1、1.2空间向量基本定理空间向量基本定理 第第 1 课时课时空间向量基本定理空间向量基本定理 学习目标1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解 导语 回顾平面向量基本定理，如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2.若 e1，e2不共线，我们把e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共 面的向量 a，b，c 表示呢？ 一、空间向量基本定理 问题 1如图，设 i，j，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 O，对于
2、任意一个空间向量 pOP ，p 能否用 i，j，k 表示呢？ 提示如图，设OQ 为OP 在 i，j 所确定的平面上的投影向量，则OP OQ QP . 又向量QP ，k 共线，因此存在唯一的实数 z，使得QP zk，从而OP OQ zk. 在 i，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OQ xiyj. 从而OP OQ zkxiyjzk. 问题 2你能证明唯一性吗？ 提示假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x，y，z)，使得 pxiyjzk， 则 xiyjzkxiyjzk. 不妨设 xx，则(xx)i(yy)j(zz)k. 两边同除以(xx)，得 iy
3、y xxj zz xxk. 由平面向量基本定理可知，i，j，k 共面，这与已知矛盾所以有序实数组(x，y，z)是唯一的 知识梳理 1空间向量的基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在 唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 pxaybzc. 2基底：我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底基底选定后，空间的所有向量均可 由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同 (2)一个基底是一个向量组， 一个基向量是指基底中的某一个向量， 二者是相关联的不同概念 (3)由于零
4、向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向 量不共面，就说明它们都不是零向量 例 1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA ， OB ，OC 能否作为空间的一个基底 解假设OA ， OB ，OC 共面 则存在实数，使得OA OB OC ， e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3) (3)e1()e2(2)e3， e1，e2，e3不共面， 31， 2， 21 此方程组无解， OA ， OB ，OC 不共面， OA ， OB ，OC 可以作为空间的一个基底 反思感悟基底的判断思路
5、(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就 可以作为一个基底 (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶 点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断 跟踪训练 1(多选)设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，则下列 向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有() Aa，b，xBx，y，z Cb，c，zDx，y，abc 答案BCD 解析如图所示，令 aAB ，bAA 1 ，cAD ， 则 xAB1 ，yAD1 ，zAC ， abcAC1 ，由于 A，B1，C，D1四点
6、不共面，可知向量 x，y，z 也不共面，同理 b，c，z 和 x，y，abc 也不共面 二、空间向量的正交分解 知识梳理 1单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个 基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示 2正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi， yj，zk，使 axiyjzk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间 向量正交分解 三、用基底表示空间向量 例 2如图，M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的三等分点用 向量OA ， OB ，OC 表
7、示OP 和OQ . 解OP OM MP 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3(ON OM )1 2OA 2 3 1 2OB OC 1 2OA 1 6OA 2 3 1 2(OB OC ) 1 6OA 1 3OB 1 3OC . OQ 1 2OM 1 2OP 1 4OA 1 12OA 1 6OB 1 6OC 1 3OA 1 6OB 1 6OC . 反思感悟用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量 的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量， 再就是看基向量的模及其夹角是否已知或
8、易求 跟踪训练 2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AB a，AD b，AA1 c，E，F 分别是 AD1，BD 的中点 (1)用向量 a，b，c 表示D1B ， EF； (2)若D1F xaybzc，求实数 x，y，z 的值 解(1)如图，连接 AC，EF，D1F，BD1， D1B D 1D DB AA1 AB AD abc， EF EAAF1 2 D1A 1 2AC 1 2(AA 1 AD )1 2(AB AD )1 2AB 1 2AA 1 1 2(ac) 1 2a 1 2c. (2)D1F 1 2(D 1D D 1B ) 1 2(AA 1 D1B ) 1 2(cabc) 1 2
