1、3.1.1函数的概念函数的概念(二二) 学习目标1.会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简 单函数的定义域 一、区间的概念 知识梳理 设 a，bR，且 ab，规定如下： 区间数轴表示 a，b (a，b) a，b) (a，b a，) (a，) (，b (，b) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆；(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空 心点的区别；(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；(4)是一个符号，而 不是一个数 例 1把下列数集用区间表示： (1)x|x1； (2)x|x0； (3)x|1x1； (4)x|0 x1
2、 或 2x4 解(1)x|x11，) (2)x|x0(，0) (3)x|1x1(1,1) (4)x|0 x1 或 2x4(0,1)2,4 反思感悟用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值 (2)区间两端点之间用“，”隔开 (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号 (4)以“”“”为区间的一端时，这端必须用小括号 跟踪训练 1(1)集合x|2x2 且 x0用区间表示为_ 答案(2,0)(0,2 解析x|2x2 且 x0(2,0)(0,2 (2)已知区间(a2a1,7，则实数 a 的取值范围是_ 答案(3,2) 解析由题意可知 a2a17，即 a2a60， 解得3a0，
3、解得 x1， 所以 f(x)的定义域为1，) (2)已知函数 f(x)x1 x，则 f(2)_；当 a1 时，f(a1)_. 答案 5 2 a1 1 a1 解析f(2)21 2 5 2.当 a1 时，a10， 所以 f(a1)a1 1 a1. 反思感悟(1)求函数的定义域应关注三点 ()要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母 不为 0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求 x0. ()不对解析式化简变形，以免定义域变化 ()当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各 式子都有意义的公共部分的集合 (2)函数求值的方法 已知 f
4、(x)的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f(a)的值 求 f(g(a)的值应遵循由里往外的原则 跟踪训练 2求下列函数的定义域： (1)y31 2x；(2)y x10 x2 ； (3)y 5x |x|3 ；(4)y x1 x23x4. 解(1)函数 y31 2x 的定义域为 R. (2)由于 0 的零次幂无意义，故 x10，即 x1. 又 x20，即 x2， 所以函数 yx1 0 x2 的定义域为x|x2 且 x1 (3)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足 5x0， |x|30， 解得 x5，且 x3， 所以函数 y 5x |x|3 的定义域为x|x5 且 x3 (4)
5、要使函数有意义，则 x10， x23x40， 即 x1， x4x10， 解不等式组得1x1. 所以函数 y x1 x23x4的定义域为x|1x1 三、判断是否为同一个函数 问题 1构成函数的要素有哪些？ 提示定义域对应关系和值域 问题 2结合函数的定义，如何才能确定一个函数？ 提示有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定 例 3下列各组函数： f(x)x 2x x ，g(x)x1； f(x) x x ，g(x) x x； f(x) x1 1x，g(x) 1x2； f(x) x32，g(x)x3； 汽车匀速运动时， 路程与时间的函数关系f(t)80t(0t5)与一次函数 g(x)80 x(0
6、 x5) 其中表示同一个函数的是_(填序号) 答案 解析不是同一个函数，定义域不同， f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为 R. 不是同一个函数，对应关系不同， f(x) 1 x，g(x) x. 是同一个函数，定义域、对应关系都相同 不是同一个函数，对应关系不同，f(x)|x3|，g(x)x3. 是同一个函数，定义域、对应关系都相同 反思感悟判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、 对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数， 即使定义域与值域都相同， 也不一定是同一个函数 (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的 (3)在化简
