1、第第 2 课时课时椭圆的标准方程及性质的应用椭圆的标准方程及性质的应用 学习目标1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判 断直线与椭圆的位置关系 导语 传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚 禁犯人囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现起初，囚犯们怀疑有内奸， 但是始终没有发现内奸是谁后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口 处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被 命名为“杰尼西亚的耳朵”这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一 个焦点反
2、射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音 一、实际生活中的椭圆问题 例 1(多选)中国的嫦娥四号探测器， 简称“四号星”， 是世界首个在月球背面软着陆和巡视 探测的航天器.2019 年 9 月 25 日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着 陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊自然通讯在线发表如 图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球 球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行， 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦 点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a
3、1和 2a2分 别表示椭圆轨道和的长轴长，则下列式子正确的是() Aa1c1a2c2Ba1c1a2c2 C.c1 a1 c2 a2 答案BD 解析由图可知，a1a2，c1c2，所以 a1c1a2c2，所以 A 不正确； 在椭圆轨道中可得，a1c1|PF|， 在椭圆轨道中可得，|PF|a2c2， 所以 a1c1a2c2，所以 B 正确； a1c2a2c1，两边同时平方得，a21c222a1c2a22c212a2c1， 所以 a21c212a1c2a22c222a2c1， 即 b212a1c2b222a2c1，由图可得，b21b22， 所以 2a1c22a2c1，c2 a2b0)的位置关系判断方法
4、： 联立 ykxm， x2 a2 y2 b21， 消去 y(或 x)得到一个关于 x(或 y)的一元二次方程： 位置关系解的个数的取值 相交两解0 相切一解0 相离无解0，得3 2m3 2. 于是，当3 2m32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数 解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不同的公共点 (2)由0，得 m3 2. 也就是当 m32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这 时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 (3)由0，得 m3 2. 从而当 m32时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解
5、这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的 方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问 题此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用 跟踪训练 2已知椭圆x 2 4 y 2 3 1，直线 l：xmym0(mR)，则直线 l 与椭圆的位置关系 是() A相离B相切 C相交D不确定 答案C 解析由题意知，l：xmym0(mR)恒过点(0,1)， 因为0 2 4 1 2 3 0， n0， mn)， 直线与椭圆相交于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x1x2)，弦的中点为(x0，y
6、0)，你能求出 kOMkAB的值吗？ 提示将点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得 x21 m y21 n 1， x22 m y22 n 1， 将两式作差并整理得 x1x2x1x2 m y1y2y1y2 n 0，记弦 AB 的中点为 M(x0，y0) 若 x1x2，则y1y2y1y2 x1x2x1x2 n m，即 y1y2 x1x2 y0 x0 n m，从而 k ABy0 x0 n m，即 k ABkOMn m. 知识梳理 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2， y1y2 x1x2三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率 例
7、3已知椭圆x 2 16 y2 4 1 的弦 AB 的中点 M 的坐标为(2,1)，则直线 AB 的方程为_ 答案x2y40 解析方法一易知直线 AB 的斜率 k 存在， 设所求直线的方程为 y1k(x2)， 由 y1kx2， x2 16 y2 4 1， 得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160. 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1，x2是上述方程的两根， 于是 x1x282k 2k 4k21 . 又 M 为 AB 的中点， x1x2 2 42k 2k 4k21 2， 解得 k1 2. 故所求直线的方程为 x2y40. 经检验，所求直线满足题意 方法二设点 A(x
8、1，y1)，B(x2，y2) M(2,1)为 AB 的中点， x1x24，y1y22. 又 A，B 两点在椭圆上， 则 x214y2116，x224y2216， 两式相减，得(x21x22)4(y21y22)0， 于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0. y1y2 x1x2 x1x2 4y1y2 4 42 1 2， 即 kAB1 2. 故所求直线的方程为 x2y40. 经检验，所求直线满足题意 方法三设所求直线与椭圆的一个交点为 A(x，y)， 由于 AB 的中点为 M(2,1)， 则另一个交点为 B(4x,2y) A，B 两点都在椭圆上， x24y216， 4x242y21
