1、23.2两点间的距离公式两点间的距离公式 学习目标1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题 导语 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点 C，以方便 居住在两个小区住户的出行如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 一、两点之间的距离公式 问题 1在数轴上已知两点 A，B，如何求 A，B 两点间的距离？ 提示|AB|xAxB|. 问题 2已知平面内两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示(1)当 P1P2与 x 轴平行时，|P1P2|x2x1|； (2)当 P1P2与 y 轴平行时，|P1P2|y
2、2y1|； (3)当 P1P2与坐标轴不平行时，如图，在 Rt P1QP2中，|P1P2|2|P1Q|2|QP2|2， 所以|P1P2| x2x12y2y12. 即两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2| x2x12y2y12. 知识梳理 1点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2| x2x12y2y12. 2原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP| x2y2. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关 (2)已知斜率为 k 的直线上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2| x2x12y2
3、y12 1k2|x2x1|，或|P1P2|11 k2|y 2y1|. 例 1已知ABC 的三个顶点 A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC 的形状 解方法一|AB| 332312 522 13， |AC| 132712 522 13， 又|BC| 132732 1042 26， |AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|， ABC 是等腰直角三角形 方法二kAC 71 13 3 2，k AB 31 33 2 3， kACkAB1， ACAB. 又|AC| 132712 522 13， |AB| 332312 522 13， |AC|AB|， ABC 是等腰直角三角形 反思
4、感悟计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，则|P1P2| x2x12y2y12. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解 跟踪训练 1若点 M 到 x 轴和到点 N(4,2)的距离都等于 10，则点 M 的坐标为 _ 答案(2,10)或(10,10) 解析由点 M 到 x 轴的距离等于 10 可知，其纵坐标为10. 设点 M 的坐标为(xM，10) 由两点间距离公式，得|MN| xM42102210 或|MN| xM42102210， 解得 xM10 或 xM2， 所以点 M 的坐标为(2,10)或(10,10)
5、 二、坐标法的应用 例 2求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半 证明如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，其中 D，E 分别为 边 AC 和 BC 的中点 设 A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)， 则|AB|c|. 又由中点坐标公式，得 D m 2 ，n 2 ，E cm 2 ，n 2 ， |DE| cm 2 m 2| c 2|， |DE|1 2|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半 反思感悟(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立， 但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标
6、系时必须 “避繁就简” (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 建立坐标系，用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算的结果“翻译”成几何结论 跟踪训练 2已知在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，对角线为 AC 和 BD.求证：|AC|BD|. 证明如图所示，建立平面直角坐标系，设 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点 D 的坐标是(ab，c) |AC| b02c02 b2c2， |BD| aba2c02 b2c2. 故|AC|BD|. 1知识清单：两点间的距离公式 2方法归纳：待定系数法、坐标法 3常见误区：已知距离求参数问题易漏解 1已知点(x，y)到原点的距离等于
7、1，则实数 x，y 满足的条件是() Ax2y21Bx2y20 C. x2y21D. x2y20 答案C 解析由两点间的距离公式得 x2y21. 2已知 M(2,1)，N(1,5)，则|MN|等于() A5B. 37C. 13D4 答案A 解析|MN| 2121525. 3直线 yx 上的两点 P，Q 的横坐标分别是 1,5，则|PQ|等于() A4B4 2C2D2 2 答案B 解析P(1,1)，Q(5,5)，|PQ| 42424 2. 4 已知ABC 的顶点坐标为 A(1,5)， B(2， 1)， C(2,3)， 则 BC 边上的中线长为_ 答案17 解析BC 的中点坐标为(0,1)， 则
