1、习题课习题课轨迹问题轨迹问题 学习目标1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.2.能熟练地 运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程 导语 生活中我们处处可见轨迹的影子 例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹 一、定义法求轨迹方程 问题 1回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？ 提示圆上的点满足到圆心的距离等于半径 椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数 例 1一动圆过定点 A(2,0)，且与定圆 x24xy2320 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程 解将定圆的方程化为标准形式为(x2)2y262，这时，已知圆的圆心坐
2、标为 B(2,0)，半 径为 6，如图， 设动圆圆心 M 的坐标为(x，y)， 由于动圆与已知圆相内切，设切点为 C. 已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离， 即|BC|MC|BM|，而|BC|6， |BM|CM|6， 又|CM|AM|，|BM|AM|6， 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(2,0)和点 A(2,0)为焦点， 线段 AB 的中点 O(0,0)为中心 的椭圆 a3，c2，b a2c2 5， 所求圆心的轨迹方程为x 2 9 y 2 5 1. 反思感悟观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定 义直接得到动点轨迹的方程注意要检验是
3、否有要删除的点 跟踪训练 1已知ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为(4，0)，(4,0)，C 为动点，且满足 sin Bsin A5 4sin C，求点 C 的轨迹 解由 sin Bsin A5 4sin C， 可知 ba5 4c10(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)， 即|AC|BC|10，满足椭圆的定义 令椭圆方程为 x2 a2 y2 b21， 则 a5，c4b3， 则轨迹方程为x 2 25 y2 9 1(x5)，图形为椭圆(不含左、右顶点) 二、相关点代入法求轨迹方程 例 2点 B 是椭圆x 2 a2 y2 b21 上的动点，A(2a,0)为定点，求线段 AB 的中点 M 的
4、轨迹方程 解设动点 M 的坐标为(x，y)，B 点坐标为(x0，y0)，则由 M 为线段 AB 的中点，可得 x02a 2 x， y00 2 y x02x2a， y02y， 即点 B 的坐标可表示为(2x2a,2y) 又点 B(x0，y0)在椭圆x 2 a2 y2 b21 上， x 2 0 a2 y20 b21，从而有 2x2a2 a2 2y 2 b2 1. 整理得动点 M 的轨迹方程为4xa 2 a2 4y 2 b2 1. 反思感悟相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0) (2)找出(x，y)与(x0，y0)之
5、间的等量关系，用 x，y 表示 x0，y0. (3)将 x0，y0代入其所在的曲线方程 (4)化简方程得所求方程 跟踪训练 2已知 P(4，4)，Q 是椭圆 x22y216 上的动点，M 是线段 PQ 上的点，且 满足PM 1 3MQ ，则动点 M 的轨迹方程是() A(x3)22(y3)21B(x3)22(y3)21 C(x1)22(y1)29D(x1)22(y1)29 答案B 解析设动点 M(x，y)，Q(m，n)， PM 1 3MQ ， x41 3mx， y41 3ny， 化简得 m4x3， n4y3. 又 Q(m，n)在椭圆 x22y216 上， 故 16(x3)232(y3)216，
6、 即(x3)22(y3)21. 三、直接法求轨迹方程 问题 2直接法求轨迹方程的步骤有哪些？ 提示建系、设点列式、化简检验 例 3已知在平面直角坐标系中， 动点 M 到定点( 3， 0)的距离与它到定直线 l： x4 3 3 的 距离之比为常数 3 2 . (1)求动点 M 的轨迹的方程； (2)设点 A 1，1 2 ，若 P 是(1)中轨迹上的动点，求线段 PA 的中点 B 的轨迹方程 解(1)设动点 M(x，y)， 由已知可得 x 32y2 3 2 |x4 3 3 |， 即 x22 3x3y23 4 x28 3 3 x16 3 ， 化简得x 2 4 y21， 即所求动点 M 的轨迹的方程为
