1、1.3空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 13.1空间直角坐标系空间直角坐标系 学习目标1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标 导语 我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出：“数学研究数量关系与空间 形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式， 你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法.” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何 问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算 一、空间直角坐标系 知识梳理 1空间直角坐
2、标系：在空间选定一点 O 和一个单位正交基底i，j，k，以 O 为原点，分别 以 i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们 都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 2相关概念：O 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平 面，分别称为 Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分 注意点： (1)基向量：|i|j|k|1，ijikjk0. (2)画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使xOy135(或 45)，yOz90. (3)建立的坐标系均为右手直角坐标系 二、求空间点的
3、坐标 知识梳理 在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量OA ，且 点 A 的位置由向量OA 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 OA xiyjzk.在单位正交基底i，j，k下与向量OA 对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x，y，z)，其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵 坐标，z 叫做点 A 的竖坐标 问题空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 提示 点的位置x 轴上y 轴上z 轴上 坐标的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，
4、z) 点的位置Oxy 平面内Oyz 平面内Ozx 平面内 坐标的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z) 例 1(1)画一个正方体 ABCDA1B1C1D1，若以 A 为坐标原点，以棱 AB，AD，AA1所在的直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 顶点 A，D1的坐标分别为_； 棱 C1C 中点的坐标为_； 正方形 AA1B1B 对角线的交点的坐标为_ 答案(0,0,0)，(0,1,1) 1，1，1 2 1 2，0， 1 2 (2)已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直角坐标系， 写出各顶点的坐标
5、解正四棱锥 PABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10， 正四棱锥的高为 2 23. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 BC，AB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴，垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2， 2,0)， B(2,2,0)， C(2,2,0)， D(2， 2,0)， P(0,0,2 23) 答案不唯一 反思感悟(1)建立空间直角坐标系的原则 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内 充分利用几何图形的对称性 (2)求某点 M 的坐标的方法 作 MM垂直于平面 Oxy，垂足为 M，求 M的横坐标 x，纵坐标
6、y，即点 M 的横坐标 x， 纵坐标 y， 再求 M 点在 z 轴上射影的竖坐标 z， 即为 M 点的竖坐标 z， 于是得到 M 点的坐标(x， y，z) 跟踪训练 1设正四棱锥 SP1P2P3P4的所有棱长均为 2，建立适当的空间直角坐标系，求各 个顶点的坐标 解如图所示，建立空间直角坐标系，其中 O 为底面正方形的中心，P1P2Oy 轴，P1P4Ox 轴，SO 在 Oz 轴上 P1P22，且 P1，P2，P3，P4均在 Oxy 平面上， P1(1,1,0)，P2(1,1,0) 在 Oxy 平面内，P3与 P1关于原点 O 对称，P4与 P2关于原点 O 对称， P3(1，1,0)，P4(1
7、，1,0) 又 SP12，OP1 2， 在 RtSOP1中，SO 2， S(0,0， 2) (答案不唯一，也可选择其他的点建系) 三、空间点的对称问题 例 2在空间直角坐标系中，已知点 P(2,1,4) (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于 Oxy 平面对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，1，4)对称的点的坐标 解(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相 反数，所以对称点坐标为 P1(2，1，4) (2)由点 P 关于 Oxy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分量变为原
