1、1.2集合间的基本关系集合间的基本关系 学习目标1.理解两个集合间的包含关系.2.能用符号和 Venn 图表示两个集合间的关系.3.理 解空集与子集、真子集之间的关系 导语 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如 55,53，等等，两个集合之间是 否也有类似的关系呢？(同学们有可能回答包含关系)嗯，大家都预习课本了，有同学说了， 集合间有包含关系，不错，本节课的关键词就是“包含”，古人有云：困难里包含着胜利； 失败里孕育着成功；书包含着人生；机会包含于每个人的奋斗之中 一、子集 问题 1观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系吧 (1)A1,2,3，B1,2,3,4,5；
2、 (2)C 为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D 为这个班全体学生组成的集合； (3)Ax|x2k，kZ，B偶数 提示(1)集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A.(2)集合 C 包含于集合 D，或集合 D 包 含集合 C. (3)集合 A 包含集合 B，集合 B 也包含集合 A. 知识梳理 1. 定义 一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集 记法与 读法 记作 AB(BA)，读作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA. (2)对于集合 A，
3、B，C，若 AB，且 BC，则 AC 2.一般地，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是 集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 AB. 也就是说，若 AB，且 BA，则 AB. 注意点： (1)“A 是 B 的子集”的含义： 集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素， 即由任意 xA， 能推出 xB；(2)集合 A 与集合 B 相等，就是集合 A 与集合 B 中的元素完全一致，集合“A B”可类比实数中的结论“若 ab 且 ba， 则 ab”， 即“若 AB 且 BA， 则 AB”， 反之亦成立 例 1指出下列各对集合之间的
4、关系： (1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)； (2)Ax|1x4，Bx|x50； (3)Ax|x 是正方形，Bx|x 是矩形； (4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN* 解(1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关 系 (2)集合 Bx|x5，用数轴表示集合 A，B，如图所示，由图可知 AB. (3)正方形是特殊的矩形，故 AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于 nN*，因此集合 M 含有元素“1”，而集合 N 不含元素“1”，故 NM. 延伸探究 1上题中，若 BA，求实数 a 的取值
5、范围？ 解a1. 2上题中，若集合 A 改为 Ax|x1，若 AB，求实数 a 的取值范围？若 BA 呢？ 解若 AB，则 a1，若 BA，则 a1. 反思感悟判断集合间关系的常用方法 跟踪训练 1(1)已知 Ax|x 是正数，Bx|x 是正整数，Cx|x 是实数，那么 A，B，C 之间的关系是() AABCBBAC CCABDABC 答案B 解析集合 A，B，C 的关系如图 (2)现有以下三组集合： a，b和b，a； 1,0和(1,0)； y|yx2，xR和x|yx2，xR； 其中，满足集合相等的有() A3 组B2 组C1 组D0 组 答案C 解析中两集合含有相同的元素，故这两个集合相等；
6、中集合1,0含有两个元素 1,0， 而集合(1,0)中只有一个元素(1,0)，这两个集合不相等；中两集合都是用描述法表示的， 代表元素不一样，这两个集合不相等 二、真子集 问题 2通过学习子集的概念我们发现， 一个非空集合的子集有好多个， 你能对它们分类吗？ 提示对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多比它本身少，但有一个特 殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集 知识梳理 1. 定义 如果集合 AB，但存在元素 xB，且 xA，我们称集合 A 是集合 B 的真子集 记法记作 AB(或 BA) 图示 结论 (1)AB 且 BC，则 AC； (2)AB 且 AB，则 AB 2. 定义
7、一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 规定空集是任何集合的子集，即A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，； (2)A，则A 3.性质：(1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即 AA；(2)传递性：对于集合 A，B， C，如果 AB，且 BC，那么 AC. 注意点： (1)在真子集的定义中，AB 首先要满足 AB，其次至少有一个 xB，但 xA. (2)与0的区别： 是不含任何元素的集合； 0是含有一个元素的集合，0 例 2写出集合a，b，c的所有子集，并指出哪些是它的真子集 解子集有，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c， 其中真子集有，a，b，c，a，b，a，
8、c，b，c 反思感悟求元素个数有限的集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：和自身 (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏 跟踪训练 2满足1,2M1,2,3,4,5的集合 M 有_个 答案7 解析由题意可得1,2M1,2,3,4,5， 可以确定集合 M 必含有元素 1,2， 且含有元素 3,4,5 中的至少一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下： 含有三个元素：1,2,3，1,2,4，1,2,5； 含有四个元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5； 含有五个元素：1,2,3,4,5 故满足题意的集合 M 共有 7 个 三、由集合间的关系求
