1、2.3.1两条直线的交点坐标 第二章 2.3直线的交点坐标与距离公式 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 学 习 目 标 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后， 我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的 坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点， 进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标 平面内与点、直线相关的距离问题等. 导 语 随堂演练课时对点练 一、求相交直线的交点坐标 二、判断两直线位置关系的方法 三、直线系过定点问题 内容索引 一、求相交直线的
2、交点坐标 提示直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上， 也在直线l2上.满足直线l1的方程xy50，也满足直 线l2的方程xy30. 问题1已知两条直线l1：xy50，l2：xy30，画出两条直线的 图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 已知两条直线的方程是l1：A1xB1yC10, l2：A2xB2yC20，设这 两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.所以点P的坐 标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2y C20，即点P的坐标就是方程组 的解. l1l2 知识梳理 例1求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy2
3、0的交点且过坐标 原点的直线l的方程. 即l1与l2的交点坐标为(2,2). 直线过坐标原点， 故直线方程为yx，即xy0. 方法二l2不过原点， 可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)， 即(32)x(4)y220. 将原点坐标(0,0)代入上式，得1， 直线l的方程为5x5y0，即xy0. 反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法： (1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他 条件求解. (2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1xB1yC10，l2： A2xB2yC20有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1xB1yC1 (A2
4、xB2yC2)0(为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利 用其他条件求解. 跟踪训练1求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P， 且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程. 即4x3y60. 方法二直线l过直线l1和l2的交点， 可设直线l的方程为x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. l与l3垂直， 3(1)(4)(2)0，11， 直线l的方程为12x9y180，即4x3y60. 二、判断两直线位置关系的方法 一组无数组 _ 直线l1与l2的公共点的个数一个 _ 零个 直线l1与l2的位置关系_重合_ 无解 无数个 知识梳理 相交平行 注意点：注意点： (1
5、)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的 解的情况. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算 量较大，一般较少使用. 例2(教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点 坐标. (1)l1：2xy7和l2：3x2y70； 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1). (2)l1：2x6y40和l2：4x12y80； 2得4x12y80. 和可以化为同一个方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合. (3)l1：4x2y40和l2：y2x3. 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2. 反思感悟判断两直线位置关系的方法，关键是
6、看两直线的方程组成 的方程组的解的情况. 跟踪训练2已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象 限，则a的取值范围是_. 三、直线系过定点问题 问题2观察下面的图象，发现直线都经过点M(4,1)，怎么表示出经过M 点的直线方程？ 提示当斜率存在时，y1k(x4)(kR)；当斜率不存在时，x4. 1.平行于直线AxByC0的直线系方程为AxBy0(C). 2.垂直于直线AxByC0的直线系方程为BxAy0. 3.过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程 为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20). 知识梳理 例3无论m为何值，
7、直线l：(m1)xy7m40恒过一定点P，求点 P的坐标. 解(m1)xy7m40， m(x7)(xy4)0， 点P的坐标为(7,3). 反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线， 然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而 问题得解. (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定 点，其定点可由方程组 解得.若整理成yy0k(xx0) 的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0). 跟踪训练3已知直线(a2)y(3a1)
8、x1，求证：无论a为何值，直线 总经过第一象限. 证明将直线方程整理为a(3xy)(x2y1)0. 所以无论a为何值，直线总经过第一象限. 1.知识清单： (1)两条直线的交点. (2)直线系过定点问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法. 3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊. 课堂小结 随堂演练 1.两条直线l1：2xy10与l2：x3y110的交点坐标为 A.(3,2) B.(2,3) C.(2，3) D.(3，2) 1234 2.不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m3)ym0恒过定点 A.(3，1) B.(2，1) C.(3,1) D.(2,1) 1234 解析直线l的方程可化为m
9、(x2y1)x3y0， 直线l恒过定点(3,1).故选C. 3.斜率为2，且过两条直线3xy40和xy40交点的直线方程为 _. 1234 2xy40 解析设所求直线方程为3xy4(xy4)0， 即(3)x(1)y440， 所求直线方程为2xy40. 4.若三条直线2x3y80，xy10和xky0相交于一点，则k_. 1234 又该点(1，2)也在直线xky0上， 课时对点练 1.直线3x2y60和2x5y70的交点坐标为 A.(4，3) B.(4,3) C.(4,3) D.(3,4) 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.直线3xmy10与4x3yn0的交
10、点为(2，1)，则mn的值为 A.12 B.10 C.8 D.6 解析直线3xmy10与4x3yn0的交点为(2，1). 将点(2，1)代入3xmy10得32m(1)10，即m5， 将点(2，1)代入4x3yn0得423(1)n0，即n5， mn10. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.经过直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点，且经过原点的直 线的方程是 A.19x9y0 B.9x19y0 C.3x19y0 D.19x3y0 12345678910 11 12 13 14 15 16 即3x19y0. 4.两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，
11、那么k的值是 A.24 B.6 C.6 D.24 解析因为两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上， 所以设交点为(0，b)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.已知实数a，b满足a2b1，则直线ax3yb0过定点 解析由a2b1，得a12b， 则直线ax3yb0可化为(12b)x3yb0， 整理得x3yb(2x1)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.若直线l：ykx 与直线xy30相交，且交点在第一象限，则直 线l的倾斜角的取值范围是 A.|060 B.|3060 C.|3090 D.|6090 12345678910
12、11 12 13 14 15 16 解析由题可知k1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 两直线的交点在第一象限， 3090. 7.过两直线2xy50和xy20的交点且与直线3xy10平行的 直线方程为_. 3xy0 12345678910 11 12 13 14 15 16 则所求直线的方程为y33(x1)， 即3xy0. 8.已知直线ax2y10与直线2x5yc0垂直相交于点(1，m)，则m _.2 解析由两直线垂直得2a100，解得a5. 又点(1，m)在直线上， 所以a2m10， 所以m2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.求经
13、过直线l1：7x8y10和l2：2x17y90的交点，且垂直于直 线2xy70的直线方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即27x54y370. 10.若两条直线l1：ykx2k1和l2：x2y40的交点在第四象限， 求k的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 该交点落在平面直角坐标系的第四象限， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.已知直线axya20恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直 线方程是_. 解析由直线axya20， 得a(x1
14、)(y2)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 y2x 直线axya20恒经过定点(1，2)， 12.经过直线3x2y60和2x5y70的交点，且在两坐标轴上的截距 相等的直线方程为_. 解析设直线方程为3x2y6(2x5y7)0， 即(32)x(25)y670. 12345678910 11 12 13 14 15 16 xy10或3x4y0 所以直线方程为xy10或3x4y0. 13.若集合(x，y)|xy20且x2y40(x，y)|y3xb，则b_.2 12345678910 11 12 13 14 15 16 代入直线方程y3xb，得b2. 14.
15、已知A(2,4)，B(4,2)，直线l：axy20与线段AB恒相交，则a的 取值范围为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (，31，) 解析如图所示， 直线l：axy20经过定点D(0，2)， a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：axy20与线段AB的交点在线段CB上时， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当直线l：axy20与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA 的斜率， 综上，a的取值范围为(，31，). 15.已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在 直线方
16、程为 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设B关于直线yx1的对称点B(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又B在直线AC上， 16.如图，已知在ABC中，A(8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程 为x2y50，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x5y80，求 直线BC的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设B(x0，y0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 即B(6,4). 同理可求得C点的坐标为(5,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 即4xy200. 本课结束 更多精彩内容请登录：
