1、南京市第南京市第 29 中学中学 2022 届高三学情调研届高三学情调研(第三次）第三次） 数学试题数学试题评分细则评分细则 1-8 BACB CDCD9BC 10 CD11BD12BCD 13.12; 14. 2 5 5 5 5 ;15 .1316.4 3 ,4 9 14 解：设圆心为 A，直线与圆的切点为 B， 过?1的直线和圆(? 1 2 ?)2+ ?2= ?2相切的直线为 l，?(?,?)，(? 0) 将 p 点坐标代入? 2 ?2 + ?2 ?2 = 1(? ? 0)，解得?= ?2 ? ，即?2= ?2 ? 由题意可得? ?1?，所以根据勾股定理可得 ?1=?12 ?2= 3 2
2、? 2 ?2= 5 2 ?， 由题意?1? = 3 2 ?，? = ?， 又 tan?1 ， 解得 ? = 5 5 或? = 5(舍去)， 所以椭圆的离心率为 5 5 故答案为：2 5 5 ； 5 5 16. 4 3 4 9 分析:球是由球心与半径确定的,为此,研究球的相关问题时,要紧 紧抓住这两个要素.解决本题首先要作出一个简图,注意到本题的原图很复杂,因 此,通过作截面图来把握相互的位置关系.根据题意可知两球必与正三棱锥的斜高 相切,故作出过球心以及切点的截面图. 设 O 为ABC 外接圆的圆心.因为ABC 是边长为 6 的等边三角形, 所以 OA=6 3 2 2 3=2 3.因为 OP
3、2+OA2=PA2,解得 OP=3. 设球 O1的半径为 R,球 O2的半径为 r. 解法 1(体积法求球 O1的半径) 分析:球心 O1与三棱锥 P-ABC 的四个顶点的连 线,将三棱锥 P-ABC 分成四个小三棱锥,它们的体积和等于三棱锥 P-ABC 的体积. 由等体积法可得,?=?1?+?1?+?1?+?1?=1 3R(SPAB+SPAC+SPBC+S ABC)= 1 3RS 表, 所以 R=3? ?表 = 31 3 1 266 3 2 3 31 262 3+ 1 266 3 2 =1. 解法 2(直接法求球 O1的半径) 分析:由O1FPDOP 得到关于 R 的等量关 系求得 R. 三
4、棱锥 P-ABC 的斜高 PD= ?2+ ?2= 9 + 3=2 3, 因为O1FPDOP,所以?1 ? =?1 ?,即 3? 2 3= ? 3,解得 R=1. 所以球 O1的体积为 V=4 3R 3=4 3 . 分析:利用PO2EPO1F 求得球 O2的半径 r. 作截面图如图所示,可知 O1O=O1N=1,OP=3,则 PN=1,PO1=2,PO2=1-r. 因为PO2EPO1F,则?2 ?1= ?2? ?1?,即 1? 2 =? 1,解得 r= 1 3, 所以球 O2的表面积为 S=4r2=4 9 . 解后反思 1. 在研究较为复杂的立体几何问题时,尤其是与球有关的问题时,一般 地,我们
5、可以通过作出几何体的截面图来寻找各个相关量之间的关系. 2. 体积法是求点到平面的距离的一种常用方法,同时,也是求几何体内切球 的半径的一种基本方法,它的本质是“算两次”思想的应用,即对于同一个数学对 象,应用两种不同的方式进行计算,则它们的结果应该是相同的. 17.【解析】【解析】(1) ?(?) = sin? + cos?， ?(? + ? 2 ) = sin(? + ? 2 ) + cos(? + ? 2 ) = cos? sin?，.1 ?(?) = ?(? + ? 2 )2= (cos? sin?)2= 1 sin2?，.2 ? = ?(? + ? 2 )2的最小正周期? = 2?
6、2 = ?；.3 (2) ?(?) = sin? + cos? =2sin(? + ? 4 )， ?(? ? 4 ) =2sin?，.4 ? = ?(?)?(? ? 4 ) = (sin? + cos?) 2sin? =2sin2? +2sin?cos? =2 1cos2? 2 + 2 2 sin2? = 2 2 + 2 2 (sin2? cos2?) = 2 2 + sin(2? ? 4 )，.6 令 2? ? 4 = ?，则 ? 4 ? 3? 4 ，(?) = 2 2 + sin?， 当 ? 4 ? ? 2时，函数(?)单调递增， 当? 2 0,b0)的离心率为 2,A 为双曲线 C 上位
7、于第二象限的动点. (1)若点 A 的坐标为(-2,3),求双曲线 C 的方程; (2)设 B,F 分别为双曲线 C 的右顶点、左焦点,是否存在常数,使得AFB=ABF?若存在,请求 出的值;若不存在,请说明理由. 20. 规范解答解:(1)分析:利用双曲线的离心率和双曲线点的坐标列出 a,b,c 的方程组即可求解. 由离心率 e=? ?=2,得 c=2a, 又 b2=c2-a2=3a2,所以双曲线的方程为? 2 ?2- ?2 3?2=1,.2 把点 A(-2,3)代入双曲线方程得 4 ?2- 9 3?2=1,解得 a 2=1, 故双曲线 C 的方程为 x2-? 2 3 =1.(4 分) (2
8、)分析:由于AFB,ABF 与两直线 AF 和 AB 倾斜角有关,所以从两直线斜率 入手探究,但先要考虑斜率不存在的情况. 由(1)知双曲线方程 C:? 2 ?2- ?2 3?2=1,所以 B(a,0),F(-2a,0). 当直线 AF 的斜率不存在时,则AFB=90,FB=3a,AF=? 2 ? =3a, 所以ABF=45,此时=2.(6 分) 分析:由特殊情况得=2,为下面的探究提供了方向. 当直线 AF 的斜率存在时,设AFB=,ABF=,A(x0,y0),其中 x00. 因为 e=2,故 c=2a,故渐近线方程为 y= 3x, 所以 0, 2 3 , 0, 3 .7 又 tan = ?