7、x 2 4 y21. (2)设点 B(x，y)，点 P(x0，y0)， 由 xx01 2 ， y y01 2 2 ， 得 x02x1， y02y1 2， 由点 P 在轨迹上，得2x1 2 4 2y1 2 21， 整理得 x1 2 24 y1 4 21， 线段 PA 的中点 B 的轨迹方程是 x1 2 24 y1 4 21. 反思感悟求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)， 轨迹方程就是 x，y 之间的等式，关键是找到等量关系，然后用 x，y 表示 跟踪训练 3已知平面上两定点 M(0，2)，N(0,2)，P 为一动点，满足MP MN |PN |MN |. 求
8、动点 P 的轨迹 C 的方程 解设 P(x，y) 由已知MP (x，y2)，MN (0,4)，PN (x,2y)， 得MP MN 4y8，|PN |MN |4 x2y22， MP MN |PN |MN |， 4y84 x2y22，整理得 x28y. 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x28y. 1知识清单： (1)定义法求轨迹方程 (2)相关点代入法求轨迹方程 (3)直接法求轨迹方程 2方法归纳：数形结合 3常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点 1在ABC 中，B(2,0)，C(2,0)，|AB|AC|6，则顶点 A 的轨迹方程是() A.x 2 9 y 2 5
9、1(x3)B.x 2 9 y 2 5 1(x2) C.x 2 9 y 2 4 1(x3)D.x 2 9 y 2 4 1(x2) 答案A 解析在ABC 中，B(2,0)，C(2,0)，|AB|AC|6|BC|4， 则顶点 A 的轨迹满足椭圆的定义，a3，c2，b 5， 所以顶点 A 的轨迹方程是x 2 9 y 2 5 1(x3) 2在圆 x2y24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，DM 3 2 DP .当点 P 在圆上运动时，点 M 的轨迹方程是_ 答案 x2 4 y 2 3 1 解析设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， 则点 D 的坐标
10、为(x0，0)， DM 3 2 DP ， xx0， y 3 2 y0， x0 x， y0 2 3y， 点 P 在 x2y24 上， x20y204， x2 2 3y 24， 点 M 的轨迹方程是x 2 4 y 2 3 1. 3到 A(2，3)和 B(4，1)的距离相等的点的轨迹方程是_ 答案xy10 解析由点 P 满足|PA|PB|，可知点 P 的轨迹为点 A(2，3)和 B(4，1)的垂直平分线 由中点坐标公式得 AB 的中点为(3，2)，kAB13 42 1， 其垂直平分线的斜率为1. 点 P 的轨迹方程是 y2(x3)， 即 xy10. 4已知点 A(1,0)，B(1,0)曲线 C 上任
11、意一点 P 满足 PA 2PB24(|PA|PB|)0.则曲线 C 的轨迹是_ 答案椭圆 解析由 PA 2PB24(|PA|PB|)0， 得|PA |PB|4，且 4|AB|. 故曲线 C 的轨迹是椭圆 课时课时对点对点练练 1平面内一点 M 到两定点 F1(0，3)，F2(0,3)的距离之和为 10，则 M 的轨迹方程是() A.x 2 25 y2 161 B.y 2 25 x2 161 C.y 2 25 x2 161 D.x 2 25 y2 161 答案B 解析平面内一点 M 到两定点 F1(0，3)，F2(0,3)的距离之和为 106， 所以 M 的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且 a5，
12、c3，则 b4， 椭圆的焦点在 y 轴上，所以椭圆的方程为y 2 25 x2 161. 2已知ABC 的周长为 12，B(0，2)，C(0,2)，则顶点 A 的轨迹方程为() A.x 2 12 y2 161(x0) B.x 2 12 y2 161(y0) C.x 2 16 y2 121(x0) D.x 2 16 y2 121(y0) 答案A 解析ABC 的周长为 12，顶点 B(0，2)，C(0,2)， |BC|4，|AB|AC|1248， 点 A 到两个定点的距离之和等于定值， 又 84， 点 A 的轨迹是椭圆，且 a4，c2， b212， 椭圆的方程为x 2 12 y2 161(x0) 3
13、已知点 F1(1,0)，F2(1,0)，动点 A 到 F1的距离是 2 3，线段 AF2的垂直平分线交 AF1于 点 P，则点 P 的轨迹方程是() A.x 2 9 y 2 4 1B.x 2 12 y2 8 1 C.x 2 3 y 2 2 1D.x 2 12 y2 101 答案C 解析依题意有|AP|PF2|，|AF1|AP|PF1|PF1|PF2|2 3|F1F2|2， 点 P 的轨迹是以 F1(1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆 2a2 3，2c2， a 3，b 2， 故所求点 P 的轨迹方程是x 2 3 y 2 2 1. 4已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，M 为椭圆上一动
