1、1.1空间向量及其运算空间向量及其运算 11.1空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 第第 1 课时课时空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向 量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算 导语 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明 珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游 客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图 2，那么他实际发生的位移是什么？ 又如何表示呢？ 一、空间向
2、量的有关概念 知识梳理 1 在空间， 把具有方向和大小的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，a 的起点是 A，终点是 B，则 a 也可记作AB ，其模记为|a|或|AB|. 2几类特殊的空间向量 名称定义及表示 零向量规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 单位向量模为 1 的向量叫做单位向量 相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记为a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 那么这 些向量叫做共线向量或平行向量规定：零向量与任意向量平行，即对 于任意向量
3、a，都有 0a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 在空间， 同向且等长的有向线 段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量 (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同 (3)向量不能比较大小 (4)共线向量不一定具备传递性，比如 0 例 1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是() A单位向量都相等 B若|a|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 C若向量AB ，CD 满足|AB |CD |，则AB CD D相等向量其方向必相同 答案D 解析A 中，单位向量长度相等，方向不确定； B 中，|a|b|只能说明 a，b 的长度相等而方向不确定；
4、 C 中，向量不能比较大小 (2)(多选)下列命题为真命题的是() A若空间向量 a，b 满足|a|b|，则 ab B在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有AC A 1C1 C若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp D空间中，ab，bc，则 ac 答案BC 解析A 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相 同，而 A 中向量 a 与 b 的方向不一定相同； B 为真命题，AC 与 A 1C1 的方向相同，模也相等，故AC A 1C1 ； C 为真命题，向量的相等满足传递性； D 为假命题，平行向量不一定具有传递性，当 b0 时，a 与 c 不一定
5、平行 反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的 模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念 跟踪训练 1如图所示，以长方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与AB 相等的所有向量； (2)试写出AA1 的相反向量； (3)若 ABAD2，AA11，求向量AC1 的模 解(1)与向量AB 相等的所有向量(除它自身之外)有 A 1B1 ，DC 及 D1C1 共 3 个 (2)向量AA1 的相反向量为A1A ， B 1B ， C 1C ，D 1D . (3)|AC1 | |AC|2|CC
6、1|2 |AB|2|BC|2|CC1|23. 二、空间向量的加减运算 问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面 中一致 知识梳理 加法 运算 三角形 法则 语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边 形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四 边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法 运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减 向量 图形叙述 加法 运算 交换律abba 结合律(ab)ca(bc) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点 (2)三角
7、形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用 例 2(1)(多选)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1 的是() A. A1D1 A 1A AB B.BC BB 1 D1C1 C.AD AB DD 1 D. B1D1 A 1A DD 1 答案AB 解析A 中， A1D1 A 1A ABAD 1 AB BD 1 ； B 中，BC BB1 D1C1 BC 1 C1D1 BD 1 ； C 中，AD AB DD 1 BD DD1 BD BB1 B1D BD 1 ； D 中， B1D1 A 1A DD 1 BD AA1 DD1 BD1 AA1 BD1 .故选 AB. (2)
8、化简(AB CD )(AC BD )_. 答案0 解析方法一(转化为加法运算) (AB CD )(AC BD )AB CD AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA 0 方法二(转化为减法运算) (AB CD )(AC BD ) (AB AC)(BD CD ) CB BC0 反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量 可使向量首尾相接 (2)巧用平移： 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时， 务必注意和向量、 差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 跟踪训练
