1、专题层级快练专题层级快练(二十九二十九) 一、单项选择题 1函数 ycos x 6 ，x 0， 2 的值域是() A. 3 2 ，1 2B. 1 2， 3 2 C. 1 2， 3 2D. 3 2 ，1 2 答案B 解析x 0， 2 ，x 6 6 ，2 3， y 1 2， 3 2 . 2如果|x| 4 ，那么函数 f(x)cos2xsinx 的最小值是() A. 21 2 B 21 2 C1D.1 2 2 答案D 解析f(x)sin2xsinx1 sinx1 2 2 5 4， 当 sinx 2 2 时， 有最小值， f(x)min2 4 2 2 1 2 2 . 3(2021湖北武汉联考)已知函数
2、 f(x)sin( 2 x 6 )2cos2 4 x1，则 f(x)在0，2上的最 大值与最小值之和为() A7 2 B5 2 C0D.1 2 答案A 解析f(x)sin 2 x 6 2cos2 4 x1 3 2 sin 2 x1 2cos 2 xcos 2 x2 3 2 sin 2 x1 2cos 2 x2 sin 2 x 6 2. 当 x0，2时， 2 x 6 6 ，5 6，sin 2 x 6 1 2，1，f(x) 5 2，1. 即 f(x)在0，2上的最大值为1，最小值为5 2，二者之和为1 5 2 7 2. 4(2020贵阳市高三摸底)将函数 f(x) 3sin 2x 4 的图象先向右
3、平移 6 个单位长度，再 将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的1 2倍， 纵坐标不变， 得到函数 g(x)的图象， 则 g(x) 在 8 ， 3 上的最小值为() A0B1 2 C 3 2 D 3 答案D 解析将函数 f(x)3sin 2x 4的图象先向右平移 6 个单位长度，得函数 y 3sin 2 x 6 4 3sin 2x 12 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来 的1 2倍，纵坐标不变，得函数 g(x) 3sin 4x 12 的图象当 x 8 ， 3 时，4x 12 7 12 ，5 4， 因此当 4x 12 2 ， 即 x5 48 时， g(x)在 8 ， 3 上取得最小
4、值 3. 5已知 ysinx1 sinx ，x(0，)下列结论正确的是() A有最大值无最小值 B有最小值无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值 答案B 解析令 tsinx，t(0，1，则 y11 t ，t(0，1是一个减函数，则 y 只有最小值而无最 大值另外还可通过 y1 1 sinx，得出 sinx 1 y1，由 sinx(0，1也可求出，故选 B. 6将函数 f(x)sin(2x) | 2 的图象向左平移 6 个单位长度后关于原点对称，则函数 f(x)在0， 2 上的最小值为() A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 答案A 解析把函数 f(x)sin(2x)
5、向左平移 6 个单位长度得到函数 ysin 2x 3 的图象， ysin 2x 3 是奇函数， 3 k. |0，0)，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型 是函数 f(x) 3|cosx|sinx|，则下列结论正确的是() Af(x)是偶函数 Bf(x)是周期函数 Cf(x)在区间 0， 2 上单调递增 Df(x)的最大值为 2 答案ABD 解析本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法函数 f(x)的定义 域为 R，因为 f(x) 3|cos(x)|sin(x)| 3|cosx|sinx|f(x)，所以 f(x)是偶函数， 故 A 正确； 因为 f
6、(x) 3|cos(x)|sin(x)| 3|cosx|sinx| 3|cosx|sinx|f(x)， 所 以是 f(x)的周期，故 B 正确； 当 x 0， 2 时，函数 f(x)可化为 f(x) 3cosxsinx2( 3 2 cosx1 2sinx)2sin x 3 ，此 时 f(x)在 0， 6 上单调递增，在 6 ， 2 上单调递减，故 C 错误； 由于是函数 f(x)的周期，故不妨取 x0，研究其最值当 x 0， 2 时，函数 f(x)可 化为 f(x)2sin x 3 .由 x 0， 2 ，得 x 3 3 ，5 6，所以当 x 3 2 ，即 x 6 时，f(x)取得最大值 2.当
7、 x 2 ， 时，f(x) 3cosxsinx2 1 2sinx 3 2 cosx 2sin x 3 .由 x 2 ， ，得 x 3 6 ，2 3，所以当 x 3 2 ，即 x5 6 时，f(x) 取得最大值 2，故当 x0，时，f(x)取得最大值 2，故 D 正确故选 ABD. 10设函数 f(x)sinx 3cosx，xR，其中0，在曲线 yf(x)与直线 y 3的所有 交点中，相邻交点距离的最小值为 6 ，则() Af(x)的最大值为 1 B2 Cf(x)的图象的对称轴方程为 xk 2 12，kZ Df(x)的一个单调递增区间为 5 12 ， 12 答案BCD 解析由题意可得 f(x)s
