1、课时作业(五十)两条直线的交点与距离公式 基础过关组 一、单项选择题 1已知直线 l 的倾斜角为3 4 ，直线 l1经过点 A(3,2)和 B(a，1)，且直线 l 与 l1平行，则实数 a 的值为 () A0B1 C6D0 或 6 解析由直线 l 的倾斜角为3 4 得 l 的斜率为1，因为直线 l 与 l1平行，所以 l1的斜率为1。又直线 l1 经过点 A(3,2)和 B(a，1)，所以 l1的斜率为 3 3a，故 3 3a1，解得 a6。 答案C 2直线(2m1)xmy10 和直线 mx3y30 垂直，则实数 m 的值为() A1B0C2D1 或 0 解析由两直线垂直可得 m(2m1)3
2、m0，解得 m0 或 m1。故选 D。 答案D 3直线 x2y20 关于直线 x1 对称的直线方程是() Ax2y40B2xy10 C2xy30D2xy40 解析解法一：设 P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线 x1 的对称点为(2x，y)，且该对称点在 直线 x2y20 上，代入可得 x2y40。故选 A。 解法二：直线 x2y20 与直线 x1 的交点为 P 1，3 2 ，则所求直线过点 P。因为直线 x2y20 的斜率为1 2，所以所求直线的斜率为 1 2，故所求直线的方程为 y3 2 1 2(x1)，即 x2y40。故选 A。 答案A 4已知点 P(2,3)，Q 是直线 l：3x
3、4y30 上的动点，则|PQ|的最小值为() A2B.9 5 C.8 5 D.7 5 解析因为 Q 是直线 l：3x4y30 上的动点，所以|PQ|的最小值为点 P 到直线 l 的距离，即 |32433| 916 9 5。故选 B。 答案B 5若直线 l1：yk(x4)与直线 l2关于点(2,1)对称，则直线 l2过定点() A(0,4)B(0,2) C(2,4)D(4，2) 解析由题知直线 l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线 l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直 线 l2所过定点为(0,2)。故选 B。 答案B 6若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2
4、a0 平行，则 l1与 l2间的距离为() A. 2B.8 2 3 C. 3D.8 3 3 解析因为 a0 或 a2 时，l1与 l2均不平行，所以 a0 且 a2。因为 l1l2，所以 1 a2 a 3 6 2a，所以 aa23， 2a218， a2， a0， 解得 a1，所以 l1：xy60，l2：xy2 30，所以 l 1与 l2之间的距离 d| 62 3| 2 8 2 3 。故选 B。 答案B 7(2021山西太原模拟)若直线 y2x，xy3，mxny50 相交于同一点，则点(m，n)与原点之间 的距离的最小值为() A. 5B. 6 C2 3D2 5 解析由 y2x， xy3， 解得
5、 x1， y2。 把(1,2)代入 mxny50，可得 m2n50，所以 m52n。 所以点(m，n)与原点之间的距离 d m2n2 52n2n2 5n225 5，当 n2，m1 时取 等号。所以点(m，n)与原点之间的距离的最小值为 5。故选 A。 答案A 二、多项选择题 8已知直线 l：(a2a1)xy10，其中 aR，下列说法正确的是() A当 a1 时，直线 l 与直线 xy0 垂直 B若直线 l 与直线 xy0 平行，则 a0 C直线 l 过定点(0,1) D当 a0 时，直线 l 在两坐标轴上的截距相等 解析直线 l：(a2a1)xy10，对于 A，当 a1 时，直线 l 的斜率
6、k11，直线 xy0 的斜率 为1，直线 l 与直线 xy0 垂直，故 A 正确；对于 B，若直线 l 与直线 xy0 平行，则 a2a11，解 得 a0 或 a1，故 B 错误；对于 C，无论 a 取何值，当 x0 时，y1，所以直线 l 过定点(0,1)，故 C 正 确；对于 D，当 a0 时，直线 l：xy10 在 x 轴上的截距为1，在 y 轴上的截距为 1，所以当 a0 时， 直线 l 在两坐标轴上的截距不相等，故 D 错误。故选 AC。 答案AC 9(2020江阴市期中)若两条平行直线 l1：x2ym0 与 l2：2xny60 之间的距离是 2 5，则 mn 的值可能为() A3B
7、17 C3D17 解析直线 l1：x2ym0 与 l2：2xny60 平行，则1 2 2 n ，解得 n4，所以 l2：x2y30， 所以直线 l1与 l2间的距离是 d |m3| 12222 5，所以|m3|10，解得 m13 或 m7。当 m13 时， mn13417；当 m7 时，mn743。所以 mn 的值可能为 3 或17。故选 AB。 答案AB 10(2020山东模拟)若三条直线 l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0 不能围成三角形， 则 a 的取值为() A1B1 C2D2 解析由题意可得 l1和 l3平行，或 l2和 l3平行，l1和 l2平行，或 l1，l2，l
