1、第第 2 课时课时空间中直线、平面的平行空间中直线、平面的平行 学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向 量方法判断或证明直线、平面间的平行关系 导语 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行旗杆 所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 一、直线和直线平行 问题 1由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示平行 知识梳理 设 u1，u2分别是直线 l1，l2的方向向量，则 l1l2u1u2R，使得 u1u2. 注意点： (1)此处不考虑线线重合的情况 (2)证明线线平行的两
2、种思路： 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充 要条件证明 建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示 例 1在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，点 M 在棱 BB1上，且 BM 2MB1，点 S 在 DD1上，且 SD12SD，点 N，R 分别为 A1D1，BC 的中点求证：MNRS. 证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得 M 3，0，4 3 ，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S 0，4，2 3 . 则MN ，RS 分别为 MN，RS 的方向向量， 所以MN 3，2，2 3 ，RS 3，2
3、，2 3 ， 所以MN RS ，所以MN RS ，因为 MRS， 所以 MNRS. 方法二设AB a，AD b，AA1 c， 则MN MB1 B1A1 A 1N 1 3ca 1 2b， RS RCCD DS 1 2ba 1 3c. 所以MN RS ， 所以MN RS . 又 RMN， 所以 MNRS. 反思感悟利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可 跟踪训练 1如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 DD1和 BB1的中点求 证：四边形 AEC1F 是平行四边形 证明以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，
4、y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系，则AE ， FC 1 ， EC1 ，AF 分别为直线 AE，FC 1，EC1，AF 的方向向量，不妨设正方体的 棱长为 1，则 A(1,0,0)，E 0，0，1 2 ，C1(0,1,1)，F 1，1，1 2 ， AE 1，0，1 2 ， FC1 1，0，1 2 ， EC1 0，1，1 2 ， AF 0，1，1 2 ， AE FC 1 ，EC1 AF ， AE FC 1 ，EC1 AF ， 又FAE，FEC1， AEFC1，EC1AF， 四边形 AEC1F 是平行四边形 二、直线和平面平行 问题 2观察下图，直线 l 与平面平行，u 是直线 l 的方向向量，n
5、 是平面的法向量，u 与 n 有什么关系？ 提示垂直 知识梳理 设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面的法向量，l，则 lunun0. 注意点： (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直 (2)特别强调直线在平面外 例 2在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD DC，E 是 PC 的中点证明：PA平面 EDB. 证明如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设 PDDCa. 连接 AC，交 BD 于点 G，连接 EG， 依题意得 D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E 0，a 2， a 2 ，B(
6、a，a,0) 方法一设平面 BDE 的法向量为 n(x，y，z)， 又DE 0，a 2， a 2 ， EB a，a 2， a 2 ， 则有 nDE 0， nEB 0， 即 a 2yz0， a xy 2 z 2 0， 即 yz0， 2xyz0. 令 z1，则 x1， y1， 所以 n(1，1,1)， 又PA (a,0，a)， 所以 nPA (1，1,1)(a,0，a)aa0. 所以 nPA . 又 PA平面 EDB，所以 PA平面 EDB. 方法二因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 G 是此正方形的中心， 故点 G 的坐标为 a 2， a 2，0，所以EG a 2，0， a 2 . 又PA
7、(a,0，a)， 所以PA 2EG ，这表明 PAEG. 而 EG平面 EDB，且 PA平面 EDB， 所以 PA平面 EDB. 方法三假设存在实数，使得PA DE EB ， 即(a,0，a) 0，a 2， a 2 a，a 2， a 2 ， 则有 aa， 0a 2 a 2， aa 2 a 2， 解得 1， 1. 所以PA DE EB ，又 PA平面 EDB， 所以 PA平面 EDB. 延伸探究如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ABC BAD90， PAABBC1 2AD1.问： 在棱 PD 上是否存在一点 E， 使得 CE平面 PAB？ 若存在，求