8、BC 边上的中线长为 102512 17. 课时课时对点对点练练 1若 A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则|AC| |CB|等于( ) A.1 3 B.1 2 C3D2 答案D 解析|AC|4 2，|CB|2 2，故|AC| |CB|2. 2已知ABC 的顶点 A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC 的周长是() A2 3B32 3 C63 2D6 10 答案C 解析由两点间距离公式得 |AB| 2123023 2， |BC| 1220023， |CA| 2223023. 故ABC 的周长为 63 2. 3在ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，D
9、为 BC 边的中点，则线段 AD 的长是() A2 5B3 5C.5 5 2 D.7 5 2 答案C 解析由中点坐标公式可得，BC 边的中点 D 3 2，6. 由两点间的距离公式得|AD| 43 2 21625 5 2 . 4两直线 3axy20 和(2a1)x5ay10 分别过定点 A，B，则|AB|的值为() A. 89 5 B.17 5 C.13 5 D.11 5 答案C 解析直线 3axy20 过定点 A(0，2)，直线(2a1)x5ay10 过定点 B 1，2 5 ， 由两点间的距离公式，得|AB|13 5 . 5(多选)对于 x22x5，下列说法正确的是() A可看作点(x,0)与
10、点(1,2)的距离 B可看作点(x,0)与点(1，2)的距离 C可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 D可看作点(x，1)与点(1,1)的距离 答案BCD 解析x22x5 x124 x12022 x12112， 可看作点(x,0)与点(1，2)的距离，可看作点(x,0)与点(1,2)的距离， 可看作点(x，1)与点(1,1)的距离，故选项 A 不正确 6已知 A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取最小值时，实数 a 的值是() A7 2 B1 2 C.1 2 D.7 2 答案C 解析A(5,2a1)，B(a1，a4)， |AB| a152a42a12 a42a32 2a22a25
11、2 a1 2 249 2 ， 当 a1 2时，|AB|取得最小值 7已知点 A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则 a 的值为_ 答案1 或5 解析由两点间距离公式得 (2a)2(13)252， 所以(a2)232， 所以 a23，即 a1 或 a5. 8在 x 轴上找一点 Q，使点 Q 与 A(5,12)间的距离为 13，则 Q 点的坐标为_ 答案(10,0)或(0,0) 解析设 Q(x0,0)，则有 13 5x02122，得 x00 或 x010. 9已知直线 ax2y10 和 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点到原点的距 离为 2 4 ，求 a 的值 解由题
12、易知 a0，直线 ax2y10 中，令 y0，有 x1 a，则 A 1 a，0，令 x0，有 y 1 2，则 B 0，1 2 ，故 AB 的中点为 1 2a， 1 4 ， 线段 AB 的中点到原点的距离为 2 4 ， 1 2a0 2 1 40 2 2 4 ，解得 a2. 10已知直线 l1：2xy60 和点 A(1，1)，过 A 点作直线 l 与已知直线 l1相交于 B 点， 且使|AB|5，求直线 l 的方程 解当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1k(x1)， 解方程组 2xy60， ykxk1， 得 x7k k2， y4k2 k2 ， 即 B 7k k2， 4k2 k2 .
13、 由|AB| 7k k21 2 4k2 k2 1 25， 解得 k3 4， 所以直线 l 的方程为 y13 4(x1)， 即 3x4y10. 当过 A 点的直线的斜率不存在时，方程为 x1. 此时，与 l1的交点为(1,4)，也满足题意 综上所述，直线 l 的方程为 3x4y10 或 x1. 11以点 A(3,0)，B(3，2)，C(1,2)为顶点的三角形是() A等腰三角形B等边三角形 C直角三角形D以上都不是 答案C 解析|AB| 33222 364 402 10， |BC| 132222 1616 32 4 2， |AC| 13222 82 2， |AC|2|BC|2|AB|2， ABC
14、 为直角三角形故选 C. 12(多选)直线 xy10 上与点 P(2,3)的距离等于 2的点的坐标是() A(4,5)B(3,4)C(1,2)D(0,1) 答案BC 解析设所求点的坐标为(x0，y0)，有 x0y010，且 x022y032 2， 两式联立解得 x03， y04 或 x01， y02. 13设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，1)，则|AB|_. 答案2 5 解析设 A(a,0)，B(0，b)， 由中点坐标公式，得 a0 2 2， b0 2 1， 解得 a4， b2， |AB| 4020222 5. 14 在 RtABC 中， 点 D 是斜边
15、AB 的中点， 点 P 为线段 CD 的中点， 则|PA| 2|PB|2 |PC|2 _. 答案10 解析以 C 为原点，AC，BC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 设 A(4a,0)，B(0,4b)，则 D(2a,2b)，P(a，b)， 所以|PA|29a2b2，|PB|2a29b2， |PC|2a2b2， 于是|PA|2|PB|210(a2b2)10|PC|2， 即|PA| 2|PB|2 |PC|2 10. 15已知 x，yR，S x12y2 x12y2，则 S 的最小值是() A0B2C4D. 2 答案B 解析S x12y2 x12y2可以看作是点(x，y)到
16、点(1,0)与点(1,0)的距离之和， 数形结合(图略)易知最小值为 2. 16.如图所示， 已知 BD 是ABC 的边 AC 上的中线， 建立适当的平面直角坐标系， 证明： |AB|2 |BC|21 2|AC| 22|BD|2. 证明如图所示，以 AC 所在的直线为 x 轴，点 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系 设 B(b，c)，C(a,0)，依题意得 A(a,0) |AB|2|BC|21 2|AC| 2 (ab)2c2(ab)2c21 2(2a) 2 2a22b22c22a22b22c2， 2|BD|22(b2c2)2b22c2， 所以|AB|2|BC|21 2|AC| 22|BD|2.
