1、2.3.3点到直线的距离公式 第二章 2.3直线的交点坐标与距离公式 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展 数学运算与逻辑推理素养. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 学 习 目 标 距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离 公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中， 我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点 到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、点到直线距离公式的推导 二、点到直线距离公式的简单应用 三、点到直线距离公式的综合应用 内容索引 一、
2、点到直线距离公式的推导 问题1如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：AxByC 0(A0，B0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长， 问题2上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状 况的原因吗？ 提示推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二 是代入两点间的距离公式化简复杂. 问题3向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求 点到直线的距离呢？ 所以m(B，A)是它的一个方向向量. 距离公式：d . 知识梳理 注意点：注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)
3、分子含有绝对值； (3)若直线方程为AxByC0，则当A0或B0时公式也成立，但由于 直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 二、点到直线距离公式的简单应用 例1(1)点P(1,2)到直线2xy100的距离为_. 解析由点到直线的距离公式得 (2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等， 则实数m的值等于_. |3m5|m7|， 3m5m7或3m57m， 反思感悟点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直 线的距离公式即可. (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列 出关
4、于参数的方程(组)即可. 三、点到直线距离公式的综合应用 例2已知点P(2，1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 解当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)，即kxy2k1 0， 所以直线l的方程为3x4y100. 故直线l的方程为x2或3x4y100. 延伸探究求过点P(2，1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离 是多少？ 解设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线. 由lOP，得klkOP1， 所以直线l的方程为y12(x2)，即2xy50， 即直线2xy5
5、0是过点P且与原点距离最大的直线， 反思感悟解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论， 利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题 的目的. 跟踪训练2已知直线l过点M(1,2)，且点A(2,3)，B(4,5)到l的距离相 等，求直线l的方程. 解方法一当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x 1， 此时点A(2,3)与点B(4,5)到直线l的距离相等， 故x1满足题意； 当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y2k(x1)， 即kxyk20. 由点A(2,3)与B(4,5)到直线l的距离相等， 即x3y50. 综上所述，直线l的方程
6、为x1或x3y50. 方法二由题意得lAB或l过线段AB的中点. 当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl， 即x3y50. 当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1. 综上所述，直线l的方程为x1或x3y50. 1.知识清单： (1) 点到直线的距离公式的推导过程； 课堂小结 (3) 公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在. 随堂演练 1.原点到直线x2y50的距离为 1234 2.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m等于 1234 3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上
7、，则|MP|的最小值是 1234 解析点M到直线2xy10的距离，即为|MP|的最小值， 4.已知直线l经过点(2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程 为_. x20或5x12y260 1234 解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合原点到直线l 的距离等于2. 当直线l的斜率存在时， 设所求直线l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30， 综上，直线l的方程为x20或5x12y260. 课时对点练 1.点P(1，1)到直线l：3y2的距离是 解析点P(1，1)到直线l的距离 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.点(1,2)到直
8、线y2x1的距离为 解析直线y2x1即2xy10， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.点P(x，y)在直线xy40上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是 解析|OP|最小即OPl， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等， 则实数a的值等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 化简得|3a3|6a4|， 6.(多选)与直
9、线3x4y10垂直，且与点(1，1)距离为2的直线方程为 A.4x3y30 B.4x3y170 C.4x3y30 D.4x3y170 解析设所求直线方程为4x3yC0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即|C7|10，解得C3或C17. 故所求直线方程为4x3y30或4x3y170. 7.倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为_ _. 12345678910 11 12 13 14 15 16 由直线与原点的距离为5， 所以b10. 8.经过两直线x3y100和3xy0的交点，且和原点相距为1的直线 的条数为_.2 解析设所求直线l的方程为x3y10(3xy)
10、0， 即(13)x(3)y100， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以3，即直线方程为x1或4x3y50， 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 9.已知ABC三个顶点的坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面积S. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即x2y30. 点A到BC的距离为d，即为BC边上的高， 即ABC的面积为4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为ykx， 12345678910 11 12 13 14 15
11、 16 整理得7k26k10， 所以所求直线的方程为x7y0或xy0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为xya， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得a6或a2， 所以所求直线的方程为xy60或xy20. 综上所述，所求直线方程为x7y0或xy0或xy60或xy2 0. 11.(多选)已知点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离 为 则点P的坐标为 A.(1,2) B.(3，4) C.(2，1) D.(4，3) 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析设点P的坐标为(a，53a)， 解得a1或2，
12、所以点P的坐标为(1,2)或(2，1). 12.当点P(2,3)到直线ax(a1)y30的距离d最大时，d与a的值依次为 A.3，3 B.5,2 C.5,1 D.7,1 解析直线l恒过点A(3,3)， 根据已知条件可知，当直线ax(a1)y30与AP垂直时，距离最大， 最大值为5，此时a1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意知过点P作直线3x4y270的垂线， 设垂足为M，则|MP|最小， 故所求点的坐标为(5，3). 14.已知点P
13、为x轴上一点，且点P到直线3x4y60的距离为6，则点P 的坐标为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (12,0)或(8,0) 解得a12或8， 所以点P的坐标为(12,0)或(8,0). 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设P(x，y)，A(2，1)， 则点P在直线xy30上， 16.已知直线m：(a1)x(2a3)ya60，n：x2y30. (1)当a0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求 直线l的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 即m与n的交点为(21，9). 当直线l过原点时，直线l的方程为3x7y0； 将(21，9)代入得b12， 所以直线l的方程为xy120， 故满足条件的直线l的方程为3x7y0或xy120. 解设原点O到直线m的距离为d， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
