1、第第 2 课时课时换底公式换底公式 学习目标1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值 一、对数的换底公式 问题 1上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如 log48，log927 等式子的 化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？ 提示设 log48x，故有 4x8，即 22x23，故 x3 2，而 log 283，log242，于是我们大胆 猜测 log48log28 log24，同样 log 927log327 log39 . 问题 2是否对任意的 logab 都可以表示成 logablogcb logca(a0，且 a1；b0；c0，且 c1)
2、？ 说出你的理由 提示依据当 a0，且 a1 时，axNlogaNx 推导得出 令logcb logcax，则 log cbxlogcalogcax，故 bax， xlogab，logablogcb logca. 知识梳理 1logablogcb logca(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) 2对数换底公式的重要推论 (1)logaN 1 logNa(N0，且 N1；a0，且 a1) (2)log n m a bm nlog ab(a0，且 a1，b0) (3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且 a1，b1，c1) 注意点： (1)公式成立的条件要使每一
3、个对数式都有意义；(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或 自然对数，即 logablg b lg a或 log abln b ln a. 例 1(1)计算：(log43log83)(log32log92)； (2)已知 log189a,18b5，用 a，b 表示 log3645 的值 解(1)原式 lg 3 lg 4 lg 3 lg 8 lg 2 lg 3 lg 2 lg 9 lg 3 2lg 2 lg 3 3lg 2 lg 2 lg 3 lg 2 2lg 3 5lg 3 6lg 2 3lg 2 2lg 3 5 4. (2)方法一log189a,18b5，log185b. log3645l
4、og1845 log1836 log1895 log18182 log189log185 1log182 ab 1log1818 9 ab 2a. 方法二log189a,18b5，log185b. log3645 log1895 log1818 2 9 log189log185 2log1818log189 ab 2a. 延伸探究若本例(2)条件不变，求 log915(用 a，b 表示) 解因为 18b5，所以 log185b. 所以 log915log1815 log189 log1835 log189 log183log185 a log18 9b a 1 2 18 log 9 a 1 2
5、log 189b a 1 2ab a a2b 2a . 反思感悟利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 跟踪训练 1(1)log89 log23的值是( ) A.2 3 B.3 2 C1D2 答案A 解析方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log89 log23 lg 9 lg 8 lg 3 lg 2 2lg 3 3lg 2 lg 2 lg 3 2 3. 方法二将分子利用换底公式转化为以 2 为底的对数， 即log89 log23 log29 log28 log23 2log23 3log23 2 3. (2)计算：log 52log79 log51 3log 7 3 4 . 解原
6、式log 52 log51 3 log79 log7 3 4 1 3 log2 34 log9 2 2 2 1 3 2 1 l23logog3 1 2log 323log233 2. 二、对数运算性质的综合运用 例 2(1)设 3a4b36，求2 a 1 b的值； (2)已知 2x3y5z，且1 x 1 y 1 z1，求 x，y，z. 解(1)方法一由 3a4b36， 得 alog336，blog436， 由换底公式得1 alog 363，1 blog 364， 2 a 1 b2log 363log364log36361. 方法二由 3a4b36，两边取以 6 为底的对数，得 alog63bl
7、og64log6362， 2 alog 63，1 b 1 2log 64log62， 2 a 1 blog 63log62log661. (2)令 2x3y5zk(k0)， xlog2k，ylog3k，zlog5k， 1 xlog k2，1 ylog k3，1 zlog k5， 由1 x 1 y 1 z1， 得 logk2logk3logk5logk301， k30， xlog2301log215， ylog3301log310，zlog5301log56. 反思感悟利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条 件和结论
8、之间的关系，进行正确的相互转化 (2)对于连等式可令其等于 k(k0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒 数化为同底的对数，从而使问题得解 跟踪训练 2已知 3a5bc，且1 a 1 b2，求 c 的值 解3a5bc，c0， alog3c，blog5c， 1 alog c3，1 blog c5， 1 a 1 blog c15. 由 logc152 得 c215， 即 c 15(负值舍去) 三、实际问题中的对数运算 例 3某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过 0.1%.若初始时含杂质 2%， 每过滤一次可使杂质含量减少1 3，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次
9、数为(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1)() A6B7C8D9 答案C 解析设至少需要过滤 n 次， 则 0.02 11 3 n0.001，即 2 3 n1 20. 所以 nlg2 3lg 1 20，即 n(lg 2lg 3)lg 20， 又 lg 2lg 30，则 alogxk，blogyk，clogzk. 因为1 a 1 b 1 c，所以 1 logxk 1 logyk 1 logzk，即 log kxlogkylogkz. 所以 logk(xy)logkz，即 zxy. 11设 log83p，log35q，则 lg 5 等于() Ap2q2B.1 5(3p2q) C.
10、 3pq 13pq Dpq 答案C 解析log83lg 3 lg 8 lg 3 3lg 2p， lg 33plg 2. log35lg 5 lg 3q， lg 5qlg 33pqlg 23pq(1lg 5)， lg 5 3pq 13pq. 12计算 log89log910log1011log3132 的结果为() A4B.5 3 C.1 4 D.3 5 答案B 解析log89log910log1011log3132lg 9 lg 8 lg 10 lg 9 lg 11 lg 10 lg 32 lg 31 lg 32 lg 8 5lg 2 3lg 2 5 3. 13根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪
11、能够处理空间复杂度的上限 M 约为 1010，目前人类 可预测的地面危机总数 N 约为 36230.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 20.30，lg 30.48) A. 1 10 B. 1 100 C. 1 1 000 D. 1 10 000 答案B 解析汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限 M 约为 1010， 目前人类可预测的地 面危机总数 N 约为 36230. M N 1010 36230， 两边取常用对数，可得 lgM Nlg 10 10lg 36lg 2301060.48300.301.88. M N10 1.881 100. 14已知 1 7 a1
12、3，log 74b，则 log4948_(用含 a，b 的式子表示) 答案 a2b 2 解析由 1 7 a1 3，得 alog 73， 又 blog74， log4948lg 48 lg 49 lg 32lg 4 2lg 7 log732log74 2 a2b 2 . 15已知函数 f(x)ln( 1x2x)2，则 f(lg 5)f lg 1 5 等于() A4B0C1D2 答案A 解析f(x)ln( 1x2x)2，f(x)f(x)ln( 1x2x)2ln( 1x2x)2lg 1 44，则 f(lg 5)f lg 1 5 f(lg 5)f(lg 5)4. 16已知 logax3logxalogxy3(a1)，若设 xat，试用 a，t 表示 y. 解由换底公式， 得 logax 3 logax logay logax3(a1)， 所以 logay(logax)23logax3. 当 xat时，logaxlogaatt， 所以 logayt23t3. 所以 y 2 33tt a (t0)
