1、习题课圆锥曲线中的综合问题 第三章 圆锥曲线的方程 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用. 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、范围与最值问题 二、定点与定值问题 三、探索性问题 内容索引 一、范围与最值问题 (1)求椭圆的方程； (2)过点(1,0)的直线l与C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左 顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 解当直线l的斜率为0时，AP的斜率k0. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xmy1， 得(m24)y22my30. 0显然成立. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x
2、0，y0)， 而点A的坐标为(2,0)， 当m0时，k0. 反思感悟圆锥曲线中最值与范围的求法有两种 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则 考虑利用图形性质来解决，这就是几何法. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首 先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方 法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. (1)求椭圆C的方程； 解当直线l的倾斜角为0时，不妨令A(2,0)，B(2,0)， 当直线l的倾斜角不为0时，设其方程为xmy4， 由0(24m)24(3m24)360m24， 设A(my14，y1)，B(
3、my24，y2). 二、定点与定值问题 证明M是椭圆上任意一点，若M与A重合， 221，现在需要证明22为定值1. A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)， a23b2， 椭圆方程为x23y23b2， 又直线方程为yxc. 代入椭圆方程整理得 x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2 221，故22为定值. 反思感悟解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率 等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、 定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用. (1)求椭圆的标准方程； 解设椭圆的焦距为2c， 由题意知b
4、1，且(2a)2(2b)22(2c)2， 又a2b2c2，a23. (2)若123，试证明：直线l过定点，并求此定点. 证明由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设l的方程为xt(ym)， y1my11，由题意得y10， 123， y1y2m(y1y2)0. 消x得(t23)y22mt2yt2m230， 由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0， 代入得t2m232m2t20， (mt)21， 由题意，得mt0)， 则圆的方程为(xp)2(yp)28， 由于O(0,0)在圆上，p2p28，解得p2， 圆C的方程为(x2)2(y2)28. (2)试探究
5、圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等 于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 椭圆右焦点为F(4,0). 假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|OF|， 反思感悟(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题 明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在， 用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解， 则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则元素(点、直线、曲线或参 数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 跟踪训练3试问是否能找到一条斜率为k(k0)的直线l与椭圆 y21 交
6、于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0,1)的距离相等？若存在，试 求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 解设直线l：ykxm为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足 条件，只需APMN即可. 消y得(13k2)x26mkx3m230. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， APMN， 由36m2k24(13k2)(3m23) 9(13k2)(1k2)0，得1kb0)中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则 AFB面积的最大值为 A.b2 B.ab C.ac D.bc 解析由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称， 因此SAFB2SOFBc|yB|， 故当|yB|b时，AFB面
7、积最大，最大面积为bc. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知P为抛物线y24x上一点，Q为圆(x6)2y21上一点，则|PQ|的 最小值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 Q是圆(x6)2y21上任意一点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.抛物线y24x上不同两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB斜率之和 为1，则直线AB必经过定点 A.(0,2) B.(0,4) C.(4,0) D.(2,0) 解析设直线AB的方程为xtyb(b0)， 并代入抛物线方程，消去x得y24ty4b0， 设A
8、(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b， 12345678910 11 12 13 14 15 16 b4t，所以直线AB的方程为xty4tt(y4)，过定点(0,4). 12345678910 11 12 13 14 15 16 又因为直线PA斜率的取值范围是1,2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析联立两个方程化为5x28tx4t240. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 而(8t)245(4t24)0，解得0
9、t20，b0)的两条渐 近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为 A.4 B.8 C.16 D.32 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 不妨设D在第一象限，E在第四象限， 12345678910 11 12 13 14 15 16 |ED|2b， 12345678910 11 12 13 14 15 16 C的焦距的最小值为8. 12345678910 11 12 13 14 15 16 则|PQ|的值要最大，即点P到圆心的距离加上圆的半径为|PQ|的最大值， 解析设点P(x0，y0)， 由于点P是抛物线x28y上任意一点， 1234
10、5678910 11 12 13 14 15 16 由于点Q是圆x2(y2)21上任意一点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设直线l的方程为xmyn， 代入椭圆方程，消去x可得(m24)y22mnyn2160， 12345678910 11 12 13 14 15 16 x1x2m2y1y2mn(y1y2)n2，x1x2m(y1y2)2n， 由PAPB，P(4,0)， 可得(x14，y1) (x24，y2)0，可得x1x24(x1x2)y1y2160， m2y1y2mn(y1y2)n24m(y1y2)
11、8ny1y2160， 化简整理可得5n232n480， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 y12y23，A，B在椭圆上， 当且仅当m5时取最大值. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 设P(x0，y0)， l1l2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴， l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l
12、的斜率的乘积为定值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 得(k29)x22kbxb2m20， 即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值9. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解四边形OAPB能为平行四边形. 12345678910 11 12 13 14 15 16 k3， 设点P的横坐标为xP. 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分， 即xP2xM， 12345678910 11 12 13 14 15 16 经检验，满足0， k3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