8、3交于一点。若 l1和 l3平行，则 a 1 1 1，得 a1；若 l 2和 l3平行，则1 1 a 1，得 a1；若 l 1和 l2平行，则a 1 1 a，得 a1。当三条直线 l 1：ax y10，l2：xay10，l3：xya0 交于同一个点时，a2。综上可得，实数 a 所有可能的值为 1,1，2。故选 ABC。 答案ABC 三、填空题 11已知直线 l1：axy10，直线 l2：xy30，若直线 l1的倾斜角为 4，则 a_；若 l 1 l2，则 a_；若 l1l2，则两平行直线间的距离为_。 解析若直线 l1的倾斜角为 4，则atan 41，故 a1；若 l 1l2，则 a11(1)
9、0，故 a1； 若 l1l2，则 a1，l1：xy10，两平行直线间的距离 d|13| 2 2 2。 答案112 2 12以点 A(4,1)，B(1,5)，C(3,2)，D(0，2)为顶点的四边形 ABCD 的面积为_。 解析因为 kAB51 14 4 3，k DC22 30 4 3。k AD21 04 3 4，k BC 25 31 3 4。则 k ABkDC，kAD kBC， 所以四边形 ABCD 为平行四边形。 又 kADkAB1， 即 ADAB， 故四边形 ABCD 为矩形。 故 S 四边形ABCD |AB|AD| 142512 04221225。 答案25 13已知入射光线经过点 M(
10、3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所 在直线的方程为_。 解析设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，由 b4 a311， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1， b0。 又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为y0 60 x1 21， 即 6xy60。 答案6xy60 14直线 l1与直线 l2交于一点 P，且 l1的斜率为1 k，l 2的斜率为 2k，直线 l1，l2与 x 轴围成一个等腰三角 形，则正实数 k 所有可能的取值为_。 解析设直线 l1与直线 l2的倾斜角分别为，
11、因为 k0，所以，均为锐角，由于直线 l1，l2与 x 轴围 成一个等腰三角形，则有以下两种情况：当2时，tan tan 2，则1 k 4k 14k2，因为 k0，所以解得 k 2 4 ；当2时，tan tan 2，则 2k 2 k 1 1 k2 ，因为 k0，所以解得 k 2。综上，正实数 k 所有可能的 取值为 2 4 或 2。 答案 2 4 或 2 素养提升组 15已知函数 f(x)1 x 1 2x2，记 d(k，m)为函数 f(x)图象上的点到直线 ykxm 的距离的最大值，那 么 d(k，m)的最小值为_。 解析显然函数 f(x)的图象可放在两条平行直线 l1与 l2之间，f(x)图
12、象上的个别点在直线上。设两条平行 直线 l1与 l2之间的距离为 d。如图所示，只有 l1经过点 A 1 2，2，B 2，1 2 ，当 l2与 f(x)的图象相切于点 P 时， d 取得最小值，d(k，m)的最小值为 1 2d。设 P x0， 1 x0 1 2x 02 ，对于 f(x)求导得 f(x) 1 x2，因为 k AB1， 所以 1 x201， 解得 x 01， 所以 P(1,1)。 由点 A， B 的坐标可得直线 AB 的方程为 yx5 2。 所以 d| 115 2| 2 2 4 (点 P 到直线 AB 的距离)，所以 d(k，m)的最小值为 1 2d 2 8 。 答案 2 8 16
13、已知点 P(2，1)。 (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离； (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。 解(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过点 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2。 若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)， 即 kxy2k10。 由已知得|2k1| k21 2，解得 k3 4。 此时直线 l 的方程为 3x4y100。 综上可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100。 (2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图。 由 lOP，得 klkOP1， 因为 kOP1 2， 所以 kl 1 kOP2。 由直线方程的点斜式得 y12(x2)， 即 2xy50。 所以直线 2xy50 是过点 P 与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5| 5 5。 (3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直 线。