8、来的相反 数，所以对称点坐标为 P2(2,1，4) (3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3的中点， 由中点坐标公式，可得 x22(2)6， y2(1)13，z2(4)412， 所以 P3的坐标为(6，3，12) 反思感悟空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才 能准确求解 (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论 跟踪训练 2已知点 P(2,3，1)关于坐标平面 Oxy 的对称点为 P1，点 P1关于坐标平面 Oyz 的对称点为 P2，点 P2关于 z 轴的对称点为
9、P3，则点 P3的坐标为_ 答案(2，3,1) 解析点 P(2,3， 1)关于坐标平面 Oxy 的对称点 P1的坐标为(2,3,1)， 点 P1关于坐标平面 Oyz 的对称点 P2的坐标为(2,3,1)，点 P2关于 z 轴的对称点 P3的坐标是(2，3,1) 四、空间向量的坐标 知识梳理 向量的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作OA a，由空间向量基本定理，存 在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 axiyjzk.有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标 系 Oxyz 中的坐标，可简记作 a(x，y，z) 例 3已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，A
10、BACAA14，M 为 BC1的中点， N 为 A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量AB ， AC 1 ，BC1 的坐标 解建立如图所示的空间直角坐标系，设1 4AB i， 1 4AC j，1 4AA 1 k， AB 4i0j0k(4,0,0)， AC1 AA1 AC 0i4j4k (0,4,4)， BC1 BC CC 1 BA ACCC 1 4i4j4k (4,4,4) 反思感悟向量坐标的求法 (1)点 A 的坐标和向量OA 的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得 跟踪训练 3如图所示，以长方体 ABCDA1B1C1D 的顶点 D 为坐标原点，
11、过 D 的三条棱所 在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1 的坐标为(4,3,2)，则 C1的坐标是() A(0,3,2)B(0,4,2) C(4,0,2)D(2,3,4) 答案A 解析DB1 的坐标为(4,3,2)，D 为坐标原点， B1的坐标为(4,3,2)， BC4，DC3，CC12， C1的坐标为(0,3,2) 1知识清单： (1)空间直角坐标系的概念 (2)空间点的坐标 (3)空间向量的坐标 2方法归纳：数形结合、类比联想 3常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点 的坐标相同 1在空间直角坐标系中，点 P(1,3，5)关于平面 Oxy
12、对称的点的坐标是() A(1,3，5)B(1,3,5) C(1，3,5)D(1，3,5) 答案B 2在空间直角坐标系中，点 P(1，2，3)到平面 Oyz 的距离是() A1B2 C3D. 14 答案A 解析点到平面 Oyz 的距离就是点的横坐标的绝对值 3点 P(1,1,1)关于 Oxy 平面的对称点 P1的坐标为_，点 P 关于 z 轴的对称点 P2的坐标 为_ 答案(1,1，1)(1，1,1) 解析点 P(1,1,1)关于 Oxy 平面的对称点 P1的坐标为(1,1，1)，点 P 关于 z 轴的对称点 P2 的坐标为(1，1,1) 4在长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 D(0,0,
13、0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量AC1 的 坐标为_ 答案(4,2,3) 解析AC1 AD DC1 AD DC CC1 4i2j3k(4,2,3) 课时课时对点对点练练 1(多选)下列命题中正确的是 () A在空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B在空间直角坐标系中，在 Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C在空间直角坐标系中，在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D在空间直角坐标系中，在 Ozx 平面上的点的坐标是(a,0，c) 答案BCD 解析空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标是(a,0,0)故 A 错误，
14、B，C，D 正确 2在空间直角坐标系 Oxyz 中，点(1，2,4)关于 y 轴对称的点为() A(1，2，4)B(1，2,4) C(1,2，4)D(1,2,4) 答案A 解析关于 y 轴对称，则 y 值不变，x 和 z 的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为( 1，2，4) 3如图，在长方体 OABCO1A1B1C1中，OA3，OC5，OO14，点 P 是 B1C1的中点， 则点 P 的坐标为() A(3,5,4)B. 3 2，3，4 C. 3 2，5，4D. 5，3 2，2 答案C 解析由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐 标分
