1、4.4.3不同函数增长的差异不同函数增长的差异 学习目标1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆 炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型 导语 同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化， 如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回 报是这样的：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回 报 10 元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪 种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的
2、探究吧！ 一、几个函数模型增长差异的比较 问题 1结合之前所学，请同学们自行阅读课本 136 页138 页，同位之间可以相互讨论， 5 分钟后检查讨论结果 提示通过对 y2x 与 y2x的比较我们发现，函数 y2x 的增长速度保持不变，函数 y2x 的增长速度在变化，而且增长速度越来越快，虽然函数 y2x 在一定范围内比函数 y2x增 长快些，但存在一个 x0，当 xx0时，总有 2x2x，即使一次函数 ykx(k0)，k 的值远远大于 指数函数 yax(a1)中 a 的值，yax(a1)的增长速度最终都会大大超过 ykx(k0)的增长速 度通过对函数 ylg x 与 y 1 10 x 的比较
3、我们发现，函数 y 1 10 x 的增长速度保持不变，函数 ylg x 的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，虽然函数 ylg x 在一定范围内比函数 y 1 10 x 增长快些，但存在一个 x 0，当 xx0时，总有 1 10 xlg x，即使对数函数 ylog ax(a1)中 底数 a 的值远远大于一次函数 ykx(k0)中 k 的值， 一次函数 ykx(k0)的增长速度最终都会 超过对数函数 ylogax(a1)的增长速度 问题 2把一次函数 y2x， 对数函数 ylg x 和指数函数 y2x的图象画到同一坐标系下， 并 比较它们的增长差异 提示一次函数 y2x 匀速增长， 指数函数
4、y2x增长越来越快， 对数函数 ylg x 增长最慢 知识梳理 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0) 在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变 “陡” 随 x 的增大逐渐趋 于稳定 增长速度不变 形象描述指数爆炸对数增长直线上升 增长速度 yax(a1)的增长速度最终都会大大超过 ykx(k0)的增长 速度；总存在一个 x0，当 xx0时，恒有 logaxx0时，有 axkxlogax 注意点：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；(2)当要求不断增长，但又 不会增长过快，也不会增长很大时，常
5、常选用对数函数模型；(3)一次函数增长速度不变，平 稳变化；(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现 在函数值的变化趋势上 例 1(1)下列函数中，增长速度最快的是() Ay2 021xByx2 021 Cylog2 021xDy2 021x 答案A 解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快 (2)三个变量 y1，y2，y3随着变量 x 的变化情况如表： x1357911 y151356251 7153 6356 655 y25292452 18919 685177 149 y356.106.616.957.207.40 则与
6、x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是() Ay1，y2，y3By2，y1，y3 Cy3，y2，y1Dy3，y1，y2 答案C 解析由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长 最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数 反思感悟常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型 ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变 (2)指数函数模型：指数函数模型 yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的 速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸” (3)对数函数模型：对数函数模型
7、 ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大 的速度越来越慢，即增长速度平缓 (4)幂函数模型：幂函数 yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间 跟踪训练 1下列函数中，增长速度越来越慢的是() Ay6xBylog6x Cyx2Dy6x 答案B 解析D 中一次函数的增长速度不变；A，C 中函数的增长速度越来越快；只有 B 中对数函 数的增长速度越来越慢，符合题意 二、函数增长速度的比较 例 2函数 f(x)2x和 g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 且 x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)， 所以 1x
8、12,9x210， 所以 x16x2， 从图象上可以看出，当 x1xx2时，f(x)g(x)， 所以 f(6)x2时，f(x)g(x)，所以 f(2 021)g(2 021) 又因为 g(2 021)g(6)， 所以 f(2 021)g(2 021)g(6)f(6) 反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断 (2)根据图象判断增长型的指数函数、 对数函数和二次函数时， 通常是观察函数图象上升的快慢， 即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数 跟踪训练 2以下四种说法中，正确的是() A幂函数