9、0 ?0+2?, tan =- ?0 ?0-?, (8 分) 所以 tan 2= -2?0 ?0-? 1 ?0 ?0-? 2= -2?0(?0-?) (?0-?)2-?0 2 = -2?0(?0-?) (?0-?)2-3?2 ?0 2 ?2-1 = -2?0(?0-?) (?0-?)2-3(?0 2-?2) = -2?0 (?0-?)-3(?0+?)= ?0 ?0+2?, 所以 tan =tan 2,.11 又,2 0, 2 3 ,所以=2. 综上,存在常数=2,满足AFB=2ABF.(12 分) 解后反思 解题过程中,合情推理也有着重要的作用,解题时可以先从特殊情况进 行合理的猜想,有了解题
10、方向和明确的目标再进行推理、论证. 21. (本小题满分 12 分) 某地发现 6 名疑似病人中有 1 人感染病毒,需要通过血清检测确定该感染人员,血清检测 结果呈阳性的即为感染人员,呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测: 方案甲:将这 6 名疑似病人血清逐个检测,直到能确定感染人员为止; 方案乙:将这 6 名疑似病人随机分成 2 组,每组 3 人.先将其中一组的血清混在一起检测, 若结果为阳性,则表示感染人员在该组中,然后对该组中每份血清逐个检测,直到能确定感染 人员为止;若结果呈阴性,则对另一组中每份血清逐个检测,直到能确定感染人员为止. (1)求这两种方案检测次数相同的概率; (2)如果
11、每次检测的费用相同,请预测哪种方案检测总费用较少,并说明理由. 21. 规范解答 解:(1)设方案甲中检测次数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3,4,5;(1 分) 设方案乙中检测次数为 Y,则 Y 的可能取值为 2,3.(2 分) P(X=1)=C1 1 C6 1= 1 6, P(X=2)=A5 1C11 A6 2 =1 6, P(X=3)=A5 2C11 A6 3 =1 6, P(X=4)=A5 3C11 A6 4 =1 6, P(X=5)=A5 4C11+A 5 5 A6 5 =1 3, P(Y=2)=C5 2C21 C6 3C31= 1 3, P(Y=3)=C5 2C21C21
12、C6 3C31 =2 3, 则 X,Y 的分布列分别为 X12345 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 (4 分) Y23 P 1 3 2 3 (6 分) 记“两种方案检测次数均为 2”为事件 A, 记“两种方案检测次数均为 3”为事件 B,则事件 A,B 互斥, 记“两种方案检测次数相同”为事件 C, 又采用甲方案和乙方案的各事件之间是独立的,所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=1 6 1 3+ 1 6 2 3= 1 6. (8 分) (2)E(X)=11 6+2 1 6+
13、3 1 6+4 1 6+5 1 3= 10 3 , E(Y)=21 3+3 2 3= 8 3. (10 分) 因为 E(X)E(Y),所以乙方案检测总费用较少.(11 分) 答:(1)这两种分组方案检测次数相同的概率为1 6. (2)预测乙方案分组检测总费用较少. (12 分) 22. (本小题满分 12 分) (1)已知函数 f(x)=x-2aln x-1 ?(aR). 试讨论函数 f(x)的单调性; 若 x1,x2为函数 f(x)的两个极值点,证明: ?(?1)-?(?2) ?1-?2 2-4a. (2)证明： 1 )( 1 e e n k n n k （e 为自然对数的底数） 21. （
14、1）规范解答解:分析:直接通过分类讨论,利用导数讨论函数 f(x)的单调 性即可. f(x)=? 2-2?+1 ?2 ,x0,令 x2-2ax+1=0,=4a2-4,. 当0,即-1a1 时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增;.1 当0,即 a1 或 a-1 时, 当 a-1 时,ax0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增;.2 当 a1 时,令 f(x)=0,x1=a- ?2-1,x2=a+ ?2-1. x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+) f(x)+0-0+ f(x)递增 极大值 递减 极小值递增 .3 综上,当 a1 时,f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a
15、1 时,f(x)在(0,a- ?2-1),(a+ ?2-1,+)上单调递增,在(a- ?2-1,a+ ?2-1)上 单调递减.(4 分) 分析:利用极值点的必要条件,以及根与系数的关系,通过消元,构造函数进 行证明. 证明:由(1)知 a1 时 f(x)才有两个极值点 x1,x2, 且 x1+x2=2a,x1x2=1,不妨设 x21x10,. ?(?1)-?(?2) ?1-?2 = ?1-2?ln ?1- 1 ?1 - ?2-2?ln ?2- 1 ?2 ?1-?2 = (?1-?2)-2?ln?1 ?2+ ?1-?2 ?1?2 ?1-?2 =2- 2?ln?1 ?2 ?1-?2 .6 要证?(?1)-?(?2) ?1-?2 2-4a,即证 ln?1 ?2 ?1-?22,即 ln ?2 2 ?2- 1 ?2 2,.7 即证 ln x2-x2+ 1 ?21),由(1)知当 a= 1 2时,f(x)在(0,+)上单调递增,g(t)=-f(t), 则 g(t)在(1,+)上单调递减,所以 g(t)g(1)=0.原式得证.(9 分) (2)