8、出 E 点的位置，若不存在，请说明理由 解分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图 则 P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0) 假设在棱 PD 上存在符合题意的点 E， 设 E(0，y，z)，则PE (0，y，z1)，PD (0,2，1) PE PD ， y2(z1)0. AD (0,2,0)是平面 PAB 的法向量， CE (1，y1，z)， 由 CE平面 PAB，可得CE AD . (1，y1，z)(0,2,0)2(y1)0. y1，代入式得 z1 2. E 是 PD 的中点，即存在点 E 为 PD 的中点时，CE平面 PAB. 反思感悟利
9、用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表 示 (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得 证 (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 跟踪训练 2在如图所示的多面体中，EF平面 AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC 2AD4，EF3，AEBE2，G 是 BC 的中点，求证：AB平面 DEG. 证明EF平面 AEB，AE平面 AEB，BE平面 AEB， EFAE，EFBE. 又AEEB， EB，EF，EA 两两垂直 以点 E
10、 为坐标原点，EB，EF，EA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系 由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)， ED (0,2,2)，EG (2,2,0)，AB (2,0，2) 设平面 DEG 的法向量为 n(x，y，z)， 则 ED n0， EG n0， 即 2y2z0， 2x2y0， 令 y1，得 z1，x1，则 n(1,1，1)， AB n2020，即ABn. AB平面 DEG， AB平面 DEG. 三、平面和平面平行 问题 3观察下图，平面，平行，n1，n2分别是平面，的法向量，n1与 n2具有什么关系？ 提示平
11、行 知识梳理 设 n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得 n1n2. 例 3已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1的中点， 求证：平面 ADE平面 B1C1F. 证明建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以FC1 (0,2,1)，DA (2,0,0)，AE (0,2,1)，C 1B1 (2,0,0)， 设 n1(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1DA ，n1AE ， 即 n1DA 2x10， n1AE 2y
12、1z10， 得 x10， z12y1. 令 z12，则 y11， 所以可取 n1(0，1,2) 同理，设 n2(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量 由 n2FC1 ，n2C1B1 ， 得 n2FC1 2y2z20， n2C1B1 2x 20， 解得 x20， z22y2. 令 z22，得 y21， 所以 n2(0，1,2) 因为 n1n2，即 n1n2， 所以平面 ADE平面 B1C1F. 反思感悟证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行 (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明 跟踪训练 3如图，在直四棱柱 ABCDA1
13、B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD， AB4，BCCD2，AA12，F 是棱 AB 的中点 求证：平面 AA1D1D平面 FCC1. 证明因为 AB4，BCCD2，F 是棱 AB 的中点， 所以 BFBCCF， 所以BCF 为正三角形 因为 ABCD 为等腰梯形，AB4，BCCD2，所以BADABC60. 取 AF 的中点 M，连接 DM， 则 DMAB，所以 DMCD. 以 D 为原点，DM，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A( 3，1,0)，F( 3，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2
14、)， 所以DD1 (0,0,2)，DA ( 3，1,0)，CF ( 3，1,0)，CC 1 (0,0,2)， 所以DD1 CC1 ，DA CF ， 又 DD1DAD，CC1CFC，DD1，DA平面 AA1D1D，CC1，CF平面 FCC1， 所以平面 AA1D1D平面 FCC1. 1知识清单： (1)线线平行的向量表示 (2)线面平行的向量表示 (3)面面平行的向量表示 2方法归纳：坐标法、转化化归 3常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内 1已知向量 a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线 l1，l2的方向向量，若 l1l2，则() Ax6，y15Bx3，
15、y15 2 Cx3，y15Dx6，y15 2 答案D 解析由题意得，3 2 x 4 y 5，x6，y 15 2 . 2(多选)若直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，能使 l的是() Aa(1,0,0)，n(0，2,0) Ba(1,3,5)，n(1,0,1) Ca(0,2,1)，n(1,0，1) Da(1，1,3)，n(0,3,1) 答案AD 解析若 l，则 an0.而 A 中 an0，B 中 an156，C 中 an1，D 中 an 330. 3设平面，的一个法向量分别为 u(1,2，2)，v(3，6,6)，则，的位置关系为 _ 答案平行 解析v3(1,2，2)3u， . 4已知直
