1、1.1.2空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 学习目标1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方 法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的 应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移 转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定 义 一、空间向量的夹角 知识梳理 定义 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b 范
2、围0a，b 向量垂直如果a，b 2，那么向量 a，b 互相垂直，记作 ab 例 1(1)对于空间任意两个非零向量 a，b，“ab”是“a，b0”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案B 解析显然a，b0ab，但 ab 包括向量 a，b 同向共线和反向共线两种情况，即当 ab 时， a，b0 或，因此 aba，b0.故“ab”是“a，b0”的必要不 充分条件 (2)如图，在正方体 ABCDABCD中，求向量AC 分别与向量AB ， BA ， AD ， CD ，BD 的夹角 解连接 BD(图略)， 则在正方体 ABCDABCD中，ACBD，BAC45，AC
3、ADCD， 所以 AC ， AB AC ， AB 45， AC ， BA 180 AC ， AB 135， AC ， AD DAC60， AC ， CD 180CA ， CD 18060120， AC ， BD AC ， BD 90. 反思感悟(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为 0， 共线反向时，夹角为. (2)对空间任意两个非零向量 a，b 有：a，bb，a ；a，ba，b ； a，ba，b 跟踪训练 1在正四面体 ABCD 中，BC 与CD 的夹角等于() A30B60C150D120 答案D 解析BC ， CD 180CB ， CD 18060120
4、. 二、空间向量的数量积运算 知识梳理 1(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cos a，b 零向量与任意向量的数量积为 0，即 0a0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律(a)b(ab)，R 交换律abba 分配律a(bc)abac 2.向量的投影 (1)如图，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到 同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，c|a|cosa，b b |b|， 向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量
5、类似地， 可以将向量 a 向直线 l 投影(如图) (2)如图，向量 a 向平面投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面的垂线，垂足 分别为 A，B，得到向量AB ，向量AB 称为向量 a 在平面上的投影向量这时， 向量 a，AB 的夹角就是向量 a 所在直线与平面所成的角 注意点： (1)向量 a，b 的数量积记为 ab，而不能表示为 ab 或者 ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角的 范围决定 当为锐角时，ab0；但当 ab0 时，不一定为锐角，因为也可能为 0. 当为钝角时，ab0；但当 ab0 时，不一定为钝角，因为也
6、可能为. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律 例 2如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F 分别是 AB， AD 的中点，计算： (1)EF BA；(2)EFBD ；(3)EF DC ；(4)BF CE . 解(1)EF BA1 2BD BA 1 2|BD |BA |cosBD ， BA 1 211cos 60 1 4， 所以EF BA1 4. (2)EF BD 1 2BD BD 1 2|BD |BD |cosBD ， BD 1 211cos 0 1 2， 所以EF BD 1 2. (3)EF DC 1 2BD DC 1 2|BD |DC |c
7、osBD ， DC 1 211cos 120 1 4， 所以EF DC 1 4. (4)BF CE 1 2(BD BA )1 2(CB CA) 1 4BD (BC )BA(BC )BD CA BA CA 1 4BD BC BABC(CD CB )CAABAC 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8. 反思感悟由向量数量积的定义知，要求 a 与 b 的数量积，需已知|a|，|b|和a，b ，a 与 b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 ab 计算准确 跟踪训练 2已知空间向量 a，b，c 满足 abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则 abbcca 的
8、值为_ 答案13 解析abc0， (abc)20， a2b2c22(abbcca)0， abbcca3 21242 2 13. 三、利用空间向量数量积的性质求模长 问题类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质 提示(1)若 a，b 为非零向量，则 abab0； (2)aa|a|2或|a| aa a2； (3)若 a，b 为非零向量，则 cosa，b ab |a|b|； (4)|ab|a|b|(当且仅当 a，b 共线时等号成立) 例 3如图，已知一个 60的二面角的棱上有两点 A，B，AC，BD 分别是在这两个面内且垂 直于 AB 的线段又知 AB4，AC6，BD8，求 CD 的长 解