14、点，F 1为椭圆的左焦点，则线段 MF1的中点 P 的轨迹是() A圆B椭圆 C线段D直线 答案B 解析设椭圆的右焦点为 F2， 由题意，知|PO|1 2|MF 2|，|PF1|1 2|MF 1|， 又|MF1|MF2|2a， 所以|PO|PF1|a|F1O|c， 故由椭圆的定义，可知点 P 的轨迹是椭圆 5设 A1，A2是椭圆x 2 9 y 2 4 1 的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于 A1A2的弦的端点， 则直线 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程为() A.x 2 9 y 2 4 1B.y 2 9 x 2 4 1 C.x 2 9 y 2 4 1D.y 2 9 x 2 4 1 答
15、案C 解析设交点为 P(x，y)，A1(3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，y0)， A1，P1，P 共线， y0 x03 y x3， A2，P2，P 共线， y0 x03 y x3. 得 y20 x209 y2 x29， P1(x0，y0)在椭圆x 2 9 y 2 4 1 上， x 2 0 9 y 2 0 4 1， y204 1x 2 0 9 ， 将 y 2 0代入得 y2 x29 4 1x 2 0 9 x209 4 9， P 的轨迹方程为x 2 9 y 2 4 1. 6动圆 M 与圆 M1：(x1)2y21 外切，与圆 M2：(x1)2y225 内切，则动圆圆心 M
16、的 轨迹方程是() A.x 2 8 y 2 9 1B.x 2 9 y 2 8 1 C.x 2 9 y21Dx2y 2 9 1 答案B 解析设动圆的圆心为 M(x，y)，半径为 R， 动圆与圆 M1：(x1)2y21 外切，与圆 M2：(x1)2y225 内切， |MM1|MM2|1R5R6， |MM1|MM2|M1M2|2， 该动圆圆心 M 的轨迹是以原点为中心，焦点在 x 轴上的椭圆，且 2a6，c1， 解得 a3，根据 a，b，c 的关系求得 b28， 椭圆的方程为x 2 9 y 2 8 1. 7在平面直角坐标系中，已知点 A(2,0)，B(2,0)，P 是平面内一动点，直线 PA，PB
17、的斜率 之积为3 4.则动点 P 的轨迹 C 的方程为_ 答案 x2 4 y 2 3 1(x2) 解析设点 P 的坐标为(x，y)(x2)， 依题意，有 y x2 y x2 3 4， 化简并整理，得x 2 4 y 2 3 1(x2) 动点 P 的轨迹 C 的方程是x 2 4 y 2 3 1(x2) 8若动点 P(x，y)到点(1,0)的距离与到定直线 x3 的距离之比是 3 3 ，则动点 P 的轨迹方程 是_ 答案 x2 3 y 2 2 1 解析设点 P 的坐标为(x，y)， 则由题意得 |x3| x12y2 3， 整理得 2x23y26，即x 2 3 y 2 2 1， 所以动点 P 的轨迹方
18、程是x 2 3 y 2 2 1. 9.如图所示，RtABC 的顶点坐标 A(2,0)，直角顶点 B(0，2 2)，顶点 C 在 x 轴上，点 P 为线段 OA 的中点 (1)求边 BC 所在直线的方程； (2)M 为 RtABC 外接圆的圆心，求圆 M 的方程； (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切，求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程 解(1)kAB 2，ABBC， kCB 2 2 . 边 BC 所在直线的方程为 y 2 2 x2 2，即 x 2y40. (2)边 BC 所在直线的方程为 x 2y40， 令 y0，得 C(4,0) 圆心 M(1,0) 又|AM|3， 圆 M 的方程为(
19、x1)2y29. (3)P(1,0)，M(1,0)，且圆 N 过点 P(1,0)， PN 是该圆的半径 又动圆 N 与圆 M 内切， |MN|3|PN|， 即|MN|PN|32. 点 N 的轨迹是以 M，P 为焦点，长轴长为 3 的椭圆 a3 2，c1，b a 2c2 5 4 5 2 . 圆心 N 的轨迹方程为 4 9x 24 5y 21. 10已知中心在坐标原点的椭圆，经过点 A(2,3)，且点 F(2，0)为其右焦点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若 P 是(1)中所求椭圆上的动点，求 PF 的中点 Q 的轨迹方程 解(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0