9、的增长速度比一次函数的增长速度快 B对任意的 x0，xnlogax C对任意的 x0，axlogax D不一定存在 x0，当 xx0时，总有 axxnlogax 答案D 解析对于 A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数及一次 项系数不确定，增长速度不能比较； 对于 B，C，当 0a1，n0 时，一定存在 x0，使得当 xx0时，总有 axxnlogax，但若去掉限制条 件“a1，n0”，则结论不一定成立 三、函数模型的选择 问题 3现在你能对你资金的三种投资方案做出选择了吗？方案一： 每天回报 40 元； 方案二： 第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10
10、元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天 的回报比前一天翻一番 提示如果做短期投资，方案二收益较高；如果做长期投资，显然方案三最终回报最高 例 3汽车制造商在 2021 年年初公告：公司计划 2021 年的生产目标为 43 万辆已知该公司 近三年的汽车生产量如表所示： 年份(年)201820192020 产量(万辆)81830 如果我们分别将 2018,2019,2020,2021 定义为第一、二、三、四年现在有两个函数模型：二 次函数模型 f(x)ax2bxc(a0)，指数型函数模型 g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个 模型能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的关系？ 解建
11、立年产量 y 与年份 x 的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30) 构造二次函致模型 f(x)ax2bxc(a0)，将点的坐标代入， 可得 abc8， 4a2bc18， 9a3bc30， 解得 a1， b7， c0， 则 f(x)x27x，故 f(4)44，与计划误差为 1 万辆 构造指数型函数模型 g(x)abxc(a0，b0，b1)， 将点的坐标代入，可得 abc8， ab2c18， ab3c30， 解得 a125 3 ， b6 5， c42， 则 g(x)125 3 6 5 x42， 故 g(4)125 3 6 5 44244.4， 与计划误差为 1.4 万辆 由
12、可得，二次函数模型 f(x)x27x 能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的关系 反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、 较简便的模型 (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正 确结论 (3)反映性原则： 建立模型， 应与原型具有“相似性”， 所得模型的解应具有说明问题的功能， 能回到具体问题中解决问题 跟踪训练 3据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若按此规律，设 2021 年的湖 水量为 m，从 2021 年起，经过 x 年后湖水量 y 与
13、x 的函数关系为_ 答案 50 =0.9 x ym 解析设每年湖水量为上一年的 q%，则(q%)500.9，所以 1 50 %=0.9 ,q 所以 x 年后的湖水量为 50 =0.9. x ym 1知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模 型 2方法归纳：转化法 3常见误区：不理解三种函数增长的差异 1下列函数中，在(0，)上增长速度最快的是() Ayx2Bylog2x Cy2xDy2x 答案D 2在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x2.01.001.002.003.00 y0.240.5112.023.988.02 则 x，y 的函数关系与下列哪类
14、函数最接近？(其中 a，b 为待定系数)() AyabxByabx Cyax2bDyab x 答案B 解析在坐标系中描出各点，知模拟函数为 yabx. 3甲从 A 地到 B 地，途中前一半路程的行驶速度是 v1，后一半路程的行驶速度是 v2(v11) Byaxb(a1) Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1) 答案C 解析由表中数据可知，s 随 t 的增大而增大且其增长速度越来越快，A，D 中的函数增长速 度越来越慢；B 中的函数增长速度保持不变；C 中的函数 y 随 x 的增大而增大，且增长速度 越来越快 4小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快
15、速 度行驶与以上事件吻合得最好的图象是() 答案C 解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A；因交通堵塞 停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B. 5y12x，y2x2，y3log2x，当 2xy2y3By2y1y3 Cy1y3y2Dy2y3y1 答案B 解析由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的，所以 4y116,4y216,1y3y1y3. 6 (多选)下面对函数 f(x) 1 2 log x与 g(x) 1 2 x在区间(0， )上的衰减情况的说法中错误的 有() Af(x)的衰减速度越来越慢， g
16、(x)的衰减速度越来越快 Bf(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 Cf(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 Df(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 答案ABD 解析在平面直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为 f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢 7.某工厂 8 年来某种产品总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如图所示 以下四种说法： 前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产 品停止生产；第三年后产量保持不变 其中说法正确的序号是_ 答案 解析由图可知
17、，前三年产量增长的速度越来越慢，故错误，正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故错误，正确 8下列选项是四种生意预期的收益 y 关于时间 x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途 的生意是_ y101.05x；y20 x1.5； y30lg(x1)；y50. 答案 解析由于指数型函数的底数大于 1，其增长速度随着时间的推移是越来越快， y101.05x是更为有前途的生意 9函数 f(x)lg x，g(x)0.3x1 的图象如图所示 (1)试根据函数的增长差异指出 C1，C2分别对应的函数； (2)以两图象的交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较 解(1)C1对应的函数为 g(x