9、CAAB，BDAB， CA ， BD 120. CD CA ABBD ，且CA AB 0，BD AB 0， |CD |2CD CD (CA AB BD )(CA AB BD )|CA |2|AB |2|BD |22CA BD 2CA AB 2AB BD |CA |2|AB |2|BD |22|CA |BD |cosCA ， BD 624282268 1 2 68， |CD |2 17，故 CD 的长为 2 17. 反思感悟用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点间的连线用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式 aa|a|2，求|a|. 跟踪训练 3已知在平行六面体 ABCDA1
10、B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之 间的夹角都是 60，则 AC1的长为() A6B. 6C3D. 3 答案B 解析设AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|1， 且a，bb，cc，a60， 因此 abbcca1 2. 由AC1 abc， 得|AC1 |2AC1 2a2b2c22ab2bc2ca6.所以|AC1 | 6. 1知识清单： (1)空间向量的夹角、投影 (2)空间向量数量积、性质及运算律 2方法归纳：化归转化 3常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定 (2)当 a0 时，由 ab0 可得 ab 或 b0 1(多选)如图所示，在正方体 ABCDA1B
11、1C1D1中，下列各组向量的夹角为 45的是() A.AB 与A 1C1 B.AB 与C 1A1 C.BC 与C1B D.BC 与AD1 答案AD 2已知空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC 3，则 cosOA ， BC 的值为( ) A.1 2 B. 2 2 C1 2 D0 答案D 解析OA BC OA (OC OB )OA OC OA OB |OA |OC |cosAOC|OA |OB |cosAOB 1 2|OA |OC |1 2|OA |OB |0， 所以OA BC . 所以 cosOA ， BC 0. 3若 a，b 为空间夹角是 60的两个单位向量，则|ab|_. 答案1
12、 解析|ab|2(ab)2 a2b22ab1. |ab|1. 4如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，设 ADAA11，AB2，P 是 C1D1的中点，则B1C 与A1P 所成角的大小为_，B 1C A 1P _. 答案601 解析方法一连接 A1D(图略)， 则PA1D 就是B1C 与A 1P 所成的角，连接 PD， 在PA1D 中，易得 PA1DA1PD 2， 即PA1D 为等边三角形，从而PA1D60， 即B1C 与A 1P 所成角的大小为 60， 因此B1C A 1P 2 2cos 601. 方法二根据向量的线性运算可得 B1C A 1P (A 1A AD ) AD 1 2AB
13、AD 21. 由题意可得 PA1B1C 2， 则 2 2cosB1C ， A 1P 1， 从而B1C ， A 1P 60. 课时课时对点对点练练 1在正四面体 ABCD 中，点 E，F 分别是 AC，AD 的中点，则BC 与EF的夹角为( ) A30B60C120D150 答案C 解析由题意，可得EF 1 2CD ， 所以BC ， EFBC， CD 180CB ， CD 18060120. 2已知向量 a 和 b 的夹角为 120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a 等于() A12B8 13 C4D13 答案D 解析(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 1202425 1 2
14、13. 3 已知两异面直线的方向向量分别为 a， b， 且|a|b|1， ab1 2， 则两直线的夹角为( ) A30B60C120D150 答案B 解析设向量 a，b 的夹角为，则 cos ab |a|b| 1 2，所以120，则两个方向向量对应的 直线的夹角为 18012060. 4(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD， DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2的是() A2BA AC B2AD BD C2FG AC D2EF CB 答案BC 解析2BA AC 2a2cos 120a2， 2AD BD 2DA DB 2a2cos 6
15、0a2， 2FG AC ACACa2， 2EF CBBD CB BD BC 1 2a 2. 5平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCDA1B1C1D1的所有棱长都为 1，且A1AD A1AB60，DAB45，则 BD1等于() A. 31B. 21 C. 3 2D. 3 2 答案C 解析如图，因为BD1 AD AB AA 1 ， 所以|BD1 |2|AD AB AA 1 |2|AB |2|AD |2|AA1 |22AB AD 2AB AA 1 2AD AA1 111 21cos 45211cos 60211cos 603 2， 所以|BD1 | 3 2. 6(多选)在正方体 ABCDA1