8、inx 3cosx2(1 2sinx 3 2 cosx)2sin x 3 ， 易知 f(x) 的最大值为 2，A 错误；由 2sin x 3 3，可得 sin(x 3 ) 3 2 ，得到x 3 2k 3 或x 3 2k2 3 ，kZ，令 k0，可得 x10，x2 3，由|x 1x2| 6 可得 3 6 ，解得2，所以 B 正确；f(x)2sin 2x 3 ，令 2x 3 k 2 ，kZ，得 xk 2 12，kZ，C 正确； 令 2k 2 2x 3 2k 2 ，kZ，可得 k5 12 xk 12，kZ，令 k0， 得到5 12 x 12，D 正确故选 BCD. 三、填空题与解答题 11(2017
9、课标全国)函数 f(x)sin2x 3cosx3 4 x 0， 2的最大值是_ 答案1 解析本题主要考查三角函数的最值由题意可得 f(x)cos2x 3cosx1 4(cosx 3 2 )21. x 0， 2 ，cosx0，1当 cosx 3 2 时，f(x)max1. 12(2019课标全国，理改编)关于函数 f(x)sin|x|sinx|的下述四个结论中正确的是 _(填正确结论的序号) f(x)是偶函数； f(x)在区间 2 ， 上单调递增； f(x)在，上有 4 个零点； f(x)的最大值为 2. 答案 解析f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sinx|f(x)，f(x)为偶函
10、数，故正确；当 2 x 时，f(x)sinxsinx2sinx，f(x)在 2 ， 上单调递减，故不正确；f(x)在， 上的图象如图所示，由图可知函数 f(x)在，上只有 3 个零点，故不正确；y sin|x|与 y|sinx|的最大值都为 1 且可以同时取到，f(x)可以取到最大值 2，故正确 13(2020广州市调研)已知函数 f(x)sin 2x 6 ，其中 x 6 ， .当 3 时，f(x)的 值域是_；若 f(x)的值域是 1 2，1，则的取值范围是_ 答案 1 2，1 6 ， 2 解析若 6 x 3 ，则 3 2x2 3 ， 6 2x 6 5 6 ，此时1 2sin 2x 6 1，
11、 即 f(x)的值域是 1 2，1. 若 6 x，则 3 2x2， 6 2x 6 2 6 . 当 2x 6 6 或 2x 6 7 6 时，sin 2x 6 1 2，要使 f(x)的值域是 1 2，1，则 有 2 2 6 7 6 ，即 3 2， 6 2 ，即的取值范围是 6 ， 2 . 14 (2020湖北武汉调研)已知函数f(x) 3sin2x2cos2xm在区间 0， 2 上的最大值为3， 则 (1)m_ (2)对任意 aR，f(x)在a，a20上的零点个数为_ 答案(1)0(2)40 或 41 解析(1)f(x) 3sin2x2cos2xm 3sin2x1cos2xm2sin 2x 6 m
12、1， 因为 0 x 2 ，所以 6 2x 6 7 6 . 所以1 2sin 2x 6 1，f(x)max2m13，所以 m0. (2)由(1)得 f(x)2sin 2x 6 1，T2 2 ， 在区间a，a20上有 20 个周期，故零点个数为 40 或 41. 15已知函数 f(x)sin3x 3cos3x，xR. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间 2 9 ， 3 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 x 的值 答案(1)T2 3 2k 3 5 18 ，2k 3 18 (kZ) (2)f(x)在区间 2 9 ， 3 上取得最小值 3，此时，x2 9
13、 或 3 f(x)在区间 2 9 ， 3 上取得最大值 2，此时 x 18 解析因为 f(x)sin3x 3cos3x2sin 3x 3 ， 所以函数 f(x)的最小正周期为 T2 3 . 由 2k 2 3x 3 2k 2 (kZ)，得2k 3 5 18 x2k 3 18(kZ) 故函数 f(x)的单调递增区间为2k 3 5 18 ，2k 3 18(kZ) (2)由 x 2 9 ， 3 ，得 3x 3 3 ，4 3， 显然，当 3x 3 3 或 3x 3 4 3 ，即 x2 9 或 x 3 时，f(x)在区间 2 9 ， 3 上 取得最小值 3； 当 3x 3 2 ，即 x 18时，f(x)在
14、区间 2 9 ， 3 上取得最大值 2. 16函数 y 1 sin2x 2 cos2x的最小值是_ 答案32 2 解析y 1 sin2x 2 cos2x sin2xcos2x sin2x 2sin 2x2cos2x cos2x 3cos 2x sin2x 2sin2x cos2x 32 2， ymin32 2. 17(2020上海华师大二附中期中)已知函数 y sincos 2sincos. (1)设变量 tsincos，试用 t 表示 yf(t)，并写出 t 的取值范围； (2)求函数 yf(t)的值域 答案(1)yt 21 42t 2， 2 (2) 32，2 2 4 解析(1)tsinco
15、s， tsincos 2sin 4 ，t 2， 2， t2sin2cos22sincos12sincos， sincost 21 2 ， yf(t) sincos 2sincos t21 2（2t） t21 42t，t 2， 2 (2)f(t)t 21 42t 1 2 （t2）24（t2）3 t2 1 2 （t2） 3 t24. t 2， 2，t22 2，2 2，则 t20. (t2) 3 t22 （t2） 3 t22 3，当且仅当 t2 3 t2，即 t2 3时取等号， 函数 f(t)的最小值为1 2(2 34) 32. 当 t 2时，f( 2)2 2 4 ，当 t 2时，f( 2)2 2 4 ， 函数 f(t)的最大值为2 2 4 . 故函数 yf(t)的值域为 32，2 2 4.