9、a 1 2bc， 又D1F xaybzc， x1 2，y 1 2，z1. 1知识清单： (1)空间的基底 (2)空间向量基本定理 2方法归纳：转化化归 3常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件 (2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心 1设 p：a，b，c 是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则 p 是 q 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案B 解析当非零向量 a，b，c 不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底，当a，b，c 为基底时，一定有 a，b，c 为非零向量因此 pq，qp. 2 已知 O， A，
10、B， C 为空间不共面的四点， 且向量 aOA OB OC ， 向量 bOA OB OC ， 则与 a，b 不能构成空间基底的是() A.OA B.OB C.OC D.OA 或OB 答案C 解析OC 1 2(ab)， OC 与 a，b 共面， a，b，OC 不能构成空间基底 3.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，点 O 为空间内任意一点，设OA a，OB b， OC c，则向量OD 可用 a，b，c 表示为() Aab2c Bab2c C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc 答案D 解析OD OC CD OC 1 2BA OC 1 2(OA OB )1 2a 1 2b
11、c. 4正方体 ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是 AC，AB，AD的中点，以AO1 ， AO2 ，AO3 为基底，AC xAO1 yAO2 zAO3 ，则() Axyz1 2 Bxyz1 Cxyz 2 2 Dxyz2 答案B 解析AC AB BC AB BB BC AB AA AD 1 2(AB AD )1 2(AB AA ) 1 2(AA AD )1 2AC 1 2AB 1 2AD AO1 AO2 AO3 ，对比AC xAO1 yAO2 zAO3 ， 得 xyz1. 课时课时对点对点练练 1(多选)若a，b，c是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是() Aa,2b,3
12、cBab，bc，ca Cabc，bc，cDa2b,2b3c,3a9c 答案ABC 解析因为a，b，c是空间的一个基底，所以 a，b，c 不共面，对于 A，B，C 选项，每组 都是不共面的向量，能构成空间的一个基底； 对于 D，a2b,2b3c,3a9c 满足 3a9c3(a2b)(2b3c)， 所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底 2(多选)给出下列命题，其中是真命题的是() A若a，b，c可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d0，则a，b，d也可以作为空间 的一个基底 B已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C已知 A，B，M，N 是空间中的四点
13、，若BA ， BM ，BN 不能构成空间的一个基底，则 A，B， M，N 四点共面 D若 a，b 是两个不共线的向量，而 cab(，R 且0)，则a，b，c构成空间的 一个基底 答案ABC 解析A 中，假设 d 与 a，b 共面，则存在实数，使得 dab，d 与 c 共线，c0， 存在实数 k，使得 dkc，d0，k0，从而 c ka kb，c 与 a，b 共面，与已知条 件矛盾，d 与 a，b 不共面，即 A 是真命题； B 中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然 B 是真命题； C 中，由BA ， BM ，BN 有公共点 B，所以 A，B，M，N 四点
14、共面，即 C 是真命题； D 中，因为 a，b，c 共面，所以a，b，c不能构成基底，故 D 错误 3在正四面体 OABC 中，OA a，OB b，OC c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点， 则用 a，b，c 表示OE 为() A.OE 1 3a 1 3b 1 3c B.OE 1 2a 2 3bc C.OE 1 2a 1 2b 1 2c D.OE 1 2a 1 4b 1 4c 答案D 解析OE OA AE OA 1 2AD OA 1 4(AB AC)OA 1 4(OB OA OC OA )， 所以OE 1 2a 1 4b 1 4c. 4已知a，b，c是空间的一个基底，若 pab，q
15、ab，则() Aa，p，q 是空间的一组基底 Bb，p，q 是空间的一组基底 Cc，p，q 是空间的一组基底 Dp，q 与 a，b，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底 答案C 解析假设 ck1pk2q，即 ck1(ab)k2(ab)，得 c(k1k2)a(k1k2)b，这与a，b， c是空间的一个基底矛盾，故 c，p，q 是空间的一组基底，故选 C. 5.如图所示， 在三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 A1C1的中点， 若AB a， BCb， AA 1 c， 则BM 可表示为() A.1 2a 1 2bc B1 2a 1 2bc C.1 2a 1 2bc D1 2a 1 2bc 答案
16、A 解析取 AC 的中点 N，连接 BN，MN，如图所示， M 为 A1C1的中点，AB a，BC b，AA1 c，NM AA1 c，BN 1 2(BA BC )1 2(AB BC )1 2a 1 2b，BM BN NM 1 2a 1 2bc1 2a 1 2bc. 6在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别在棱 BB1，BC，BA 上，且满足 BE 3 4BB 1 ，BF 1 2BC ，BG 1 2BA ，O 是平面 B 1GF、平面 ACE 与平面 B1BDD1的一个公共点， 设BO xBG yBF zBE，则 xyz 等于( ) A.4 5 B.6 5 C.7