16、B1C1D1中，下列命题是真命题的是() A(AA1 AD AB )23AB2 B.A1C (A 1B1 A 1A )0 C.AD1 与A1B 的夹角为 60 D正方体的体积为|AB AA 1 AD | 答案AB 解析如图所示，(AA1 AD AB )2(AA1 A1D1 D 1C1 )2AC 1 23AB 2，故 A 为真命题； A1C (A 1B1 A 1A )A 1C AB 1 0， 故 B 为真命题； AD1 与A1B 的夹角是D 1C 与D 1A 夹角的补角， 而D1C 与D 1A 的夹角为60，故AD 1 与A1B 的夹角为 120，故 C 是假命题；正方体的体积为|AB| |AA
17、1 |AD |，故 D 为假命题 7已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_. 答案22 解析|ab|2a22abb21322ab192242， 2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22. 8已知 a3b 与 7a5b 垂直，且 a4b 与 7a2b 垂直，则a，b_. 答案60 解析由条件知(a3b)(7a5b)7|a|215|b|216ab0， (a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0，两式相减得 46ab23|b|2，所以 ab1 2|b| 2，代入上 面两个式子中的任意一个，得|a|b|， 所以 cosa，b ab |a|b| 1
18、2|b| 2 |b|2 1 2， 所以a，b60. 9已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AB1的中心，F 为 A1D1的中点，试计算： (1)BC ED 1 ； (2)BF AB 1 ； (3)EF FC 1 . 解如图所示，设AB a，AD b，AA1 c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0. (1)BC ED1 AD (EA1 A1D1 )AD 1 2AA 1 AB AD b 1 2cab|b|24216. (2)BF AB 1 (BA1 A1F )(ABBB 1 ) AA1 AB 1 2AD (AB AA 1 ) ca1 2b(ac)|c|
19、2|a|222220. (3)EF FC 1 (EA1 A1F )(FD 1 D1C1 ) 1 2AA 1 AB 1 2AD 1 2AD AB 1 2ca 1 2b 1 2ba 1 2(abc) 1 2ba 1 2|a| 21 4|b| 22. 10.如图所示，在空间四面体 OABC 中，OA，OB，OC 两两成 60角，且 OAOBOC2， E 为 OA 的中点，F 为 BC 的中点，试求 E，F 间的距离 解EF EA AF 1 2OA 1 2(AB AC )1 2OA 1 2(OB OA )(OC OA )1 2OA 1 2OB 1 2OC ， 所以 EF 21 4OA 21 4OB 2
20、1 4OC 221 2 1 2OA OB 2 1 2 1 2OA OC 21 2 1 2OB OC 2. 所以|EF | 2，即 E，F 间的距离为 2. 11.如图， 在大小为 45的二面角 AEFD 中， 四边形 ABFE， CDEF 都是边长为 1 的正方形， 则 B，D 两点间的距离是() A. 3B. 2 C1D. 3 2 答案D 解析BD BF FEED ， |BD |2|BF |2|FE|2|ED |22BF FE2FEED 2BF ED 111 23 2. 故|BD | 3 2. 12如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AD4，CD3，D60，PA平面 ABCD，且 PA6，
21、则 PC_. 答案7 解析|PC |2(PA AD DC )2|PA |2|AD |2|CD |22PA AD 2AD DC 2PA DC 6242 322|AD |DC |cos 12049， 所以|PC |7. 13在四面体 OABC 中，棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA1，OB2，OC3，G 为ABC 的重心，则OG (OA OB OC )_. 答案 14 3 解析OA，OB，OC 两两垂直， OA OB OA OC OB OC 0， 且OG OA OB OC 3 ， 故OG (OA OB OC ) 1 3(OA OB OC )21 3(|OA |2|OB |2|OC |2)1
22、3(149) 14 3 . 14已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD1上运动，则DC AP 的取 值范围是_ 答案0,1 解析依题意，设BP BD 1 ，其中0,1，DC AP AB(ABBP)AB(ABBD 1 )AB 2 AB BD 1 11 3 3 3 10,1因此DC AP 的取值范围是0,1 15如图所示，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，Pi(i1,2， 8)是上底面上其余的八个点，则AB AP i (i1,2，8)的不同值的个数为() A8B4C2D1 答案D 解析AB AP i AB (ABBP i )AB 2AB
23、BP i ， AB平面 BP2P8P6， AB BP i ， AB BP i 0， AB AP i |AB |21， 则AB AP i (i1,2，8)的不同值的个数为 1. 16如图所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线 AC 将 ACD 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求此时 B，D 两点间的距离 解在平行四边形 ABCD 中， ACD90， AC CD 0，同理可得AC BA 0. 在空间四边形 ABCD 中， AB 与 CD 成 60角， BA ， CD 60或BA ， CD 120. 又BD BA ACCD ， |BD |2|BA |2|AC |2|CD |22BA AC2BACD 2AC CD 3211cosBA ， CD ， 当BA ， CD 60时，|BD |24， 此时 B，D 两点间的距离为 2， 当BA ， CD 120时，|BD |22， 此时 B，D 两点间的距离为 2.
