1、章末复习课章末复习课 一、两直线的平行与垂直 1判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线 l1与 l2的斜率都存在，且分别为 k1，k2，则 k1k2l1l2. (2) 若直线 l1与 l2的斜率都存在，且分别为 k1，k2，则 k1k21l1l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养 例 1(1)已知 A 1，a1 3，B 0，1 3 ，C(22a，1)，D(a，0)四点，若直线 AB 与直线 CD 平行，则 a_. 答案3 解析kAB 1 3 a1 3 01 a 3， 当 22aa，即 a2 时， kAB2
2、 3，CD 的斜率不存在 AB 和 CD 不平行； 当 a2 时，kCD 01 a22a 1 2a. 由 kABkCD，得a 3 1 2a， 即 a22a30. a3 或 a1. 当 a3 时，kAB1，kBD 01 3 3 1 9k AB， AB 与 CD 平行 当 a1 时，kAB1 3，k BC 11 3 4 1 3，k CD10 41 1 3， AB 与 CD 重合 当 a3 时，直线 AB 和直线 CD 平行 (2)若点 A(4， 1)在直线 l1： axy10 上， 则 l1与 l2： 2xy30 的位置关系是_ 答案垂直 解析将点 A(4，1)的坐标代入 axy10， 得 a1
3、2，则 12 ll k k1 221，l 1l2. 反思感悟一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为 l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为 0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2 不同时为 0)，则 l1l2A1B2A2B10 且 C1B2C2B10，l1l2A1A2B1B20. 跟踪训练 1(1)已知直线 l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10.若 l1l2，则实数 a 的值 为_ 答案3 (2)已知两直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，若 l1l2，则 m_. 答案1 解析因为直线 xmy60 与(m2)x3y2m0 平行， 所以 13mm20
4、， 632mm， 解得 m1. 二、两直线的交点与距离问题 1 两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础， 通过交点与距离涵盖直线的所有问题 2两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养 例 2(1)若点(1，a)到直线 yx1 的距离是3 2 2 ，则实数 a 的值为() A1B5 C1 或 5D3 或 3 答案C 解析点(1，a)到直线 yx1 的距离是3 2 2 ， |1a1| 2 3 2 2 ，即|a2|3， 解得 a1 或 a5，实数 a 的值为1 或 5. (2)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平
5、 分，求直线 l 的方程 解设 l1与 l 的交点为 A(a，82a)， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a，2a6)在 l2上， 代入 l2的方程得a3(2a6)100， 解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以直线 l 的方程为 x4y40. 反思感悟 跟踪训练 2(1)设两条直线的方程分别为 xya0，xyb0，已知 a，b 是关于 x 的方 程 x2x20 的两个实数根，则这两条直线之间的距离为() A2 3B. 2C2 2D.3 2 2 答案D 解析根据 a，b 是关于 x 的方程 x2x20 的两个实数根，可得 ab1，ab2， a1，b2 或 a2，b1
6、，|ab|3， 故两条直线之间的距离 d|ab| 2 3 2 3 2 2 . (2)已知直线 l 过直线 l1：x2y30 与直线 l2：2x3y80 的交点，且点 P(0,4)到直线 l 的距离为 2，则这样的直线 l 的条数为() A0B1C2D3 答案C 解析方法一由 x2y30， 2x3y80， 得 x1， y2， 即直线 l 过点(1,2)设点 Q(1,2)，因为|PQ| 102242 52，所以满足条件的直 线 l 有 2 条故选 C. 方法二依题意， 设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x3y8(x2y3)0(R)， 即(2)x(32)y380.由题意得 |12838| 2
7、23222，化简得 5 28360，解 得2 或18 5 ，代入得直线 l 的方程为 y2 或 4x3y20，故选 C. 三、直线与圆的位置关系 1直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径长为 r.若 dr，则直线和圆相离 (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式 为.0直线与圆相切；0直线与圆相交；0直线与圆相离 2研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养 例 3已知直线 l：2mxy8m30 和圆 C：x2y26x12y200. (1)当 mR 时，证明 l 与 C 总相交； (2)m 取
8、何值时，l 被 C 截得的弦长最短？并求此弦长 (1)证明直线的方程可化为 y32m(x4)， 由点斜式可知，直线恒过点 P(4，3) 由于 42(3)26412(3)20150， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交 (2)解圆的方程可化为(x3)2(y6)225. 如图，当圆心 C(3，6)到直线 l 的距离最大时，线段 AB 的长度最短 此时 PCl， 又 kPC36 43 3，所以直线 l 的斜率为1 3， 则 2m1 3，所以 m 1 6. 在 RtAPC 中，|PC| 10，|AC|r5. 所以|AB|2 |AC|2|PC|22 15. 故当 m1 6时，l 被 C 截