17、5 D.8 5 答案B 解析因为BO xBG yBF zBExBG yBF 3z 4 BB1 ， O 在平面 B1GF 内， 所以 xy3z 4 1， 同理可得x 2 y 2z1， 解得 xy2 5，z 4 5.所以 xyz 6 5. 7.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，用AC ， AB 1 ，AD1 作为基向量，则AC1 _. 答案 1 2(AD 1 AB1 AC ) 解析2AC1 2AA1 2AD 2AB (AA 1 AD )(AA1 AB )(AD AB )AD 1 AB1 AC ， AC1 1 2(AD 1 AB1 AC ) 8点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，且
18、PA平面 ABCD，M，N 分别是 PC，PD 上的点， 且PM 2 3PC ，PNND ，则满足MN xAB yAD z AP 的实数 x，y，z 的值分别为_ 答案2 3， 1 6， 1 6 解析取 PC 的中点 E， 连接 NE， 则MN EN EM 1 2CD (PM PE )1 2CD 2 3PC 1 2PC 1 2CD 1 6PC 1 2AB 1 6(AP ABAD )2 3AB 1 6AD 1 6AP ， 比较知 x2 3，y 1 6，z 1 6. 9.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB a，AD b，AA1 c，E 为 A1D1的中点，F 为 BC1与 B1C
19、 的交点 (1)用基底a，b，c表示向量DB1 ， BE ， AF； (2)化简DD1 DB CD ，并在图中标出化简结果 解(1)DB1 DC CB1 DC BB1 BC abc. BE BAAA 1 A1E a1 2bc. AF ABBFa1 2(bc)a 1 2b 1 2c. (2)DD1 DB CD DD1 (CD DB )DD1 CB DD 1 D1A1 DA 1 . 如图，连接 DA1，则DA1 即为所求 10如图所示，在空间四边形 OABC 中，G，H 分别是ABC，OBC 的重心，设OA a，OB b，OC c，用向量 a，b，c 表示向量GH . 解因为OG OA AG OA
20、 2 3AD OA 2 3(OD OA )1 3OA 2 3OD 1 3OA 2 3 1 2(OB OC )1 3(abc)， 又OH 2 3OD 2 3 1 2(OB OC )1 3(bc)， 所以GH OH OG 1 3(bc) 1 3(abc) 1 3a. 11.如图，点 M 为 OA 的中点，OA ， OC ，OD 为空间的一个基底，DM xOA yOC zOD ， 则有序实数组(x，y，z)_. 答案 1 2，0，1 解析DM OM OD 1 2OA OD ，所以有序实数组(x，y，z) 1 2，0，1. 12若 ae1e2，be2e3，ce1e3，de12e23e3，若 e1，e2
21、，e3不共面，当 da bc 时，_. 答案3 解析由已知得，d()e1()e2()e3. 又 de12e23e3， 所以 1， 2， 3， 故有3. 13.如图，已知空间四边形 OABC，M，N 分别是边 OA，BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG 2GN，设OA a，OB b，OC c，则向量OG _.(用 a，b，c 表示) 答案 1 6a 1 3b 1 3c 解析OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3(MA AB BN) 1 2OA 2 3 1 2OA OB OA 1 2BC 1 2OA 2 3 OB 1 2OA 1 2OC OB 1 6OA 1 3OB
22、1 3OC 1 6a 1 3b 1 3c. 14如图所示，在正方体 OABCO1A1B1C1中，点 G 为ACO1的重心，若OA a，OC b， OO1 c，OG xaybzc，则 xyz_. 答案1 解析易知ACO1为正三角形，连接 OB，设 AC，BO 相交于点 M，连接 O1M，如图所示， 显然点 G 在线段 O1M 上，且满足O1G 2GM ，有OG OO1 2(OM OG )，得OG 2 3OM 1 3OO 1 ，即OG 2 3 1 2(OA OC )1 3OO 1 1 3OA 1 3OC 1 3OO 1 1 3a 1 3b 1 3c，可得 xyz1. 15已知四面体 OABC，G1
23、是ABC 的重心，G 是 OG1上一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC ，则(x，y，z)为() A. 1 4， 1 4， 1 4B. 3 4， 3 4， 3 4 C. 1 3， 1 3， 1 3D. 2 3， 2 3， 2 3 答案A 解析如图所示，连接 AG1并延长，交 BC 于点 E，则点 E 为 BC 的中点，AE 1 2(AB AC ) 1 2(OB 2OA OC )，AG1 2 3AE 1 3(OB 2OA OC )， OG 3GG1 ， OG 3 4OG 1 3 4(OA AG1 ) 3 4 OA 1 3OB 2 3OA 1 3OC 1 4OA 1 4OB 1
24、4OC . x1 4，y 1 4，z 1 4. 16.如图，在三棱锥 PABC 中，点 G 为ABC 的重心，点 M 在 PG 上，且 PM3MG，过 点 M 任意作一个平面分别交线段 PA，PB，PC 于点 D，E，F，若PD mPA ，PEnPB，PF tPC ，求证：1 m 1 n 1 t 为定值，并求出该定值 解连接 AG 并延长交 BC 于点 H，连接 DM(图略) 由题意，可令PA ， PB，PC为空间的一个基底， PM 3 4PG 3 4(PA AG )3 4PA 3 4 2 3AH 3 4PA 1 2 AB AC 2 3 4PA 1 4(PB PA)1 4(PC PA)1 4PA 1 4PB 1 4PC . 点 D，E，F，M 共面， 存在实数，使得DM DE DF ， 即PM PD (PE PD )(PF PD )， PM (1)PD PE PF(1)mPAnPBtPC ， 由空间向量基本定理，知1 4(1)m， 1 4n， 1 4t， 1 m 1 n 1 t 4(1)444，为定值
