1、空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.如果向量 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有() A.a 与 b 共线B.a 与 b 同向 C.a 与 b 反向D.a 与 b 共面 2.(2013石家庄高二检测)设向量 a,b,c 不共面,则下列各组向量可作为空间的 一个基底的是() A.a+b,b-a,aB.a+b,b-a,b C.a+b,b-a,cD.a+b+c,a+b,c 3.(2013 珠海高二检测)在平行六面体 ABCD
2、-A1B1C1D1中,M 是上底面对角线 AC 与 BD 的交点,若=a,=b,=c,则可表示为() A. a+ b+cB. a- b+c C.- a- b+cD.- a+ b+c 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若点 F 是侧面 CDD1C1的中心,且=+m-n, 则() A.m= ,n=- B.m=- ,n=- C.m=- ,n= D.m= ,n= 5.(2013大理高二检测)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M 为 AC 和 BD 的交点,若 =a,=b,=c,则下列式子中与相等的是() A.- a+ b+cB. a+ b+c C. a- b+cD.- a- b+c
3、二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.如图,在空间四边形 OABC 中,已知 E 是线段 BC 的中点,G 是 AE 的中点,若 ,分别记为 a,b,c,则用 a,b,c 表示的结果为=. 7.正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F 分别是底面 A1C1和侧面 CD1的中心,若 +=0(R),则=. 8.(2013 金华高二检测)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,E,F 分别是棱 BB1, DC 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则向量的坐标为. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414
4、分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA平面 ABCD,M,N 分别为 PC,PD 上 的点,且=2,=,求满足=x+y+z的实数 x,y,z 的值. 10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,点 E,F 分别在 线段 A1D,AC 上,且 EFA1D,EFAC,以点 D 为坐标原 点,DA,DC,DD1分别作为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系(如图所示). (1)试求向量的坐标. (2)求证:EFBD1. 11.(能力挑战题)如图,在梯形 ABCD 中,ABCD, ADC=90,AB=2,DC=3
5、,AD=1,E 是 DC 上一点,且 DE =1,连接 AE,将DAE 沿 AE 折起到D1AE 的位置,使 得D1AB=30,设 AC 与 BE 的交点为 O. (1)试用基向量,表示向量. (2)求直线 OD1与 BC 所成角的余弦值. 答案解析答案解析 1. 【解析】 选 A.根据题意向量 a,b 与任何向量都共面,所以只有在 a,b 共线的条 件下才有可能. 2.【解析】选 C.由已知条件及向量共面定理,易得 a+b,b-a,c 不共面,故可作为 空间的一个基底. 3.【解析】选 D.结合图形,根据三角形法则和平行四边形法则计算得= +=+ (+)=-+=- a+ b+c. 【举一反三
6、】若把条件=c 改为=c,则结论如何? 【解析】如图,=+ =-+ =-+- =-+- (+) =-+ =- a- b+c. 4.【解析】选 A.=+=+ (+) =+=+m-n, =,=, m= ,n=- . 5.【解析】选 A. 6.【解析】连接 OE.=+= (+)+ = (+)- (+) = (+)- (-)+(-) = (+)- (+-2) =+= a+ b+ c. 答案: a+ b+ c 7.【解题指南】通过向量的运算与代换,把用表示,可求得. 【解析】如图,连接 A1C1,C1D, 则 E 在 A1C1上,F 在 C1D 上, 易知 EF= A1D, =, +=0, =- . 答
7、案:- 【变式备选】如图所示,已知 ABCD-A1B1C1D1是平行六 面体,且=a,=b,=c,且=,用 a,b,c 表示以下向量: (1). (2). 【解析】(1)=+=+ =-a+b+c. (2)=+=+ =+ (+)=a- b+ c. 8.【解析】由图易知 E(1,1, ),F(0, ,0),=(-1,- ,- ) 答案:(-1,- ,- ) 9.【解题指南】解决本题可以结合图形,从向量出发,利用向量的运算法则不 断进行分解,直到全部向量都用,表示出来,即可求出 x,y,z 的值. 【解析】方法一:如图所示,取 PC 的中点 E,连接 NE, 则=-. = =-,=- =-=, 连接
8、 AC,则=-=+-, =- (+-)=-+, x=- ,y=- ,z= . 方法二:如图所示,在 PD 上取一点 F,使 PFFD=21, 连接 MF,则=+, 而=-, =- =- = (-), =-+. x=- ,y=- ,z= . 方法三:=-=- = (+)- (+) =-+- (-+) =-+ x=- ,y=- ,z= . 10.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量 ,从而使问题得解. 【解析】 (1)正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,根据题意知,为单位 正交基底,设=i,=j,=k,向量可用单位正交基底i,j,k表示,= +,与共线,与
9、共线,设=,=,则= +=(+)+(-)=(+)+(1-)+=(+ )i+(1-)j+k, EFA1D,EFAC,即, =0,=0, 又=-i-k,=-i+j, 整理得即 解得= i+ j- k 的坐标是( , ,- ). (2)=+=-i-j+k, =-,即与共线, 又 EF 与 BD1无公共点,EFBD1. 11.【解析】(1)=+=+ =+=-+. (2)=+=-+ =-+, =, 又=45,=45,D1AB=30, cos= =. 又异面直线 OD1与 BC 所成角的范围为(0, , OD1与 BC 的夹角的余弦值为. 【拓展提升】求解折叠问题的妙招向量法 折叠问题实际上是一个平面图形转变为一个立体图形的过程,用向量法解决折 叠中有关角和长度的问题时,应注意以下几点:(1)发现图形在折叠前后相应量 的变化情况,特别是角、长度的变化.(2)选取合适的基向量,将问题中涉及到的 向量用基向量进行表示.(3)借助向量的运算解决角与长度的问题. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