15、别是3 2，5,4，故点 P 的坐标是 3 2，5，4. 4在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(1,2,3)() A关于 Oxy 平面对称B关于 Ozx 平面对称 C关于 Oyz 平面对称D关于 x 轴对称 答案C 解析空间中的两个点(1,2,3)和(1,2,3)，y，z 轴上的两个坐标相同，x 轴上的坐标相反，故 此两点关于 Oyz 平面对称 5在空间直角坐标系中，已知点 P(1，2， 3)，过点 P 作平面 Oyz 的垂线 PQ，则垂足 Q 的 坐标为() A(0，2，0)B(0，2， 3) C(1,0， 3)D(1，2，0) 答案B 解析由于垂足在平面 Oyz 上，所以纵坐标，竖坐
16、标不变，横坐标为 0. 6如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，B1E1 4A 1B1，则BE 等 于() A. 0，1 4，1B. 1 4，0，1 C. 0，1 4，1D. 1 4，0，1 答案C 解析BE BB 1 B1E k1 4j 0，1 4，1. 7设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量 a，b 的坐标分别为_ 答案(2，4,5)，(1,2，3) 解析由空间向量坐标概念知 a(2，4,5)，b(1,2，3) 8.如图是一个正方体截下的一角 PABC，其中 PAa，PBb，PCc.建立如图所示的空间 直角坐标系，
17、则ABC 的重心 G 的坐标是_ 答案 a 3， b 3， c 3 解析由题意知 A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c) 由重心坐标公式得点 G 的坐标为 a 3， b 3， c 3 . 9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体 DABCDABC的棱长为 a，E，F，G，H， I，J 分别是棱 CD，DA，AA，AB，BC，CC的中点，写出正六边形 EFGHIJ 各 顶点的坐标 解正方体 DABCDABC的棱长为 a，且 E，F，G，H，I，J 分别是棱 CD， DA，AA，AB，BC，CC的中点，正六边形 EFGHIJ 各顶点的坐标为 E 0，a 2，a， F a 2，0，a，G
18、 a，0，a 2 ，H a，a 2，0，I a 2，a，0，J 0，a，a 2 . 10.如图所示，过正方形 ABCD 的中心 O 作 OP平面 ABCD，已知正方形的边长为 2，OP 2，连接 AP，BP，CP，DP，M，N 分别是 AB，BC 的中点，以 O 为原点， OM ，ON ，1 2OP 为单位正交基底建立空间直角坐标系若 E，F 分别为 PA，PB 的中点，求点 A，B，C，D， E，F 的坐标 解由题意知，点 B 的坐标为(1,1,0) 由点 A 与点 B 关于 x 轴对称，得 A(1，1,0)， 由点 C 与点 B 关于 y 轴对称，得 C(1,1,0)， 由点 D 与点 C
19、 关于 x 轴对称，得 D(1，1,0) 又 P(0,0,2)，E 为 AP 的中点，F 为 PB 的中点， 所以由中点坐标公式可得 E 1 2， 1 2，1，F 1 2， 1 2，1. 11在空间直角坐标系中，点 M(1,2,3)到 z 轴的距离为() A. 5B3C. 10D. 13 答案A 解析空间直角坐标系中，点 M(1,2,3)到 z 轴的距离为 1222 5. 12(多选)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD4，AA13，以直线 DA，DC， DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是() A点 B1的坐标为(4,5,3) B点
20、 C1关于点 B 对称的点为(5,8，3) C点 A 关于直线 BD1对称的点为(0,5,3) D点 C 关于平面 ABB1A1对称的点为(8,5,0) 答案ACD 解析根据题意知，点 B1的坐标为(4,5,3)，选项 A 正确； B 的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)， 故点 C1关于点 B 对称的点为(8,5，3)，选项 B 错误； 在长方体中 AD1BC1 AD2AA215AB， 所以四边形 ABC1D1为正方形，AC1与 BD1垂直且平分， 即点 A 关于直线 BD1对称的点为 C1(0,5,3)，选项 C 正确； 点 C 关于平面 ABB1A1对称的点为(8,5,0)
21、，选项 D 正确 13已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，向量 a 在基底AB ， AD ，AA1 下的坐标为(2,1，3)， 则向量 a 在基底DA ， DC ，DD1 下的坐标为() A(2,1，3)B(1,2，3) C(1，8,9)D(1,8，9) 答案B 解析a2AB AD 3AA1 2DC DA 3DD1 DA 2DC 3DD1 ， 向量 a 在基底DA ， DC ，DD1 下的坐标为(1,2，3) 14.在三棱锥 PABC 中，ABC90，PB平面 ABC，ABBCPB1，M，N 分别是 PC， AC 的中点，建立如图所示的坐标系 Bxyz，则向量MN 的坐标为_ 答案 1
22、2，0， 1 2 解析MN MB BN 1 2(BP BC)1 2(BA BC )1 2BA 1 2BP 1 2i 1 2k 1 2，0， 1 2 . 15已知向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则 p 在基底2a，b，c下的坐标 为_，在基底ab，ab，c下的坐标为_ 答案(1,1,1) 3 2， 1 2，1 解析由题意知 p2abc， 则向量 p 在基底2a，b，c下的坐标为(1,1,1) 设向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 又p2abc， xy2， xy1， z1， 解得 x3 2，y 1 2，z1， p 在基底ab，ab，c下的坐标为 3 2， 1 2，1. 16.如图所示，正四面体 ABCD 的棱长为 1，G 是BCD 的中心，建立如图所示的空间直角坐 标系，则AG 的坐标为_，AB 的坐标为_ 答案 0，0， 6 3 0， 3 3 ， 6 3 解析由题意可知，BG2 3BE 2 3 3 2 3 3 ， 所以 AG AB2BG2 6 3 ， 所以AG 6 3 k 0，0， 6 3 ， AB GB GA 3 3 j 6 3 k 0， 3 3 ， 6 3 .