9、6. ，化简得 x2y40. 显然点 A 的坐标满足这个方程，代入验证可知点 B 的坐标也满足这个方程，而过点 A，B 的 直线只有一条，故所求直线的方程为 x2y40. 反思感悟涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相 减即得弦的中点坐标与斜率的关系 跟踪训练 3过点 M(1,1)作斜率为1 2的直线与椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点， 若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为_ 答案 2 2 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21. M 是线段
10、 AB 的中点，x1x2 2 1，y1y2 2 1. 直线 AB 的方程是 y1 2(x1)1， y1y21 2(x 1x2) 由两式相减可得x 2 1x22 a2 y 2 1y22 b2 0， 即 2 a2 1 2 2 b20. a 2b.cb.ec a 2 2 . 1知识清单： (1)实际生活中的椭圆问题 (2)直线与椭圆的位置关系 (3)中点弦的求法 2方法归纳：分类讨论法、点差法 3常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况 1已知直线 l：xy30，椭圆x 2 4 y21，则直线与椭圆的位置关系是() A相离B相切 C相交D相交或相切 答案A 解析把 xy30 代入x 2 4 y21， 得
11、x 2 4 (3x)21，即 5x224x320. (24)24532640 且 m3. 由 yx2， x2 m y2 3 1， 得(m3)x24mxm0， 16m24m(m3)0，解得 m1 或 m1 且 m3， m 的取值范围是(1,3)(3，) 4.万众瞩目的北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日正式开幕，继 2008 年北京奥运会之后，国家 体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一 个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆已知 大椭圆的长轴长为 40 cm，短轴长为 20 cm，小椭圆的短轴长为 10 cm
12、，则小椭圆的长轴长为 _cm. 答案20 解析因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同， 所以c 大 a大 c小 a小， 即 a2 大b2大 a2 大 a2 小b2小 a2 小 . 所以 202102 202 a2 小52 a2 小 ， 解得 a小10. 所以小椭圆的长轴长为 20 cm. 课时课时对点对点练练 1直线 yx1 与椭圆x 2 5 y 2 4 1 的位置关系是() A相交B相切 C相离D无法判断 答案A 解析方法一直线过点(0,1)，而 01 40， 所以直线与椭圆相交 2直线 x4ym0 交椭圆x 2 16y 21 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 1，则
13、 m 的值是() A2B1 C1D2 答案A 解析x4ym0， y1 4x m 4 ， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x21 16y 2 11， x22 16y 2 21， 两式相减，得y1y2 x1x2 x1x2 16y1y2 1 4. AB 中点的横坐标为 1， 纵坐标为1 4， 将 1，1 4 代入直线 y1 4x m 4，解得 m2. 3德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在 它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是 2930， 那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是() A. 1 59 B. 2 59
14、 C.29 59 D.30 59 答案A 解析设椭圆的长半轴长为 a，半焦距为 c， 由题意可得ac ac 29 30， 整理得 a59c，即c a 1 59. 地球运行轨道所在椭圆的离心率是 1 59. 4(多选)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，若直线 ykx 与椭圆的一个交点的横坐标 x0 b，则 k 的值为() A 2 2 B1 2 C.1 2 D. 2 2 答案AD 解析根据椭圆的离心率为 2 2 ，得c a 2 2 . 由 x0b，得 y20b2 1b 2 a2b 2c2 a2 ， y0bc a ，ky0 x0 c a 2 2 . 5经过点 P 1， 3
15、 2 且与椭圆x 2 4 y21 相切的直线方程是() Ax2 3y40Bx2 3y40 Cx2 3y20Dx2 3y20 答案A 解析显然当 x1 时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意； 当斜率 k 存在时， 设直线方程为 y 3 2 k(x1)， 与椭圆的方程联立得 y 3 2 kx1， x2 4 y21， 得到(14k2)x24kx( 32k)4k24 3k10， 由直线与椭圆相切，得0， 即4k( 32k)24(14k2)(4k24 3k1)0， 解得 k 3 6 ，切线方程为 x2 3y40. 6已知过圆锥曲线x 2 m y2 n 1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0 x m
16、 y0y n 1.过椭圆x 2 12 y2 4 1 上 的点 A(3，1)作椭圆的切线 l，则过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为() Axy30Bxy20 C2x3y30D3xy100 答案B 解析过椭圆x 2 12 y2 4 1 上的点 A(3，1)的切线 l 的方程为3x 12 y 4 1，即 xy40， 切线 l 的斜率为 1.与直线 l 垂直的直线的斜率为1，故过 A 点且与直线 l 垂直的直线方程为 y1(x3)，即 xy20. 7已知以 F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个公共点，则椭 圆的长轴长为_ 答案2 7 解析由题意可设椭圆的方
17、程为x 2 a2 y2 a241(a2)， 与直线方程 x 3y40 联立， 得 4(a23)y28 3(a24)y(16a2)(a24)0， 由0，得 a 7， 所以椭圆的长轴长为 2 7. 8已知椭圆 C：y 2 9 x21，过点 P 1 2， 1 2 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为_ 答案9xy50 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)因为点 A，B 在椭圆上， 所以y 2 1 9 x211， y22 9 x221. ，得y1y2y1y2 9 (x1x2)(x1x2)0. 因为 P 1 2， 1 2 是线段 AB 的中点，
