1、章末复习课 第三章 圆锥曲线的方程 随堂演练 一、圆锥曲线的定义及标准方程 二、圆锥曲线的几何性质 三、直线与圆锥曲线的位置关系 内容索引 四、圆锥曲线的综合问题 知识网络 知识网络 一、圆锥曲线的定义及标准方程 1.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这 种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基 本量. (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称 之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的， 这时我们可以用动点
2、坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即 可求得动点的轨迹方程. (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据 条件确定待定的系数. 2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. 因为点P在圆x2y24上， 所以x2(2y)24， 方法二设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0，0)， 因为点P(x0，y0)在圆x2y24上， 把x0 x，y02y代入(*)式，得x24y24， 反思感悟(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定 义结合解三角形的知识来
3、解决. (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为 到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决. 跟踪训练1(1)已知动点M的坐标满足方程 |3x4y12|，则 动点M的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 动点M到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等. 点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x4y120为准线的抛物线. (2)点P是抛物线y28x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是 (2,3)，求|PM|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标. 解抛物线y28x的准线方程是x2，那么点P到焦点F的距离等于它 到准线x2的距离，过点P作P
4、D垂直于准线x2，垂足为D，那么 |PM|PF|PM|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时， |PM|PF|的值最小，且最小值为|MD|2(2)4， 所以|PM|PF|的最小值是4. 二、圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心 率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以 概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学 素养. 因为四边形AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，
5、 所以2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124， 所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|1248， 解析设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2， 反思感悟求解离心率的三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e ，已知其中的 任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是 求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法：求与过焦点的三角
6、形有关的离心率问题，根据平面几何性质 以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出 图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c， 故抛物线C2的方程为x216y. 三、直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成 的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于 变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式. 2.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养. (1)求椭圆的方程； 解由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21
7、， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， m24(m23)123m20. 由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23. 反思感悟(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断. (2)一元二次方程的判别式、弦长公式是代数法解决问题的常用工具. (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程； 由A(2,0)，得a2， (2)若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，求a的取值范围. 若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，则线段AB与椭圆E有公共点， 等价于方程6y28y4a20在y0,1上有解. 设f(y)6y28y4a2， 四、圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线的综合问题
8、包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性 问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养. 例4已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于 点O的不同的两点，其中O为原点. (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 解由抛物线C：y22px经过点P(2,2)知，4p4，解得p1. 则抛物线C的方程为y22x. (2)若OAOB，求AOB面积的最小值. 解由题意知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：xtya， 4t28a. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22
9、t，y1y22a. 解得y1y20(舍去)或y1y24. 所以2a4，解得a2.满足0. 所以直线AB：xty2. 所以直线AB过定点(2,0). 当且仅当y12，y22或y12，y22时，等号成立. 所以AOB面积的最小值为4. 反思感悟(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求 解.(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线 系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解. 跟踪训练4已知动圆P与圆O1：x2xy20内切，且与直线x1相 切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； 所以曲线C的方程为y22x. (2)过曲线C上一点M(
10、2，y0)(y00)作两条直线l1，l2与曲线C分别交于不同 的两点A，B，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k21.证明：直线AB 过定点. 所以b22b4m24m0， 所以(b1)2(2m1)2， 所以b2m或b2m2. 当b2m2时，直线AB的方程为xmy2m2过定点(2,2)与M重合， 舍去； 当b2m时，直线AB的方程为xmy2m过定点(0，2)， 所以直线AB过定点(0，2). 随堂演练 设a0，b0，可得它们的焦点坐标分别为(c，0)，(0，c)， 它们的顶点坐标分别为(a，0)，(0，b). A.离心率 B.渐近线 C.焦点 D.顶点 1234 1234 1234 选项C，因为O(0,0)，F(2,0)，所以POF外接圆的圆心的横坐标为1， 又因为POF外接圆与抛物线C的准线相切， 所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离等于半径， 所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以r3， 所以该外接圆面积为Sr29，所以选项C正确； 1234 1234 解析注意到直线过点(c，0)即为左焦点F1， 1234 即MF1F260. 又MF1F22MF2F1， 故MF2F130，那么F2MF190. 1234 解析由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)， 则N(x1，y1)， 1234 因为kPMkPN4， 本课结束 更多精彩内容请登录：
