1、题组层级快练题组层级快练(三十九三十九) 一、单项选择题 1(2021河北辛集中学月考)已知数列an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a36，S312， 则公差 d 等于() A1B.5 3 C2D3 答案C 解析由已知得 S33a212，即 a24，da3a2642. 2(2017课标全国)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公 差为() A1B2 C4D8 答案C 解析设等差数列an的公差为 d， a13da14d24， 6a165 2 d48， 解得 a12， d4， 故选 C. 3(2021南昌市一模)已知an为等差数列，若 a22a31，a4
2、2a37，则 a5() A1B2 C3D6 答案B 解析设数列an的公差为 d，将题中两式相减可得 2d6，所以 d3，所以 a22(a23) 1，解得 a27，所以 a5a2(52)d792.故选 B. 4(2020西安四校联考)在等差数列an中，a25，a73，在该数列中的任何两项之间插入 一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为() A2 5 B4 5 C1 5 D3 5 答案C 解析an的公差 d35 72 2 5，新等差数列的公差 d 2 5 1 2 1 5.故选 C. 5(2020安徽合肥二模)已知 1 an是等差数列，且 a11，a44，则 a10() A4 5 B5
3、4 C. 4 13 D.13 4 答案A 解析由题意，得1 a11， 1 a4 1 4，所以等差数列 1 an的公差为 d 1 a4 1 a1 3 1 4，由此可得 1 an 1(n1) 1 4 n 4 5 4，因此 1 a10 5 4，所以 a 104 5.故选 A. 6(2021合肥市一检)已知正项等差数列an的前 n 项和为 Sn(nN*)，a5a7a620，则 S11 的值为() A11B12 C20D22 答案D 解析方法一：设等差数列的公差为 d(d0)，则由(a14d)(a16d)(a15d)20，得(a1 5d)(a15d2)0，所以 a15d0 或 a15d2，又 a10，所
4、以 a15d0，则 a15d 2，则 S1111a11110 2 d11(a15d)11222.故选 D. 方法二：因为an为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合 a5a7a620，得 2a6 a620，a62，则 S1111（a1a11） 2 112a6 2 11a622.故选 D. 7设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若S3 S6 1 3，则 S6 S12( ) A. 3 10 B.1 3 C.1 8 D.1 9 答案A 解析令 S31，则 S63，S91236. S12S9410， S6 S12 3 10.故选 A. 8 (2021福建高三质检)设等差数列an的前 n 项和为
5、Sn， 若 a2a7a8a132 21 ， 则 tanS14 () A 3 3 B. 3 3 C 3D. 3 答案D 9已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a19，S9 9 S5 5 4，则 Sn取最大值时的 n 为() A4B5 C6D4 或 5 答案B 解析由an为等差数列，设公差为 d，有S9 9 S5 5 a5a32d4，即 d2，又 a19， 所以 an2n11，由 an2n1111 2 ，所以 Sn取最大值时 n 为 5.故选 B. 10(2021沈阳二中模拟)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它 对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用 在这部著作中，
6、许多数学问题都是以歌 诀形式呈现的， “九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长 排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”这首歌诀的大意是： “一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的 年龄之和为 207 岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算”在这个问题中，记 这位公公的第 n 个儿子的年龄为 an，则 a3() A17B29 C23D35 答案B 解析依题意an为等差数列，且 d3， S99（a1a9） 2 9a5207，a523， a3a52d29.故选 B. 11若一个等差数列前 3 项的和为 3
7、4，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个 数列的项数为() A13B12 C11D10 答案A 解析因为 a1a2a334，an2an1an146， 所以 a1a2a3an2an1an34146180. 又因为 a1ana2an1a3an2， 所以 3(a1an)180，从而 a1an60. 所以 Snn（a1an） 2 n60 2 390，即 n13. 二、多项选择题 12已知数列an是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 Sn，满足 a15a3S8，下列选项正 确的有() Aa100BS10最小 CS7S12DS200 答案AC 解析根据题意，数列an是等差数列，
8、若 a15a3S8， 即 a15a110d8a128d，变形可得 a19d， 又由 ana1(n1)d(n10)d， 则有 a100，故 A 一定正确； 不能确定 a1和 d 的符号，不能确定 S10最小，故 B 不正确； 又由 Snna1n（n1）d 2 9ndn（n1）d 2 d 2(n 219n)， 则有 S7S12，故 C 一定正确； 则 S2020a12019 2 d180d190d10d，d0，S200，则 D 不正确 三、填空题与解答题 13等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且Sn Tn 3n1 2n3，则 a10 b10_ 答案 56 41 解析在等差数列中，
9、S1919a10，T1919b10， 因此a10 b10 S19 T19 3191 2193 56 41. 14(2020沈阳市模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，S3a5，am2 019， 则 m_ 答案1 010 解析设公差为 d，由题知 S3a5，即 3a13da14d，得 d2a1，又 a11，故 d2.于是 an12(n1)2n1，再由 2m12 019，得 m1 010. 15设数列an的各项都为正数，其前 n 项和为 Sn，已知对任意 nN*，Sn是 an2和 an的等 差中项 (1)证明：数列an为等差数列； (2)若 bnn5，求anbn的最大项的值并求
10、出取最大值时 n 的值 答案(1)证明见解析 (2)当 n2 或 n3 时，anbn的最大值为 6 解析(1)证明：由已知可得 2Snan2an，且 an0， 当 n1 时，2a1a12a1，解得 a11. 当 n2 时，有 2Sn1an12an1， 所以 2an2Sn2Sn1an2an12anan1， 所以 an2an12anan1， 即(anan1)(anan1)anan1， 因为 anan10，所以 anan11(n2) 故数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列 (2)由(1)可知 ann，设 cnanbn，则 cnn(n5)n25n n5 2 2 25 4 ， 因为 nN*，所以
11、 n2 或 3，c2c36，因此当 n2 或 n3 时，anbn取最大项，且最 大项的值为 6. 16已知 Anx|2nx2n 1且 x7m1，m，nN，则 A6中各元素的和为_ 答案891 解析A6x|26x0，求使得 Snan的 n 的取值范围 答案(1)an102n(2)n|1n10，nN 解析(1)设an的公差为 d. 由 S9a5得 a14d0.由 a34 得 a12d4. 于是 a18，d2. 因此an的通项公式为 an102n. (2)由(1)得 a14d，故 an(n5)d，Snn（n9）d 2 . 由 a10 知 d0，故 Snan等价于 n211n100，解得 1n10. 所以 n 的取值范围是n|1n10，nN
