1、习题课习题课圆锥曲线的离心率圆锥曲线的离心率 学习目标1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题 一、定义法 例 1直线 y 3x 与椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆恰 好经过椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离心率为() A. 3 2 B. 31 2 C. 31D42 3 答案C 解析以线段 AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也必过椭圆的左焦点，过这两个焦点 及 A，B 两点可作一个矩形，直线 y 3x 的倾斜角为 120，所以矩形的宽是 c，长是3c， 由椭圆定义知矩形的长宽之和等于 2a，即 c 3c2
2、a，所以 ec a 2 31 31. 反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出 a，c 或列出关于 a，c 的等式，得到关于 e 的方 程，进而求出 e. 跟踪训练 1设 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|9 4ab，则该双曲线的离心率为_ 答案 5 3 解析不妨设 P 为双曲线右支上一点， |PF1|r1，|PF2|r2. 根据双曲线的定义，得 r1r22a， 又 r1r23b，故 r13b2a 2 ，r23b2a 2 . 又 r1r29 4ab，所以 3b2a 2 3b2a 2 9 4
3、ab， 解得b a 4 3(负值舍去)， 故 ec a a2b2 a2 b a 21 4 3 215 3. 二、几何法 例 2设 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，若线段 PF1的中点在 y 轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为() A. 3 3 B. 3 6 C.1 3 D.1 6 答案A 解析如图，设 PF1的中点为 M，连接 PF2. 因为 O 为 F1F2的中点， 所以 OM 为PF1F2的中位线 所以 OMPF2， 所以PF2F1MOF190. 因为PF1F230， 所以|PF1|2|PF2|，|F1F2| 3|PF
4、2|. 由椭圆定义得 2a|PF1|PF2|3|PF2|， 即 a3|PF2| 2 ， 2c|F1F2| 3|PF2|， 即 c 3|PF2| 2 ， 则 ec a 3|PF2| 2 2 3|PF2| 3 3 . 反思感悟涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦 定理、三角形面积公式等来求得c a的值 跟踪训练 2设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点若|PF 1| |PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 30，则 C 的离心率为_ 答案3 解析根据双曲线的对称性，不妨设点 P 在第一象限， 则 |PF
5、1|PF2|6a， |PF1|PF2|2a， 解得 |PF1|4a， |PF2|2a. 又|F1F2|2c，|PF2|最小 在PF1F2中，由余弦定理， 得4a 24c24a2 24a2c cos 30，2 3ac3a2c2. 等式两边同除以 a2，得 e22 3e30， 解得 e 3. 三、寻求齐次方程求离心率 例 3(1)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，A，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且 ABBF，则椭圆的离心率为_ 答案 51 2 解析在ABF 中，|AB| a2b2，|BF|a，|AF|ac. 由 ABBF 得|AB|2|BF|2|AF|2， 即 a2b
6、2a2(ac)2，整理得 a2b2c22ac， 将 b2a2c2代入，得 a2acc20， 即 e2e10，解得 e1 5 2 . 因为 0e0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点 为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_ 答案2 解析如图，由题意知|AB|2b 2 a ，|BC|2c. 又 2|AB|3|BC|， 22b 2 a 32c， 即 2b23ac， 2(c2a2)3ac， 两边同除以 a2并整理得 2e23e20， 解得 e2(负值舍去) 反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数 a，b，c 的关系式，结合 a，b
7、， c 之间的关系，化简为参数 a，c 的关系式进行求解 跟踪训练 3已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F 恰好是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点， 且两条曲线的交点的连线过点 F，则该双曲线的离心率为() A. 2B2 C. 21D. 21 答案C 解析如图所示，两条曲线交点的连线过点 F， 两条曲线交点为 p 2，p， 代入双曲线方程得 p2 4 a2 p 2 b21， 又p 2c， c2 a24 c2 b21， 化简得 c46a2c2a40， e46e210，e232 2(1 2)2， e 21. 四、求离心率的取值范围 例 4已知双曲线x 2 a2 y2 b2