18、 所以 x1x21，y1y21， 代入得y1y2 x1x29，即直线 AB 的斜率为9. 故直线 AB 的方程为 y1 29 x1 2 ， 整理得 9xy50. 9已知椭圆 x28y28，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：xy40 的距离最短，并求 出最短距离 解设与直线 xy40 平行且与椭圆相切的直线方程为 xya0， 由 x28y28， xya0， 消 x 得 9y22aya280， 由4a236(a28)0， 解得 a3 或 a3， 与直线 l 距离较近的切线为 xy30， 它们之间的距离即为所求最短距离， 且直线 xy30 与椭圆的切点即为所求点 P. 故所求最短距离为 d|4
19、3| 2 2 2 . 由 x28y28， xy30， 得 x8 3， y1 3， 即 P 8 3， 1 3 . 10已知点 A，B 的坐标分别是(1,0)，(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之 积为2. (1)求动点 M 的轨迹方程； (2)若过点 N 1 2，1的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C，D 两点，且 N 为线段 CD 的中点，求直线 l 的方程 解(1)设 M(x，y) 因为 kAMkBM2， 所以 y x1 y x12(x1)， 化简得 2x2y22(x1) 即点 M 的轨迹方程为 2x2y22(x1) (2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2) 当直线
20、 lx 轴时，直线 l 的方程为 x1 2，易知此时线段 CD 的中点不是 N，不符合题意 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为 y1k x1 2 ，将点 C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐 标代入 2x2y22(x1)得 2x21y212， 2x22y222， 整理得 ky1y2 x1x2 2x1x2 y1y2 221 2 21 1， 故直线 l 的方程为 y1 x1 2 ， 即所求直线 l 的方程为 2x2y30. 11椭圆 mx2ny21 与直线 y1x 交于 M，N 两点，过原点与线段 MN 中点的直线的斜 率为 2 2 ，则m n的值是( ) A. 2 2 B.2
21、 3 3 C.9 2 2 D.2 3 27 答案A 解析由 mx2ny21， y1x， 消去 y，得(mn)x22nxn10. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为(x0，y0)， 则 x1x2 2n mn，x 0 n mn， 代入 y1x 得 y0 m mn. 由题意知y0 x0 2 2 ，m n 2 2 . 12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学素描是学习绘画的必要一步， 它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步某同学在 画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱， 底面与截面之间的部分叫做切面圆 柱体)的过程中
22、，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成 60角， 则该椭圆的离心率为() A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.1 3 答案C 解析椭圆长轴长为 2a，短轴长为 2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成 60角， 可得2b 2acos 60，即 a2b， 所以 ec a a2b2 a2 3 2 . 13在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2y2 20 与椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)相切，若 椭圆 C 的右焦点 F(c,0)关于直线 l：yc bx 的对称点 E 在椭圆 C 上，则OEF 的面积为( ) A.1 2 B. 3 2
23、C1D2 答案C 解析联立方程可得 x 2y2 20， x2 a2 y2 b21， 消去 x，化简得(a22b2)y28b2yb2(8a2)0， 由0 得 2b2a280. 设 F为椭圆 C 的左焦点，连接 FE(图略)，易知 FEl， 所以 FEEF. 又点 F 到直线 l 的距离 d c2 c2b2 c2 a ， 所以|EF|2c 2 a ，|FE|2a|EF|2b 2 a . 在 RtFEF 中，由|FE|2|EF|2|FF|2， 化简得 2b2a2，代入 2b2a280 得 b22，a2，c22. 所以|EF|FE|2， 所以 SOEF1 2S FEF1. 14已知椭圆x 2 2 y2
24、1，则斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程为_ 答案x4y0 4 3x 4 3 解析设斜率为 2 的直线与椭圆x 2 2 y21 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x， y)，由点差法可知，k2y1y2 x1x2 1 2 x1x2 y1y2 1 2 x y， 即 x4y0. 又椭圆的弦的中点只能在椭圆内， x 2 2 x 4 21，解得4 3x 4 3. 所求的轨迹方程为 x4y0 4 3xb9，“挞圆”内切于 矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点) (1)求“挞圆”的方程； (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直
25、线方程为 y t(t(0,15)，求该网箱所占水面面积的最大值 解(1)由题意知 b15，a934， 解得 a25，b15. 所以“挞圆”方程为 x2 252 y2 1521(x0)和 y2 152 x2 921(x0) (2)设 P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点， 则 t2 152 x20 921， x21 252 t2 1521， 可得 x125 9 x0. 所以内接矩形的面积 S2t(x0 x1)2t34 9 x015342x0 9 t 151534 x20 92 t2 152510， 当且仅当x0 9 t 15时，S 取最大值 510. 所以网箱所占水面面积的最大值为 510 m2.