16、线 l平面 ABC，且 l 的一个方向向量为 a(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， 则实数 m 的值是_ 答案3 解析l平面 ABC， 存在实数 x，y，使 axAB yAC，AB(1,0，1)，AC (0,1，1)， (2，m,1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)， 2x， my， 1xy， m3. 课时课时对点对点练练 1与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是() A. 1 3，1，1B(1，3,2) C. 1 2， 3 2，1D( 2，3，2 2) 答案C 解析a(1，3,2)2 1 2， 3 2，1. 2若平面，的一个法向量分
17、别为 m 1 6， 1 3，1，n 1 2，1，3，则() AB C与相交但不垂直D或与重合 答案D 解析因为 n3m，所以 mn， 所以或与重合 3已知直线 l 的方向向量是 a(3,2,1)，平面的法向量是 u(1,2，1)，则 l 与的位置 关系是() AlBl Cl 与相交但不垂直Dl或 l 答案D 解析因为 au3410， 所以 au. 所以 l或 l. 4(多选)若直线 l 的一个方向向量为 d(6,2,3)，平面的一个法向量为 n(1,3,0)，则直线 l 与平面的位置关系是() A垂直B平行 C直线 l 在平面内D不能确定 答案BC 解析dn62300， dn， 直线 l 与平
18、面的位置关系是直线 l 在平面内或平行 5已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是() A10 3 B6C6D.10 3 答案B 解析， 的法向量与的法向量也互相平行 2 4 3 1 2，6. 6.如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为 A1B， AC 的中点， 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是() A相交B平行 C垂直D不能确定 答案B 解析根据题意建系如图， 设正方体的棱长为 2， 则 A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， M(2,1,1)，N(1,1,2)， MN (1,0,1)
19、又平面 BB1C1C 的一个法向量为 n(0,1,0)， MN n1001100， MN n， 又MN平面 BB1C1C， MN平面 BB1C1C. 7已知平面内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量为 n(1，1， 1)，且与不重合，则与的位置关系是_ 答案 解析AB (0,1，1)，AC(1,0，1)， nAB (1，1，1)(0,1，1) 10(1)1(1)(1)0， nAC (1，1，1)(1,0，1) 110(1)(1)0， nAB ，nAC. n 也为的一个法向量， 又与不重合， . 8若 a x，2y1，1 4 是平面的一个法向量，且 b(
20、1,2,1)，c 3，1 2，2均与平面 平行，则向量 a_. 答案 9 52， 1 26， 1 4 解析由题意，知 ab0， ac0， 即 x4y9 40， 3xy0， 解得 x 9 52， y27 52， 所以 a 9 52， 1 26， 1 4 . 9.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F 分别为 A1C1和 BC 的 中点求证：C1F平面 ABE. 证明如图，以 B 为坐标原点，分别以 BC，BA，BB1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系 设 BCa，ABb，BB1c， 则 B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0
21、，c)，F a 2，0，0，E a 2， b 2，c. 所以AB (0，b,0)， AE a 2， b 2，c. 设平面 ABE 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB 0， nAE 0， 即 by0， a 2x b 2ycz0， 令 x2，则 y0，za c，即 n 2，0，a c . 又C1F a 2，0，c， 所以 nC1F 0， 又 C1F平面 ABE，所以 C1F平面 ABE. 10.如图所示，四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PAAD，M，N，Q 分别是 PC，AB， CD 的中点 (1)求证：MN平面 PAD； (2)求证：平面 QMN平面 PAD. 证明(1
22、)如图所示，以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直 角坐标系， 设 B(b,0,0)，D(0，d,0)P(0,0，d)则 C(b，d,0)，因为 M，N，Q 分别是 PC，AB，CD 的中 点，所以 M b 2， d 2， d 2 ，N b 2，0，0，Q b 2，d，0， 所以MN 0，d 2， d 2 .因为平面 PAD 的一个法向量为 m(1,0,0)，所以MN m0，即 MN m.又因为 MN 不在平面 PAD 内，所以 MN平面 PAD. (2)QN (0，d,0)，所以QN m0，所以QN m，又 QN 不在平面 PAD 内，所以 QN平
23、面 PAD.又因为 MNQNN，MN，QN平面 MNQ，所以平面 MNQ平面 PAD. 11.如图，在正方体 AC1中，PQ 与直线 A1D 和 AC 都垂直，则直线 PQ 与 BD1的关系是() A异面直线 B平行直线 C垂直不相交 D垂直且相交 答案B 解析设正方体的棱长为 1，取 D 点为坐标原点建系后，DA1 (1,0,1)，AC (1,1,0)， 设PQ (a，b，c)， 则 ac0， ab0， 取PQ (1,1，1)， BD1 (0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)PQ ， PQ BD1 ， PQBD1. 12.如图所示，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，A