7、解析式时，必须是等价变形 跟踪训练 3下列各组函数中是同一个函数的是() Ayx1 与 yx 21 x1 Byx21 与 st21 Cy2x 与 y2x(x0) Dy(x1)2与 yx2 答案B 解析A，C 选项中两函数的定义域不同，D 选项中两函数的对应关系不同，故 A，C，D 错 误 四、求抽象函数的定义域 例 4(1)函数 yf(x)的定义域是1,3，则 f(2x1)的定义域为_ 答案1,1 解析令12x13，解得1x1， 所以 f(2x1)的定义域为1,1 (2)若函数 yf(3x1)的定义域为2,4，则 yf(x)的定义域是() A1,1B5,13 C5,1D1,13 答案B 解析由
8、题意知，2x4，所以53x113， 所以 yf(x)的定义域是5,13 反思感悟抽象函数的定义域 (1)已知 f(x)的定义域为a，b，求 f(g(x)的定义域时，不等式 ag(x)b 的解集即定义域 (2)已知 f(g(x)的定义域为c，d，求 f(x)的定义域时，求出 g(x)在c，d上的范围(值域)即定义域 跟踪训练 4已知函数 f(x1)的定义域为x|2x3，则函数 f(2x1)的定义域为() Ax|1x9Bx|3x7 Cx|2x1D. x|2x 1 2 答案D 解析函数 yf(x1)的定义域为x|2x3， 2x3，则3x12，即函数 f(x)的定义域为x|3x2 对函数 f(2x1)
9、，有32x12，解得2x1 2. 即函数 f(2x1)的定义域为 x|2x 1 2. 1知识清单： (1)区间的表示； (2)求简单函数的定义域和求值； (3)判断是否为同一个函数； (4)求抽象函数的定义域 2方法归纳：整体代换 3常见误区：整体代换的思想求抽象函数的定义域 1已知区间2a1,11，则实数 a 的取值范围是() A(，6)B(6，) C(1,6)D(1,6) 答案A 解析由题意可知，2a111，解得 a6. 2已知四组函数： f(x)x，g(x)( x)2；f(x)x，g(x) 3 x3；f(n)2n1，g(n)2n1(nN)；f(x) x22x1，g(t)t22t1. 其中
10、是同一个函数的是() A没有B仅有 CD 答案C 解析对于，定义域不同；对于，对应关系不同；对于，定义域与对应关系都相同 3已知函数 f(x)3 x，则 f 1 a 等于() A.1 a B.3 a CaD3a 答案D 解析f 1 a 3 1 a 3a.故选 D. 4函数 y x1 x1 的定义域是_ 答案x|x1 且 x1 解析由题意可得 x10， x10， 所以 x1 且 x1， 故函数 y x1 x1 的定义域为x|x1 且 x1 课时对点练课时对点练 1区间(0,1等于() A0,1B(0,1 Cx|0 x1Dx|0 x1 答案C 2设函数 f(x)3x21，则 f(a)f(a)的值是
11、() A0B3a21C6a22D6a2 答案A 解析f(a)f(a)3a213(a)210. 3函数 f(x) 13x x 的定义域为() A. x|x 1 3B. x|x 1 3 C. x|0 x 1 3D. x|x 1 3且 x0 答案D 解析要使 f(x)有意义，只需满足 13x0， x0， 即 x1 3且 x0. 4(多选)下列各组函数为同一个函数的是() Af(x)x，g(x)x 2 x Bf(x)1，g(x)(x1)0 Cf(x) x 2 x ，g(x) x x2 Df(t)t 216 t4 ，g(t)t4(t4) 答案CD 解析A这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函
12、数； B这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； C这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； D这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数 5若 f(x)2x1，则 f(f(x)等于() A2x1B4x2 C4x3D2x3 答案C 解析f(f(x)f(2x1)2(2x1)14x3. 6已知函数 f(x)的定义域为(1,1)，则函数 g(x)f x 2 f(x2)的定义域为() A(0,2)B(1,2) C(2,3)D(1,1) 答案B 解析由题意知 1x 21， 1x21， 解得 1x2. 7若函数 f(x)的定义域为2a1，a1，值域
13、为a3,4a，则 a 的取值范围为_ 答案(1,2) 解析由区间的定义知 2a1a1， a34a 1a0， 即 x3， |x|x， 解得 x3， x0. 所以函数的定义域为x|x0， a24a0， 0a4 所以 a 的取值范围为0,4 15已知 g(x)12x，f(g(x)1x 2 x2 (x0)，则 f 1 2 _. 答案15 解析g(x)1 2，即 12x 1 2，则 x 1 4， 代入 f(g(x)1x 2 x2 (x0)，可得 f 1 2 1 1 16 1 16 15. 16已知函数 f(x)对任意实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)成立 (1)求 f(0)和 f(1)的值； (2)若 f(2)a，f(3)b(a，b 均为常数)，求 f(36)的值 解(1)令 xy0，则 f(0)2f(0)，f(0)0， 令 xy1 则 f(1)2f(1)，f(1)0. (2)令 x2，y3，则 f(6)f(2)f(3)ab， 令 xy6，则 f(36)2f(6)2(ab)， f(36)2(ab)