9、参 例 3已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，求实数 m 的取值范 围 解(1)当 B时，如图所示 m12， 2m12， 2m15， 2m1m1， 解这两个不等式组，得 2m3. (2)当 B时， 由 m12m1，得 m2. 综上可得，m 的取值范围是m|m3 延伸探究若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1，得 m2， 2m13， m3， m2， 即 2m3， 综上可得，m 的取值范围是m|m3 反思感悟利用集合间的关系求参数的关注点 (1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合 (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数
10、，还 要注意验证端点值，做到准确无误一般含“”用实心点表示，不含“”用空心圈表示 (3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集 跟踪训练 3已知集合 Ax|x4，Bx|2axa3，若 BA，求实数 a 的取 值范围 解(1)当 B时，2aa3，即 a3.显然满足题意 (2)当 B时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得 a32a， a34， 解得 a4 或 2a3. 综上可得，实数 a 的取值范围为a|a2 1知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质 (2)子集的个数 (3)由集合间的关系求参数 2方法归纳：分析法，观察法，元素特征法，数形结合，分类讨论 3常见误区：在解决问
11、题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位；求含参的问题时， 容易遗漏端点的取值，应注意讨论 1以下五个式子中，错误的个数为() 10,1,2； 1，33,1； 0,1,21,0,2； 0,1,2； 0 A5B2C3D4 答案C 解析应是10,1,2对于，集合中的元素有无序性，故正确任何集合都是本 身的子集，故0,1,21,0,2正确应是0,1,2应是0故错误的有. 2已知集合 Ax|x0，Bx|0 xBBAB CBADAB 答案C 解析由数轴知 BA. 3集合 A0,2,4,6的子集个数是() A8B12C15D16 答案D 4集合 Ax|1x6，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围为_
12、 答案a|a6 解析Ax|1x6，Bx|xa，由 AB，结合数轴可知 a6. 课时对点练课时对点练 1下列各选项中，表示 MN 的是() 答案C 解析由 MN 知，表示集合 M 的图形应全都在表示集合 N 的图形中 2已知集合 Mx|y22x和集合 P(x，y)|y22x，则两个集合间的关系是() AMPBPM CMPDM，P 互不包含 答案D 解析由于集合 M 为数集，集合 P 为点集， 因此 M 与 P 互不包含 3已知集合 AxR|x23x20，BxN|0 x5，则满足条件 ACB 的集合 C 的个数为() A1B2C3D4 答案D 解析由题意知，A1,2，B1,2,3,4又 ACB，则
13、集合 C 可能为1,2，1,2,3， 1,2,4，1,2,3,4，共 4 个 4已知集合 U，S，T，F 的关系如图所示，则下列关系正确的是() SU；FT；ST；SF；SF；FU. ABCD 答案D 5(多选)已知集合 A0,1，则下列式子正确的是() A0AB1A CAD0,1A 答案ACD 解析1A，B 项错误，其余均正确 6(多选)已知集合 A2，1，集合 Bm2m，1，且 AB，则实数 m 等于() A2B1 C2D4 答案AB 解析AB，m2m2，m2 或 m1. 7若整数 x，y 能使2x，xy7,4成立，则 xy_. 答案 7 4或 10 解析若 2x7， xy4， 解得 x7
14、 2， y1 2， 则 xy7 4； 若 2x4， xy7， 解得 x2， y5， 则 xy10. 8 已知集合Ax|x2， Bx|4xp0， 若BA， 则实数p的取值范围是_ 答案p|p4 解析集合 Ax|x2， Bx|4xp0 x|x p 4， 若 BA，则p 41，p4， 则实数 p 的取值范围是p|p4 9已知集合 A1,3，x2，Bx2,1，是否存在实数 x，使得 B 是 A 的子集？若存在， 求出集合 A，B；若不存在，请说明理由 解存在，理由如下：由题意知，若 x23，则 x1，符合题意若 x2x2，则 x2x 20 无实根，故不成立，综上所述，存在实数 x1，使得 B 是 A
15、的子集，此时 A1,3， 1，B1,3 10设集合 Ax|x28x150，Bx|ax10 (1)若 a1 5，试判定集合 A 与 B 的关系； (2)若 BA，求实数 a 组成的集合 C. 解(1)Ax|x28x1505,3， 当 a1 5时，B5，元素 5 是集合 A5,3中的元素， 集合 A5,3中除元素 5 外，还有元素 3,3 不在集合 B 中，所以 BA. (2)当 a0 时，由题意得 B，又 A3,5，故 BA； 当 a0 时，B 1 a ，又 A3,5，BA，此时1 a3 或 1 a5，则有 a 1 3或 a 1 5. 所以 C 0，1 3， 1 5 . 11已知集合 Px|x2
16、1，Qx|ax1，若 QP，则 a 的值是() A1B1C1 或1D0,1 或1 答案D 解析由题意得，当 Q 为空集时，a0，符合题意；当 Q 不是空集时，由 QP，得 a1 或 a1.所以 a 的值为 0,1 或1. 12(多选)已知集合 A1,0，若集合 B 满足0BA，则集合 B 等于() A1,0B0C1D 答案AB 解析集合 B 满足0BA，B0或 B0，1 13(多选)集合 Ax|(a1)x23x20有且仅有两个子集，则 a 的值为() A1B.1 8 C1D1 8 答案AD 解析由集合有两个子集可知，该集合是单元素集， 当 a1 时，满足题意 当 a1 时， 由98(a1)0
17、可得 a1 8. 14已知非空集合 P 满足：(1)P1,2,3,4,5；(2)若 aP，则 6aP.符合上述条件的集合 P 的个数为_ 答案7 解析由 aP,6aP，且 P1,2,3,4,5可知，P 中元素在取值方面应满足的条件是 1,5 同 时选， 2,4 同时选， 3 可单独选， 可一一列出满足条件的全部集合 P 为3， 1,5， 2,4， 1,3,5， 2,3,4，1,5,2,4，1,2,3,4,5，共 7 个 15设集合 A1,1，集合 Bx|x22ax10，若 B，BA，则 a 等于() A1B0C1D1 答案D 解析当 B1时，x22ax10 有两个相等的实根1，即 a1； 当 B1时，x22ax10 有两个相等的实根 1，即 a1； 当 B1,1时，不成立 故 a1. 16已知集合 Ax|1ax2，Bx|1x0 时，A x| 1 ax 2 a. 又因为 Bx|1x1，AB， 所以 1 a1， 2 a1， 所以 a2. (3)当 a0 时，A x| 2 ax 1 a. 因为 AB，所以 2 a1， 1 a1， 所以 a2. 综上所述，a 的取值范围为a|a2 或 a2 或 a0