8、1(a0，b0)的右顶点到其渐近线的距离不大于 2 5 5 a，则离心率 e 的取值范围为() A 3，)B 5，) C(1， 3D(1， 5 答案D 解析依题意得，点(a,0)到渐近线 bxay0 的距离不大于 2 5 5 a， |ba0| b2a2 2 5 5 a， 解得 e 5. 又 e1，1b0)的两个焦点，P 为椭圆上一点， 且PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是_ 答案 3 3 ， 2 2 解析设 P(x，y)， 则PF1 PF2 (cx，y)(cx，y)x2c2y2c2， 将 y2b2b 2 a2x 2代入上式， 解得 x22c 2b2a2 c2 3c 2a2a2 c
9、2 . 又 x20，a2，2c2a23c2， ec a 3 3 ， 2 2 . 1知识清单： (1)圆锥曲线的离心率的求法 (2)圆锥曲线的离心率的范围问题 2方法归纳：定义法、数形结合 3常见误区：忽略离心率的范围导致出错 1已知双曲线 x2y 2 3 1，则离心率等于() A3B. 6 2 C. 5 2 D2 答案D 解析由双曲线方程可知 c24， 所以 ec a2. 2(多选)已知双曲线 E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 y2x，则双曲线 E 的离心率为() A. 5 2 B. 5C.5 3 3 D.3 5 5 答案AB 解析若双曲线焦点在 x 轴上， 由渐近线方程为 y2
10、x，得b a2， ec a 1 b a 2 5； 若双曲线焦点在 y 轴上，由渐近线方程为 y2x，得a b2， ec a 1 b a 2 5 2 . 3 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50， 弦的中点坐标是 M( 4,1)，则椭圆的离心率是() A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 答案C 解析设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yM b2 a2kx M，代入 k1，M(4,1)，解得b 2 a2 1 4，e 1 b a 2 3 2 . 4已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(
11、ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，焦距为 2c，P 是椭圆 C 上一 点(不在坐标轴上)，Q 是F1PF2的平分线与 x 轴的交点，若|QF2|2|OQ|，则椭圆离心率的 取值范围是_ 答案 1 3，1 解析|QF2|2|OQ|，|QF2|2 3c，|QF 1|4 3c. PQ 是F1PF2的平分线， |QF1| |QF2| |PF1| |PF2|2，则|PF 1|2|PF2|， |PF1|PF2|3|PF2|2a，解得|PF2|2a 3 . 由 ac2a 3 1 3. 又 0e0)的两焦点之间的距离为 10，则双曲线的离心率为() A.3 5 B.4 5 C.5 4 D.5 3 答案
12、C 解析因为双曲线x 2 a2 y2 9 1(a0)的两焦点之间的距离为 10，所以 2c10，c5，所以 a2 c2916，所以 a4.所以离心率 e5 4. 2如果椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，那么双曲线x 2 a2 y2 b21 的离心率为( ) A. 5 2 B.5 4 C. 2D2 答案A 解析由椭圆的离心率为 3 2 ，得a 2b2 a2 3 4， a24b2.在双曲线中，e2a 2b2 a2 5b 2 4b2 5 4. 双曲线的离心率 e 5 2 . 3已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，点 A 是椭圆短轴
13、的一个顶点，且 cosF1AF23 4，则椭圆的离心率 e 等于( ) A.1 2 B. 2 2 C.1 4 D. 2 4 答案D 解析设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 2c(c0)， 则椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点 F 1的坐标为(c,0)，右焦点 F2的坐标为(c,0)， 依题意，不妨设点 A 的坐标为(0，b)，在F1AF2中，由余弦定理得， |F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cosF1AF2， cosF1AF23 4， 4c22a22a23 4 1 2a 2， e2c 2 a2 1 8， 解得 e 2 4 . 4已知椭圆 C