18、)0.3x1；C2对应的函数为 f(x)lg x. (2)当 xf(x)； 当 x1xg(x)； 当 xx2时，g(x)f(x)； 当 xx1或 xx2时，f(x)g(x) 10每年的 3 月 12 日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有 树木面积 10 万平方米，计划今后 5 年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树 1 万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加 9%. 哪个方案较好？ 解方案一：5 年后树木面积为 101515(万平方米) 方案二：5 年后树木面积是 10(19%)515.386(万平方米)， 因为 15.38615，所以方案二较
19、好 11下列函数图象中，估计有可能用函数 yablg x(b0)来模拟的是() 答案C 解析由于函数 ylg x 在定义域内单调递增，且是上凸的，又 b0，所以当 x0 时，ya blg x(b0)的图象是单调递增且上凸的 12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水 槽，水槽中水面上升高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系大致是() 答案B 解析开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与 B 图象相吻合 13渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、 冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很
20、快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的 新鲜度三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积 聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)已知某种鱼失去的新鲜度 h 与其出海后 时间 t(分)满足的函数关系式为 h(t)mat.若出海后 10 分钟， 这种鱼失去的新鲜度为 10%， 出 海后 20 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时 间后开始失去全部新鲜度(已知 lg 20.3，结果取整数)() A33 分钟B40 分钟 C43 分钟D50 分钟 答案C 解析由题意得 h10ma100.1， h20ma200.2，
21、 解得 1 10 2 ,a m0.05， 故 h(t)0.05 1 10 2, t 令 h(t)0.05 11 1010 2,2=201 tt ， 得 故 t 1 10 lg201+lg2 = 1 lg2 lg2 10 1010.3 0.3 43(分钟) 14.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80 km 的甲、 乙两城间从甲城到乙 城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如 下信息： 骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h，晚到 1 h； 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； 骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上了骑自行车者； 骑摩
22、托车者在出发 1.5 h 后与骑自行车者速度一样 其中，正确信息的序号是_ 答案 解析看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速 运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故正确；两 函数图象的交点的横坐标对应于 4.5，故正确，错误 15.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(月) 的近似函数关系：yat(t0，a0 且 a1)的图象有以下叙述： 第 4 个月时，剩留量就会低于1 5； 每月减少的有害物质量都相等； 若剩留量为1 2， 1 4， 1 8时，所经过的时间分别是 t 1，t2，t3
23、，则 t1t2t3. 其中所有正确叙述的序号是_ 答案 解析根据题意，函数的图象经过点 2，4 9 ， 故函数为 y 2 3 t， 当 t4 时，y16 81 1 5，故正确； 当 t1 时，y2 3，减少 1 3；当 t2 时，y 4 9，减少 2 9，每月减少的有害物质量不相等，故不 正确； 分别令 y1 2， 1 4， 1 8，解得 122232 333 111 =log=log=log, 248 ttt，t1t2t3，故正确 16近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术据了解， 在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 vv0ln M m计算火箭的最
24、大速度 v m/s，其中 v0m/s 是喷流相对速度，m kg 是火箭(除推进剂外)的质量，M kg 是推进剂与火箭 质量的总和，M m称为“总质比”已知 A 型火箭的喷流相对速度为 2 000 m/s. (1)当总质比为 410 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 1.5 倍，总质比变 为原来的1 5，若要使火箭的最大速度至少增加 1 000 m/s，求在材料更新和技术改进前总质比 的最小整数值 参考数据：ln 4106，e2.718. 解(1)当总质比为 410 时，v2 000ln 410. 由参考数据
25、得 v2 000612 000 m/s， 当总质比为 410 时，A 型火箭的最大速度约为 12 000 m/s. (2)由题意，经过材料更新和技术改进后， A 型火箭的喷流相对速度为 3 000 m/s，总质比变为 M 5m. 要使火箭的最大速度至少增加 1 000 m/s， 则需 3 000 ln M 5m2 000 ln M m1 000. 化简，得 3ln M 5m2ln M m1. ln M 5m 3ln M m 21，整理得 ln M 125m1. M 125me，则 M m125e. 由参考数据，知 e2.718. 125e339.8. 材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为 340.
