1、章末复习课 第一章 空间向量与立体几何 随堂演练 一、空间向量的概念及运算 二、利用空间向量证明位置关系 三、利用空间向量计算距离 内容索引 四、利用空间向量求空间角 知识网络 知识网络 一、空间向量的概念及运算 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量 是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加 法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量 共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示 和坐标表示是向量运算的基础. 2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力. 1 (2)(多选)如图，在四棱锥SAB
2、CD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S 到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是 又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2， 反思感悟空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平 面向量的性质是一致的. (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不 共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存 在有序实数对(x，y)， 跟踪训练1(1)在空间直角坐标系中，已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P 在z轴上， A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0
3、,3) D.(0,0，3) (2)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶 点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60. a，bb，cc，a60， a2b2c22(abbcca) b2a2acbc1， 二、利用空间向量证明位置关系 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线 面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化 为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思 维能力和数学运算能力. 证明以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建
4、立 空间直角坐标系， 则B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)， 又BM 平面PAD， BM平面PAD. 例2在四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA ADCD2AB2，M为PC的中点. (1)求证：BM平面PAD； 假设平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD. 从而MNBD，MNPB， 使MN平面PBD. (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位 置；若不存在，说明理由. 反思感悟利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基 底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有
5、关性 质求解(证). 跟踪训练2在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA1 4. (1)求证：ACBC1； 证明在直三棱柱ABCA1B1C1 中，因为AC3，BC4，AB5， 所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4). (2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1平面CEB1. 解假设在AB上存在点E，使得AC1平面CEB1， 所以m(33t)3，m(4t4)4n0，4m4n4， 所以在AB上存在
6、点E，使得AC1平面CEB1，这时点E为AB的中点. 三、利用空间向量计算距离 1.空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A 是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量 在直线l上 的投影向量为 则点P到直线l的距离为 (如图). (2)设平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面 外一点，则点P到平面的距离为 (如图). 2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运 算能力. 例3在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDAD AB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离. 解如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，
7、OC所在直线为x轴、y轴， 过O作OM平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 反思感悟利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点 与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可. 跟踪训练3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若点P满足 则点P到直线AB的距离为 解析以点A为原点，分别以直线AB，AD，AA1 为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系如图， 易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)， 四、利用空间向量求空间角 1.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l
8、2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|. (2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的 夹角满足sin |cosm，n|. (3)设n1，n2分别是两个平面，的法向量，则两平面，夹角满足cos |cosm，n|. 2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运 算能力. 例4如图，在长方体AC1中，ABBC2，AA1 点 E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐 标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线A
9、F和BE所成的角； 直线AF和BE所成的角为90. (2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值. 解设平面BEC的法向量为n(x，y，z)， 反思感悟(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给 几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解 题时需要的坐标. (2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为 两条直线所成的角、利用平面的法向量. 跟踪训练4如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平 面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点. (1)求证：GF平面ADE； 证明方法一如图，取AE的中点H，连接HG
10、，HD， 因为G是BE的中点， 又F是CD的中点， 由四边形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD， 所以GHDF，且GHDF， 从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH. 又DH平面ADE，GF 平面ADE， 所以GF平面ADE. 方法二如图，取AB的点M，连接MG，MF. 由G是BE的中点，可知GMAE. 又AE平面ADE，GM 平面ADE， 所以GM平面ADE. 在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MFAD. 又AD平面ADE，MF 平面ADE. 所以MF平面ADE. 又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF， 所以平面GMF平面ADE. 因为GF平面GMF，所以
11、GF平面ADE. (2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值. 解方法一如图，在平面BEC内， 过B点作BQEC. 因为BECE，所以BQBE. 又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ. 以B为原点，分别以BE，BQ，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间 直角坐标系Bxyz， 则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1). 设n(x，y，z)为平面AEF的法向量. 取z2，得n(2，1,2). 方法二同方法一. 随堂演练 1234 解析连接BD，如图， 1234 2.若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则 A.l1l2 B.
12、l1l2 C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定 1234 解析ab1(2)23(2)22640， ab， l1l2. 3.在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，AB2，BC4，CD3，BD 5，点E在棱AD上，且AE2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为 1234 解析建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 得A(0,0,2)，B(0,0,0)，C(0,4,0)，D(3,4,0)， 1234 设异面直线CD与BE所成角为， 4.四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD1， AB3，G是ABC的重心，则PG与平面PAB所成角的正弦值为_. 1234 解析因为PD底面ABCD，底面ABCD是正方形， 所以PD，DA，DC两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，则重心G(2,2,0)， 1234 设平面PAB的一个法向量为m(x，y，z)， 令x1，则m(1,0,3)， 本课结束 更多精彩内容请登录：
