解析从九个数中任取三个数的不同取法共有 C3984 种，因为取出的三个数 分别位于不同的行与列的取法共有 C13C12C116 种，所以至少有两个数位于 同行或同列的概率为 1 6 84 13 14. 答案D 二、填空题 6.(2015江苏卷)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球， 2 只黄球， 从中一次随机摸出 2 只球， 则这 2 只球颜色不同的概率为_. 解析这两只球颜色相同的概率为1 6，故两只球颜色不同的概率为 1 1 6 5 6. 答案 5 6 7.(2016上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙 两同学各自所选的两种
5、水果相同的概率为_. 解析甲同学从四种水果中选两种，选法种数有 C24，乙同学的选法种数为 C24， 则两同学的选法种数为 C24C24，两同学各自所选水果相同的选法种数为 C24， 由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率 为 P C24 C24C24 1 6. 答案 1 6 8.从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位 数是 6 的概率为_. 解析从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，基本事件共 有 C710120(个)，记事件“七个数的中位数为 6”为事件 A，若事件 A 发生， 则 6，7，8
6、，9 必取，再从 0，1，2，3，4，5 中任取 3 个数，有 C 3 6种选法.故 所求概率 P(A) C36 120 1 6. 答案 1 6 三、解答题 9.海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地 区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这 些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区ABC 数量50150100 (1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测， 求这 2 件商品 来自相同地区的概率. 解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6
7、50150100 1 50， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50 1 501，150 1 503，100 1 502. 所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1，3，2. (2)从 6 件样品中抽取 2 件商品的基本事件数为 C2665 2115，每个样品被抽 到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D： “抽取的这 2 件商品来自相同地区”， 则事件 D 包含的基本事件数 为 C23C224，所以 P(D) 4 15. 故这 2 件商品来自相同地区的概率为 4 15. 10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的 数
8、字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的 数字依次记为 a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率. 解(1)由题意，(a，b，c)所有的可能的结果有 3327(种). 设“抽取的卡片上的数字满足 abc”为事件 A， 则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种. 所以 P(A) 3 27 1 9. 因此， “抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率为1 9. (2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B， 则事件 B 包括(1
9、，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共 3 种. 所以 P(B)1P(B)1 3 27 8 9. 因此， “抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为8 9. 11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1， 点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则() A.p1p2p3B.p2p1p3 C.p1p3p2D.p3p1p2 解析随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有 36 种.事件“向上的 点数之和不超过 5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2， 1)，(2，2)，(2，3)，
10、(3，1)，(3，2)，(4，1)共 10 种，其概率 p110 36 5 18.事件 “向上的点数之和大于 5”与“向上的点数之和不超过 5”是对立事件，所以 “向上的点数之和大于 5”的概率 p213 18.因为朝上的点数之和不是奇数就是 偶数，所以“点数之和为偶数”的概率 p31 2.故 p 1p30，又 a4，6，8，b3，5，7，即 ab，从 a4，6，8，b3，5，7分别取 1 个 a 和 1 个 b，有 339(种)，其中满 足 ab 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共 6 种，所 以所求的概率为6 9 2 3. 答案 2 3 14
11、.袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为1 7，现有甲、 乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回， 直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可 能的. (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球 2 次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率. 解(1)设袋中原有 n 个白球，从袋中任取 2 个球都是白球的结果数为 C2n，从 袋中任取 2 个球的所有可能的结果数为 C27. 由题意知从袋中任取 2 球都是白球的概率 PC 2 n C27 1 7，则 n(n1)6，解得 n 3(舍去 n2)，即袋中原有 3 个白球. (2)设事件 A 为“取球 2 次即终止”.取球 2 次即终止，即乙第一次取到的是白 球而甲取到的是黑球， P(A)C 1 4C13 C17C16 43 76 2 7. (3)设事件 B 为“甲取到白球”， “第 i 次取到白球”为事件 Ai，i1，2，3，4， 5，因为甲先取，所以甲只可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取到白球. 所 以 P(B) P(A1 A3 A5) P(A1) P(A3) P(A5) 3 7 433 765 43213 76543 3 7 6 35 1 35 22 35.