14、：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，点 A 是椭圆 C 的上顶点，直线 l：y2x 与 椭圆 C 交于 M，N 两点若点 A 到直线 l 的距离是 1，且|MF|NF|6，则椭圆 C 的离心率 是() A.1 3 B. 5 3 C.2 5 3 D.2 3 答案D 解析由椭圆方程可得，A(0，b)， 因为点 A 到直线 l：y2x 的距离是 1， 所以 |b| 2211， 解得 b 5； 记椭圆的右焦点为 F1，连接 MF1，NF1， 由椭圆的对称性可得，|MF1|NF|， 再由椭圆的定义可得，2a|MF1|MF|NF|MF|6， 所以 a3，则 c 952， 故离心率为 ec
15、 a 2 3. 5. 已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 2与圆 x2y2b2相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2的中点，则5a 22e2 3b (其中 e 为椭圆 C 的离心率)的 最小值为() A.5 3 3 B.5 2 3 C. 5D.2 5 3 答案B 解析如图，连接 PF1，OQ， 由 OQ 为F1PF2的中位线，可得 OQPF1，|OQ|1 2|PF 1|，由圆 x2y2b2，可得|OQ|b， 即有|PF1|2b，由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a， 可得|PF2|2a2b， 又 OQPF2，可得
16、PF1PF2， 即(2b)2(2a2b)2(2c)2， 即 b2a22abb2c2a2b2， 整理得 2a3b， 即 b2 3a，c a 2b2 5 3 a， 所以 ec a 5 3 ， 则5a 22e2 3b 5a210 9 2a 1 2 5a10 9a 1 22 5a10 9a 5 2 3 . 当且仅当 5a10 9a，即 a 2 3 时，取得最小值5 2 3 . 6(多选)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上存在点 P，使得|PF 1|3|PF2|， 其中 F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为() A.1 4 B.1 2 C3 56
17、D.3 4 答案BCD 解析设椭圆的焦距为 2c(c0)， 由椭圆的定义可得 |PF1|3|PF2|， |PF1|PF2|2a， 解得|PF1|3a 2 ，|PF2|a 2， 由题意可得 a 2ac， 3a 2 ac， 解得 ec a 1 2， 又 0e1，所以1 2e0，b0)的一条渐近线交于点 P，双曲线 C 的左、 右顶点分别为 A1，A2，若|PA2| 5 2 |A1A2|，则双曲线 C 的离心率为_ 答案2或 10 3 解析若渐近线的方程为 yb ax， 则点 P 的坐标为 a2 b ，a . 因为|PA2| 5 2 |A1A2|， 所以 a2 b a 2a25a2， 则 a b1
18、24，所以a b3， 从而 e1b 2 a2 10 3 . 若渐近线的方程为 yb ax， 则点 P 的坐标为 a 2 b ，a ，同理可得 e 2. 8已知 F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF1|PF2| ，线段 PF1的垂直平分线过 F2，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则2 e1 e2 2 的最小值为 _ 答案6 解析设椭圆对应的参数为 a1，b1，c，双曲线对应的参数为 a2，b2，c， 由于线段 PF1的垂直平分线过 F2， 所以有|F1F2|PF2|2c. 根据双曲线和椭圆的定义有 |PF1|2c2a1， |PF1|2c2a2， 两
19、式相减得到 4c2(a1a2)，即 a1a22c， 所以 2 e1 e2 2 2a1 c c 2a24 2a2 c c 2a2 42 2a2 c c 2a26，当且仅当 c2a 2时，等号成立，即最小值为 6. 9已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1(c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在 一点 P，使sinPF1F2 sinPF2F1 a c，求双曲线的离心率的取值范围 解分析知 P 不是双曲线的顶点 在PF1F2中，由正弦定理，得 |PF2| sinPF1F2 |PF1| sinPF2F1. 又sinPF1F2 sinPF2F1 a c， 所以 a
20、 |PF2| c |PF1|，即|PF 1|c a|PF 2|， 所以点 P 在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，知|PF1|PF2|2a， 即c a|PF 2|PF2|2a，得|PF2| 2a2 ca. 由双曲线的几何性质，知|PF2|ca，则 2a2 caca， 即 c22aca20，所以 e22e10， 解得 21e1，所以双曲线离心率的取值范围为(1， 21) 10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、 上顶点，F2为其右焦点，直线 B1F2与 A2B2交于点 P，若B1PA2为钝角，求该椭圆的离心率 的取值范围 解设椭圆的标准方