20、)， 若点 F(2,0)为其右焦点， 则其左焦点为 F(2,0)， 从而有 c2， 2a|AF|AF|358， 解得 c2， a4， 又 a2b2c2， b212， 故椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 121. (2)设 P(x0，y0)，Q(x，y)， Q 为 PF 的中点， xx02 2 ， yy0 2 x02x2， y02y， 又 P 是x 2 16 y2 121 上的动点， 2x2 2 16 4y 2 12 1， 即 Q 点的轨迹方程是x1 2 4 y 2 3 1. 11已知在ABC 中，点 A(2,0)，点 B(2,0)，若 tanCABtanCBA2，则点 C 的轨迹方 程为(
21、) A.x 2 4 y 2 8 1B.x 2 4 y 2 8 1(x2) C.x 2 4 y 2 8 1D.x 2 8 y 2 4 1(x2) 答案B 解析设 C(x，y)， 则 kCA y x2，k CB y x2， 由 tanCABtanCBA2， 得 y x2 y x2 2， 即x 2 4 y 2 8 1， 当 x2 时，C 与 A 或 B 重合，不符合题意 所以点 C 的轨迹方程为x 2 4 y 2 8 1(x2) 12设圆(x1)2y225 的圆心为 C，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的 垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为() A.
22、4x 2 21 4y 2 25 1B.4x 2 21 4y 2 25 1 C.4x 2 25 4y 2 21 1D.4x 2 25 4y 2 21 1 答案D 解析圆心 C(1,0)，半径为 5，设点 M(x，y)， AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M， |MA|MQ|， 又|MQ|MC|5|AC|2， 即|MA|MC|AC|， 由椭圆的定义可得点 M 的轨迹是以 A，C 为焦点的椭圆，且 2a5，c1， b 21 2 ， 故椭圆方程为4x 2 25 4y 2 21 1. 13设线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，且|AB|5，OM 3 5OA 2 5OB ，则 点
23、M 的轨迹方程为() A.x 2 9 y 2 4 1B.y 2 9 x 2 4 1 C.x 2 25 y2 9 1D.y 2 25 x2 9 1 答案A 解析设 M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 由OM 3 5OA 2 5OB ， 可得(x，y)3 5(x 0，0)2 5(0，y 0)， 则 x3 5x 0， y2 5y 0， 解得 x05 3x， y05 2y， 因为|AB|5， 所以 5 3x 2 5 2y 225， 即x 2 9 y 2 4 1. 14P 是椭圆x 2 a2 y2 b21 上的任意一点，F 1，F2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点 Q 满足OQ PF
24、1 PF2 ，则动点 Q 的轨迹方程是_ 答案 x2 4a2 y2 4b21 解析设 Q(x，y)， OQ PF1 PF2 ， OP 1 2OQ x 2， y 2 ， P 是椭圆x 2 a2 y2 b21 上的任意一点， x2 4 a2 y2 4 b2 1， x2 4a2 y2 4b21. 15.如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，使得ABP 的面积为定 值，则动点 P 的轨迹是() A圆B一条直线 C椭圆D两条平行直线 答案C 解析因为三角形的面积为定值，以 AB 为底，则底边长一定，从而可得 P 到直线 AB 的距 离为定值，分析可得，点 P 在以 AB 为轴线
25、的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜 交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得 P 的轨迹为椭圆 16设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程 解圆 A 的方程整理可得(x1)2y216，点 A 的坐标为(1,0)，如图所示， 因为|AD|AC|， 所以ACDADC. 因为 EBAC， 所以EBDACD， 故EBDACDADC. 所以|EB|ED|， 故|EA|EB|EA|ED|AD|. 又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4， 所以|EA|EB|4. 由题设得 A(1,0)，B(1,0)|AB|2， 由椭圆定义可得点 E 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，且 2a4，c1， 所以 a24，b23， 所以点 E 的轨迹方程为x 2 4 y 2 3 1(y0)