9、 2如图，已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，E，F，G 分别是 BC，CD，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果 (1)AB BCDC ； (2)AB DG CE . 解(1)AB BC DC AB BC CD AC CD AD ，如图中向量AD . (2)AB DG CE ABBG EC AG GF AF ，如图中向量AF. 三、空间向量的数乘运算 知识梳理 定义 与平面向量一样， 实数与空间向量 a 的乘积a 仍然是一个 向量，称为空间向量的数乘 几何意义 0a 与向量 a 的方向相同 a 的长度是 a 的长度的|倍 0a 与向量 a 的方向相反 0a0，其方向是任
10、意的 运算律 结合律(a)()a 分配律()aaa，(ab)ab 注意点： (1)当0 或 a0 时，a0 (2)的正负影响着向量a 的方向，的绝对值的大小影响着a 的长度 (3)向量a 与向量 a 一定是共线向量 例 3如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AA1 a，AB b，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)AP ；(2)A 1N ；(3)MP . 解(1)P 是 C1D1的中点， AP AA 1 A1D1 D 1P aAD 1 2 D1C1 ac1 2AB a1 2bc. (2)N 是 BC 的中点，
11、A1N A 1A ABBNab1 2BC ab1 2AD ab1 2c. (3)M 是 AA1的中点， MP MA AP 1 2 A1A AP 1 2a ac1 2b1 2a 1 2bc. 延伸探究 1.例 3 的条件不变，试用 a，b，c 表示向量PN . 解因为 P，N 分别是 D1C1，BC 的中点， 所以PN PC1 C1C CN 1 2AB (AA 1 ) 1 2AD a1 2b 1 2c. 2若把例 3 中“P 是 C1D1的中点”改为“P 在线段 C1D1上，且C1P PD1 1 2”，其他条件不变， 如何表示AP ？ 解AP AD 1D1P AA 1 AD 2 3AB ac2
12、3b. 反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则， 将目标向量转化为已知向量 (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 跟踪训练3已知四边形ABCD为正方形， P是四边形ABCD所在平面外一点， P在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O，Q 是 CD 的中点，求下列各题中 x，y 的值 (1)OQ PQ xPC yPA； (2)PA xPO yPQ PD . 解(1)由图可知，OQ PQ PO PQ 1 2(PA PC ) PQ 1 2PA 1 2PC ， xy1 2. (2)PA PC
13、2PO ， PA 2PO PC . PC PD 2PQ ， PC 2PQ PD ， PA 2PO (2PQ PD )2PO 2PQ PD . x2，y2. 1知识清单： (1)向量的相关概念 (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘) (3)向量的线性运算的运算律 2方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想 3常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是 一个数 1(多选)下列命题中，真命题是() A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C只有零向量的模等于 0 D共线的单位向量都相等 答案A
14、BC 解析容易判断 D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量 2化简PM PN MN 所得的结果是() A.PM B.NP C0D.MN 答案C 解析PM PN MN NM MN NM NM 0 3设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且AO OB DO OC ，则四边形 ABCD 是() A平行四边形B空间四边形 C等腰梯形D矩形 答案A 解析AO OB DO OC ， AB DC . AB DC 且|AB |DC |. 四边形 ABCD 为平行四边形 4 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 已知下列各式： (AB BC)CC 1 ； (AA1 A1D1 ) D 1C1 ； (
15、AB BB 1 ) B1C1 ；(AA 1 A1B1 ) B 1C1 .其中运算结果为AC 1 的有_个 答案4 解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： (AB BC)CC 1 AC CC 1 AC1 ； (AA1 A1D1 ) D 1C1 AD 1 D1C1 AC 1 ； (AB BB 1 ) B1C1 AB 1 B1C1 AC 1 ； (AA1 A1B1 ) B 1C1 AB 1 B1C1 AC 1 . 所以 4 个式子的运算结果都是AC1 . 课时课时对点对点练练 1下列说法中正确的是() A空间中共线的向量必在同一条直线上 B.AB CD 的充要条件是 A 与 C 重
16、合，B 与 D 重合 C数乘运算中，既决定大小，又决定方向 D在四边形 ABCD 中，一定有AB AD AC 答案C 解析对于 A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以 A 错误； 对于 B，AB CD 的充要条件是|AB |CD |，且AB ，CD 同向但 A 与 C，B 与 D 不一定重合， 所以 B 错误； 对于 C，既决定大小又决定方向，所以 C 正确； 对于 D，满足AB AD AC 的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而 D 错误 综上可知，正确的为 B. 2向量 a，b 互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是() AabBab 为实数 0 Ca