21、程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 2(c,0) 由题意，得 A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)， 则B2A2 (a，b)，F 2B1 (c，b) 因为B1PA2为向量B2A2 与F 2B1 的夹角，且B 1PA2为钝角， 所以B2A2 F 2B1 0，所以 b2ac0. 又 b2a2c2，所以 a2acc20， 即 1ee20，解得 e1 5 2 ， 因为 e(0,1)，所以1 5 2 eb0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，P 是 C 上一点，且 PF2x 轴，直线 PF1与 C 的另一个交点为 Q，若|PF1|4|F1Q|，则 C 的离心率为() A.2 5 5
22、B. 2 2 C. 15 5 D. 21 7 答案D 解析由题意，可将点 P 的坐标代入椭圆 C 的方程得c 2 a2 |PF2|2 b2 1， 解得|PF2|b 2 a . 如图所示，过 Q 点作 QEx 轴，垂足为点 E， 设 Q(x0，y0)， 根据题意及图可知，RtPF2F1RtQEF1， |PF1| |F1Q|4， |F1F2| |EF1| |PF2| |QE|4， |EF1|F1F2| 4 2c 4 c 2， x0cc 2 3c 2 . 又y0|QE|PF2| 4 b 2 4a. 点 Q 的坐标为 3c 2 ，b 2 4a . 将点 Q 的坐标代入椭圆方程，得9c 2 4a2 b2
23、 16a21. 结合 b2a2c2，解得 ec a 21 7 . 13 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上一点 A 关于原点的对称点为 B 点， F 为其右焦点， 若 AFBF， 设ABF，且 4， 3 ，则该椭圆的离心率的取值范围是() A. 2 2 ， 31 B. 2 2 ，1 C. 2 2 ， 3 2D. 3 3 ， 6 3 答案A 解析椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上一点 A 关于原点的对称点为 B 点，F 为其右焦点，设左焦点 为 F. |AF|AF|2a， 根据对称关系知四边形 AFBF 为矩形， |AB|FF|2c. 由于 AFBF，ABF， |AF|2cs
24、in ，|AF|2ccos ， 2csin 2ccos 2a， ec a 1 sin cos 1 2sin 4 ， 由于 4， 3 ，故 4 2， 7 12 ， 2 6 4 sin 4 1， 2 2 1 2sin 4 b0)的内接ABC 的顶点 B 为短轴的一个端点，右焦点为 F，线 段 AB 的中点为 K，且CF 2FK，则椭圆离心率的取值范围是_ 答案 0， 3 3 解析由题意可设 B(0，b)，F(c,0)，线段 AB 的中点为 K，且CF 2FK， 可得 F 为ABC 的重心，设 A(x1，y1)，C(x2，y2)， 由重心坐标公式可得，x1x203c，y1y2b0， 设 AC 的中点
25、为 M(x，y)，可得 xx1x2 2 3c 2 ，yy1y2 2 b 2， 由题意可得点 M 在椭圆内，可得9c 2 4a2 1 41， 由 ec a，可得 e 21 3， 所以 0e0)，得到 椭圆 C2和双曲线 C4.记椭圆 C1，C2和双曲线 C3，C4的离心率分别是 e1，e2，e3，e4，则() Ae1e2，e3e2，e3与 e4的大小关系不确定 Ce1e4 De1e2，e3与 e4的大小关系不确定 答案B 解析设 m2k，则 e1c1 a1 1 b1 a1 2，e2c2 a2 a1k2b1k2 a1k2 1 b1k a1k 2， 因为 0b1 a11， 由比例性质可知b1 a1
26、b1k a1ke2； e3c3 a3 1 b3 a3 2， e4c4 a4 a3k2b3k2 a3k2 1 b3k a3k 2， 因为b3 a3与 1 的大小不确定， 所以b3 a3和 b3k a3k的大小也不确定， 即无法判断 e3，e4的大小 综上，e1e2，e3与 e4的大小关系不确定 16.如图，已知在梯形 ABCD 中，|AB|2|CD|，点 E 分有向线段AC 所成的比为，双曲线经过 C，D，E 三点，且以 A，B 为焦点当2 3 3 4时，求双曲线离心率 e 的取值范围 解由题意可知 CDy 轴 双曲线经过 C，D，且以 A，B 为焦点，由双曲线的对称性知 C，D 关于 y 轴对
27、称 依题意，记 A(c,0)，C c 2，h，E(x0，y0)，其中 c1 2|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高 由定比分点坐标公式得 x02c 21，y 0 h 1. 设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21，则离心率 e c a. 点 C，E 在双曲线上， 将点 C 的坐标代入双曲线方程得 c2 4a2 h2 b21， 将点 E 的坐标代入双曲线方程得 c2 4a2 2 1 2h2 b2 1 21. 再将 ec a代入得 e2 4 h 2 b21， h 2 b2 e2 4 1， 将 ec a代入，得 e2 4 2 1 2h2 b2 1 21. 将式代入式，整理得e 2 4 (44)12， 1 3 e22. 由题设2 3 3 4，得 2 31 3 e22 3 4， 解得 7e 10. 双曲线离心率的取值范围是 7， 10
