1、习题课函数的零点与方程的解 第四章指数函数与对数函数 1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求 参数范围. 2.掌握一元二次方程的根的分布情况. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、根据零点情况求参数范围 二、一元二次方程的根的分布问题 内容索引 一、根据零点情况求参数范围 解析f(x)在R上单调递减， yx2(4a3)x3a在(，0)上单调递减，yloga(x1)1在 (0，)上单调递减，且f(x)在(，0)上的最小值大于或等于f(0). 反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范
2、围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面 直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 跟踪训练1若方程xlg(x2)1的实根在区间(k，k1)(kZ)上，则k等于 A.2 B.1C.2或1 D.0 所以k2或k1. 二、一元二次方程的根的分布问题 例2已知关于x的方程x22(m1)x2m60. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； 解设f(x)x22(m1)x2m6， f(x)的大致图象如图所示， f(2)0，即44(m1)2m60，得m1， 实数m的取
3、值范围为(，1). (2)若方程有两个实根，且满足014，求实数m的取值范围； 解f(x)的大致图象如图所示， (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 解方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， 有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f(0)0，得m3. m3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(，1. 反思感悟一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交 点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再 左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与 系数的关系进行限制. (1)若函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值
4、范围； 由于函数f(x)存在大于1的零点， 所以关于t的方程t24tm0在t(0,2内存在实数根. 由t24tm0，得mt24t，t(0,2， 所以m12,0)， 所以实数m的取值范围是12,0). (2)设函数f(x)有两个互异的零点，求实数m的取值范围，并求 的值. 解函数f(x)有两个互异的零点， 则函数g(t)在3,2内有两个互异的零点t1，t2， 其中t1log2，t2log2， 所以实数m的取值范围是3,4). 根据根与系数的关系，可知t1t24，即log2log24， 1.知识清单： (1)根据零点情况求参数的取值范围. (2)一元二次方程根的分布. 2.方法归纳：判别式法、数形
5、结合法. 3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课堂小结 随堂演练 1.若函数f(x)x22xa在(0,2)上有两个零点，则a的取值范围为 A.(0,2) B.(0,1)C.(1,2) D.(，1) 1234 解析函数f(x)x22xa在(0,2)上有两个零点，函数f(x)的图象的对称 轴为x1， 解得0a1. 则a的取值范围为(0,1). 2.已知函数f(x)mx1的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围是 解析因为函数f(x)mx1的零点在区间(1,2)内， 且此函数是连续函数， 所以f(1)f(2)0，即(m1)(2m1)0， 1234 1234 3.函数f(x)3x a的一
6、个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 A.(2,7) B.(1,6)C.(1,7) D.(2,6) 解析由题意可得f(1)f(2)(34a)(92a)0， 即(a1)(a7)0， 解得1a7， 故实数a的取值范围是(1,7). 4.若函数f(x)3x25xa的一个零点在区间(2,0)内，另一个零点在区 间(1,3)内，则实数a的取值范围是_. 解析f(x)3x25xa的一个零点在区间(2,0)内，另一个零点在区 间(1,3)内， (12,0) 解得12a6 B.4k7C.6k6或k2 解析关于x的方程x2kxk30的两个不相等的实数根都大于2， 设两根为x1，x2， 解得6k2， 因
7、为指数函数yax单调递增，在区间(2，a上无零点， 所以函数yloga(x2)在区间(a，)上存在零点， 由于yloga(x2)单调递增， 故当xa时，有loga(a2)0loga1， 从而a21a3， 所以实数a的取值范围是(2,3). 4.方程xlog3x3的解为x0，若x0(n，n1)，nN，则n等于 A.0 B.1 C.2 D.3 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设f(x)xlog3x3， 则f(1)1log31320， f(2)2log323log3210， 又易知f(x)为增函数， 所以方程xlog3x3的解在(2,3)内，因此n2. 1234567
8、8910 11 12 13 14 15 16 5.若方程x2ax40的两实根中一个小于1，另一个大于2，则a的 取值范围是 A.(0,3) B.0,3C.(3,0) D.(，1)(3，) 解析因为方程x2ax40有两根，一个大于2，另一个小于1， 所以函数f(x)x2ax4有两个零点，一个大于2，另一个小于1， 由二次函数的图象可知， 解得0a3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)关于x的方程ax2|x|a0有四个不同的实数解，则实数a的值可 能是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于方程ax2|x|a0，当a0时，只有一
9、个解x0， 因此要使方程ax2|x|a0有四个不同的解， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (e，e2) 解析画出f(x)的图象如图所示， 正实数a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)， 不妨设abc，则由图象可得0a1bece2， 且ln aln b，则可得ab1， abcc(e，e2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1,1) 解析令g(x)f(x)k0，可得f(x)k， 作出yf(x)的图象，如图， 由图可知，当yk与yf(x)的图象有三个 不同的交点时，1k1， 所以k的取值范围是(1,1). 12345678910 1
10、1 12 13 14 15 16 9.函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 解由f(x)0得a12|x|x2， 因为函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点， 所以函数ya1与y2|x|x2的图象有四个交点， 画出函数y2|x|x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0a11，即1a2， 所以实数a的取值范围是1a0，则yt22tm. 函数f(x)有两个零点，且t2x为单调函数， 方程t22tm0在(0，)上有两解， m的取值范围是(1,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.设x1，x2，x3均为实数，且 log2(
11、x11)， log3x2， log2x3，则 A.x1x3x2 B.x3x2x1C.x3x1x2 D.x3x1x2 1 1 3 x 2 1 3 x 3 1 3 x 解析如图所示，由图象可知，x1x3b，cd，若f(x)2 021(xa)(xb)的 零点为c，d，则下列不等式正确的是 A.acbd B.abcdC.cdab D.cabd 解析由题意设g(x)(xa)(xb)，则f(x)2 021g(x)，所以g(x)0的 两个根是a，b. 由题意知f(x)0的两根是c，d，也就是g(x)2 021的两根， 画出g(x)(开口向上)以及y2 021的大致图象(图略)， 则与g(x)的图象交点的横坐
12、标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点就是a，b. 又ab，cd，则c，d在a，b外，由图得cabd. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.(2,4)(5，) B.(1,2(4,5 C.(，1)(4,5 D.1,2 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意知， 当(x21)(x2)1，即1x2时，f(x)x21； 当(x21)(x2)1，即x2或x1时，f(x)x2. 函数yf(x)c有两个零点， 函数yf(x)的图象与函数yc的图象有两个交点. 画出函数yf(x)的图象，如图所示. 由图可知，当c(1,2(4,5时，函数yf(x)c
13、有两个零点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，故函数不是 单调函数， 又yx1与y2x交于(0,1)和(1,2)点， 画出图象如图所示， 由图可知，当0a1时，满足题意. 即实数a的取值范围是(0,1). (0,1) 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析画出函数f(x)的大致图象如图所示. 设tf(x)，则由图象知， 当t4时，tf(x)有两个根， 当t4时，tf(x)只有一个根. 函数g(x)f2(x)3f(x)m(mR)有三个零点， 等价为函数g(x)h(t)t23tm有两个零点， 其中t10，即7m0，则m7. 故实数m的取值范围为(，7). 本课结束 更多精彩内容请登录：