17、与 b 方向相同D|a|3 答案D 解析向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等，方向相反，故选 D. 3.如图，在四棱柱的上底面 ABCD 中，AB DC ，则下列向量相等的是() A.AD 与CB B.OA 与OC C.AC 与DB D.DO 与OB 答案D 解析对于 A，AD 与CB 的方向相反，因而不是相等向量，所以 A 错误； 对于 B，OA 与OC 的方向相反，因而不是相等向量，所以 B 错误； 对于 C，AC 与DB 的方向不同，因而不是相等向量，所以 C 错误； 对于 D，DO 与OB 的方向相同，大小相等，是相等向量，因而 D 正确 4.如图，在直三棱柱 ABCA1B1
18、C1中，若CA a，CBb，CC 1 c，则A1B 等于( ) Aabc Babc Cbac Dbac 答案C 解析A1B ABAA 1 (CB CA)AA 1 ， AA1 CC1 c， A1B bac. 5.如图，在空间四边形 OABC 中，OA a，OB b，OC c，点 M，N 分别为 OA，BC 的中点， 则MN 等于() A.1 2a 1 2b 1 2c B1 2a 1 2b 1 2c C.1 2a 1 2b 2 3c D.1 2a 1 2b 1 2c 答案B 解析MN MA AB BN1 2a(ba) 1 2(cb) 1 2a 1 2b 1 2c. 6(多选)已知平行六面体 ABC
19、DABCD，则下列四式中正确的有() A.AB CBAC B.AC ABBCCC C.AA CC D.AB BB BC CC AC 答案ABC 解析作出平行六面体 ABCDABCD的图象如图，可得AB CB AB BCAC， 故 A 正确； AB BCCC AB BCCC AC ， 故 B 正确； C 显然正确； AB BB BC CC ABBCAC，故 D 不正确综上，正确的有 ABC. 7设 A，B，C，D 为空间任意四点，则AC BCBD _. 答案AD 解析AC BC BD AC CB BD AD . 8在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是 AA1的中点，已知AB a，AD
20、 b，AA1 c，用 a， b，c 表示CM ，则CM _. 答案ab1 2c 解析CM CB BA AM BC ABAM ， 又M 是 AA1的中点， AM 1 2AA 1 ， CM BC AB 1 2AA 1 ， AB a，AD b，AA1 c， CM ab1 2c. 9.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，M 是 BB1的中点化简下列各式，并在图中标出化 简得到的向量 (1)CB BA1 ； (2)AC CB 1 2AA 1 ； (3)AA1 AC CB. 解(1)CB BA 1 CA1 . (2)因为 M 是 BB1的中点， 所以BM 1 2BB 1 . 又AA1 BB1 ， 所
21、以AC CB 1 2AA 1 AB BM AM . (3)AA1 AC CBCA 1 CB BA 1 . 向量CA1 ， AM ，BA1 如图所示 10.如图，设 O 为ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中点，若AE 1 2OD xOB yOA ， 求 x，y 的值 解AE ABBCCE OB OA OC OB 1 2OC OA 1 2OC OA 1 2(OD DC ) OA 1 2(OD AB ) OA 1 2OD 1 2(OB OA ) 1 2OD 1 2OB 3 2OA ， 又AE 1 2OD xOB yOA ， x1 2，y 3 2. 11已知空间中任意四个点 A，B，C，
22、D，则DA CD CB 等于( ) A.DB B.AB C.AC D.BA 答案D 解析方法一DA CD CB (CD DA )CB CACBBA. 方法二DA CD CB DA (CD CB )DA BD BA . 12.如图，在平行六面体 ABCDABCD中，AC 与 BD 的交点为 O，点 M 在 BC上， 且 BM2MC，则OM 等于() A1 2AB 7 6AD 2 3AA B1 2AB 5 6AD 1 3AA C1 2AB 1 6AD 2 3AA D1 2AB 1 6AD 1 3AA 答案C 解析因为 BM2MC， 所以BM 2 3BC ， 在平行六面体 ABCDABCD中， OM
23、 OB BM OB 2 3BC 1 2DB 2 3(AD AA )1 2(AB AD )2 3(AD AA ) 1 2AB 1 6AD 2 3AA . 13如图，在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 CD，BE 的中点，若记AB a，AD b，AC c， 则AG _. 答案 1 2a 1 4b 1 4c 解析在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 CD，BE 的中点， 则AG AB BG AB 1 2BE AB1 2 1 2(BC BD )AB 1 4(AC ABAD AB ) AB 1 4AC 1 4AD 1 2AB 1 2AB 1 4AD 1 4AC 1 2a 1 4b 1 4c. 14
24、.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点 (1)化简A1O 1 2AB 1 2AD _. (2)用AB ， AD ，AA1 表示OC1 ，则OC1 _. 答案(1)A1A (2)1 2AB 1 2AD AA1 解析(1)A1O 1 2AB 1 2AD A1O 1 2(AB AD )A1O AO A1O OA A1A . (2)因为OC 1 2AC 1 2(AB AD )， 所以OC1 OC CC1 1 2(AB AD )AA1 1 2AB 1 2AD AA1 . 15在平行六面体 ABCDABCD中，若AC xAB y 2BC z 3CC ，则 xyz _. 答案6
25、解析在平行六面体 ABCDABCD中，AC AB BC CC ，又AC xAB y 2BC z 3CC ， x1， y 21， z 31， x1， y2， z3， xyz6. 16.如图，已知 ABCDABCD是平行六面体 (1)化简1 2AA BC 2 3AB ，并在图中标出其结果； (2)设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCCB对角线 BC上的3 4分点，设MN AB AD AA ，试求，的值 解(1)如图，取 AA的中点 E，在 DC上取一点 F，使 DF2FC，连接 EF， 则EF 1 2AA BC 2 3AB . (2)因为MN MB BN 1 2DB 3 4BC 1 2(DA AB )3 4(BC CC )1 2AB 1 4AD 3 4AA ， 所以1 2， 1 4， 3 4.