9、得的弦长最短，最短弦长为 2 15. 反思感悟直线与圆问题的类型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得 (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解 跟踪训练 3已知圆 C 关于直线 xy20 对称，且过点 P(2,2)和原点 O. (1)求圆 C 的方程； (2)相互垂直的两条直线 l1，l2都过点 A(1,0)，若 l1，l2被圆 C 所截得的弦长相等，求此时直 线 l1的方程 解(1)由题意知，直线 xy20 过圆 C 的圆心，设圆心 C(a，a2) 由题意，得(a2)2(a22)2a2(a2)2， 解得 a2. 因为圆心 C(2,0)，半径
10、r2， 所以圆 C 的方程为(x2)2y24. (2)由题意知，直线 l1，l2的斜率存在且不为 0， 设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为1 k， 所以 l1：yk(x1)，即 kxyk0， l2：y1 k(x1)，即 xky10. 由题意，得圆心 C 到直线 l1，l2的距离相等， 所以|2kk| k21 |21| k21 ，解得 k1， 所以直线 l1的方程为 xy10 或 xy10. 四、圆与圆的位置关系 1 圆与圆的位置关系： 一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系 2圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养 例 4已知圆 C1：x2y24
11、x4y50 与圆 C2：x2y28x4y70. (1)证明圆 C1与圆 C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程 解(1)把圆 C1与圆 C2都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)213，(x4)2(y2)213. 圆心与半径长分别为 C1(2,2)，r1 13； C2(4，2)，r2 13. 因为|C1C2| 2422222 13r1r2， 所以圆 C1与圆 C2相切 由 x2y24x4y50， x2y28x4y70， 得 12x8y120， 即 3x2y30，就是过切点的两圆公切线的方程 (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x
12、2y24x4y5(3x2y3)0. 点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得4 3. 所以所求圆的方程为 x2y24x4y54 3(3x2y3)0，即 x 2y28x20 3 y90. 反思感悟两圆的公共弦问题 (1)若圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则两圆公共 弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20. (2)公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求解 跟踪训练 4(1)已知圆 C1
13、：x2y26x70 与圆 C2：x2y26y270 相交于 A，B 两点， 则线段 AB 的中垂线方程为_ 答案xy30 解析AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2的连心线 C1C2. 又 C1(3,0)，C2(0,3)，所以 C1C2所在直 线的方程为 xy30. (2)已知圆 C1：x2y24x2y0 与圆 C2：x2y22y40. 求证：两圆相交； 求两圆公共弦所在直线的方程 证明圆 C1的方程可化为(x2)2(y1)25，圆 C2的方程可化为 x2(y1)25， C1(2，1)，C2(0,1)，两圆的半径均为 5， |C1C2| 2021122 22 5， 两圆相交 解将两圆的方程相减即
14、可得到两圆公共弦所在直线的方程，(x2y24x2y)(x2y2 2y4)0，即 xy10. 1若直线 3x4ym0 与圆 x2y22x4y10 没有公共点，则实数 m 的取值范围是 () A5m15Bm15 Cm13D4m2， m15.故选 B. 2“m2”是“直线 l1：mx4y60 与直线 l2：xmy30 平行”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析若直线 l1：mx4y60 与直线 l2：xmy30 平行，则 m24，可得 m2. 当 m2 时，直线 l1：2x4y60，直线 l2：x2y30，两直线重合，不符合题意 所以“直线 l1：
15、mx4y60 与直线 l2：xmy30 平行”等价于“m2” 所以“m2”是“直线 l1：mx4y60 与直线 l2：xmy30 平行”的充要条件 3(多选)点 P 是直线 xy30 上的动点，由点 P 向圆 O：x2y24 作切线，则切线长可 能为() A. 2 2 B.1 2 C1D. 3 2 答案ACD 解析根据题意，由点 P 向圆 O：x2y24 作切线，设 T 为切点， 圆 O：x2y24，其圆心为(0,0)，半径 r2， 则切线长|PT| |PO|2r2 |PO|24， 当|PO|最小时，|PT|最小， |PO|min |3| 11 3 2 2 ， 则|PT|min 1 2 2 2
16、 ， ACD 中都满足|PT| 2 2 ，符合题意 4(多选)以下四个命题表述正确的是() A直线 mx4y120(mR)恒过定点(0,3) B圆 C：x2y22x8y130 的圆心到直线 4x3y30 的距离为 2 C圆 C1：x2y22x0 与圆 C2：x2y24x8y40 恰有三条公切线 D两圆 x2y24x4y0 与 x2y22x120 的公共弦所在的直线方程为 x2y60 答案AC 解析对于 A 选项，当 x0 时 y3，所以直线过定点(0,3)，故 A 选项正确； 对于 B 选项，圆 C 的圆心为(1,4)，到直线 4x3y30 的距离为|4123| 5 1，故 B 选项 错误； 对于 C 选项，圆 C1的圆心为(1,0)，半径 r11；圆 C2的圆心为(2,4)，半径 r24.圆心距为 32425r1r2，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故 C 正确； 对于 D 选项，由 x2y24x4y0， x2y22x120， 两式相减并化简得 x2y60，故 D 选项错误