24、B 2，AF1，M 在 EF 上， 且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标为() A(1,1,1)B. 2 3 ， 2 3 ，1 C. 2 2 ， 2 2 ，1 D. 2 4 ， 2 4 ，1 答案C 解析方法一由题意得 C(0,0,0)，D( 2，0,0)，B(0，2，0)，E(0,0,1)，A( 2，2，0)， DE ( 2，0,1)，BD ( 2， 2，0)， 设 M(a，a,1)，平面 BDE 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nDE 0， nBD 0， 即 2xz0， 2x 2y0， 令 z 2，则 x1，y1，所以 n(1,1， 2)， 又AM (a 2，a 2，1)， AM n
25、a 2a 2 20， a 2 2 ，即 M 2 2 ， 2 2 ，1 . 方法二如图， 设 AC 与 BD 相交于 O 点， 连接 OE， 由 AM平面 BDE， 且 AM平面 ACEF， 平面 ACEF平面 BDEOE， 所以 AMEO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， 所以 M 为线段 EF 的中点 在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F( 2，2，1) 由中点坐标公式，知点 M 的坐标为 2 2 ， 2 2 ，1 . 13已知两个不重合的平面与平面 ABC，若平面的法向量为 n1(2，3,1)，AB (1,0， 2)，AC (1,1,1)，则( ) A平面平面 ABC B平面
26、平面 ABC C平面、平面 ABC 相交但不垂直 D以上均有可能 答案A 解析由题意，n1AB 21(3)01(2)0， 得 n1AB ，n 1AC 21(3)1110， 得 n1AC ，所以 n 1平面 ABC， 所以平面平面 ABC. 14.(多选)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的 中点，平行六面体的各棱长均相等下列结论中正确的是() AA1MD1P B.A1MB1Q CA1M平面 DCC1D1 DA1M平面 D1PQB1 答案ACD 解析因为A1M A 1A AM A1A 1 2AB ， D1P D 1D DP A1A 1 2
27、AB ， 所以A1M D 1P ，从而 A 1MD1P，可得 ACD 正确 又 B1Q 与 D1P 不平行，故 B 不正确 15在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，P，Q 是正方体表面上相异 两点，满足 BPA1E，BQA1E. (1)若 P，Q 均在平面 A1B1C1D1内，则 PQ 与 BD 的位置关系是_；(2)|A1P |的最小值为 _ 答案(1)平行(2)3 2 4 解析(1)以 D 为原点，以 DA，DC，DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系，如图所示， A1(1,0,1)，E 0，1，1 2 ，B(1,1,0)，若
28、P，Q 均在平面 A1B1C1D1内，所以设 P(a，b,1)，Q(m， n,1)，A1E 1，1，1 2 ， BP (a1，b1,1)，BQ (m1，n1,1) 因为 BPA1E，BQA1E， 所以 BP A 1E a1b11 20， BQ A1E m1n11 20， 解得 ba1 2， nm1 2， PQ (ma，nb,0)(nb，nb,0)， BD (1，1,0)， 所以 PQ 与 BD 的位置关系是平行 (2)由(1)可知 ba1 2，|A 1P | a12b2 a12 a1 2 2 2a2a5 4 2 a1 4 29 8， 当 a1 4时，|A 1P |有最小值，最小值为3 2 4
29、. 16如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点， 设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO? 解如图所示，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，在 CC1 上任取一点 Q，连接 BQ，D1Q.设正方体的棱长为 1， 则 O 1 2， 1 2，0，P 0，0，1 2 ， A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 则 Q(0,1，m) 方法一因为OP 1 2， 1 2， 1 2 ， BD1 (1，1,1)， 所以OP BD1 ， 于是 OPBD1.
30、 AP 1，0，1 2 ，BQ (1,0，m)， 当 m1 2时，AP BQ ， 即 APBQ，有平面 PAO平面 D1BQ， 故当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO. 方法二OA 1 2， 1 2，0，OP 1 2， 1 2， 1 2 . 设平面 PAO 的法向量 n1(x1，y1，z1)，则有 n1OA ，n1OP ， 因此 1 2x 11 2y 10， 1 2x 11 2y 11 2z 10， 取 x11，则 n1(1,1,2) 又因为BD1 (1，1,1)，QD1 (0，1,1m) 设平面 D1BQ 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 则有 n2BD1 ，n2QD1 ， 因此 x2y2z20， y21mz20， 取 z21，则 n2(m,1m,1) 要使平面 D1BQ平面 PAO，需满足 n1n2， 因此1 m 1 1m 2 1，解得 m 1 2，这时 Q 0，1，1 2 . 故当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.
