1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题 第第 1 课时课时距离问题距离问题 学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间 的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用 导语 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点 A 处，修建一个蔬菜存储库如何在 公路上选择一个点， 修一条公路到达 A 点， 要想使这个路线长度理论上最短， 应该如何设计？ 一、点到直线的距离 问题 1如图，已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点如 何利用这些条件求点 P 到直线
2、 l 的距离？ 提示设AP a，则向量AP在直线 l 上的投影向量AQ (au)u.在 RtAPQ 中，由勾股定理， 得点 P 到直线 l 的距离为 PQ|AP |2|AQ |2 a2au2. 知识梳理 PQ(|AP |2|AQ |2) a2au2. 问题 2类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 提示在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距 离 例 1在长方体 OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，求 O1到直线 AC 的距离 解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
3、过 O1作 O1DAC 于点 D， 设 D(x，y,0)，则O1D (x，y，2)，AD (x2，y,0) AC (2,3,0)，O 1D AC，AD AC ， 2x3y0， x2 2 y 3， 解得 x18 13， y12 13， D 18 13， 12 13，0， |O1D | 18 13 2 12 13 2222 286 13 . 即 O1到直线 AC 的距离为2 286 13 . 方法二连接 AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)， AO1 (2,0,2)，AC (2,3,0)， AO1 AC (2,0,2)(2,3,0)4，
4、 aAO1 (2,0,2)，u AC |AC | 2 13， 3 13，0， AO1 AC |AC | 4 13， O1到直线 AC 的距离 d a2au22 286 13 . 反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量 (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度 (3)利用勾股定理求解另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 跟踪训练 1如图，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA平面 ABCD，若已知 AB3，AD 4，PA1，求点 P 到 BD 的距离 解如图，分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴
5、建立空间直角坐标系， 则 P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)， PB (3,0，1)，BD (3,4,0)， 取 aPB (3,0，1)，uBD |BD | 3 5， 4 5，0， 则 a210，au9 5， 所以点 P 到 BD 的距离为 a2au21081 25 13 5 . 二、点到平面的距离与直线到平面的距离 问题 3已知平面的法向量为 n，A 是平面内的定点，P 是平面外一点如何求平面外一 点 P 到平面的距离？ 提示过点 P 作平面的垂线 l，交平面于点 Q，则点 P 到平面的距离为 PQ|AP n| |n| . 知识梳理 PQ|AP n| |n| . 注意点：
6、(1)实质上， n 是直线 l 的方向向量， 点 P 到平面的距离就是AP 在直线 l 上的投影向量QP 的长 度 (2)如果一条直线 l 与一个平面平行，可在直线 l 上任取一点 P，将线面距离转化为点 P 到平 面的距离求解 (3)如果两个平面，互相平行，在其中一个平面内任取一点 P，可将两个平行平面的距离转 化为点 P 到平面的距离求解 例 2如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD平面 ABCD，且 PD1，E，F 分别为 AB， BC 的中点 (1)求点 D 到平面 PEF 的距离； (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0
7、,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E 1，1 2，0，F 1 2，1，0. 设 DH平面 PEF，垂足为 H，则 DH xDE yDF zDP x1 2y， 1 2xy，z，xyz1， PE 1，1 2，1，PF 1 2，1，1， 所以DH PE x1 2y 1 2 1 2xyz 5 4xyz0. 同理，DH PF x5 4yz0， 又 xyz1，解得 xy 4 17，z 9 17. 所以DH 3 17(2,2,3)，所以|DH | 3 17 17. 因此，点 D 到平面 PEF 的距离为 3 17 17. (2)由题意得，ACEF，直线 AC 到平面 PEF
8、的距离即为点 A 到平面 PEF 的距离，由(1)知AE 0，1 2，0 平面 PEF 的一个法向量为 n(2,2,3)， 所求距离为|AE n| |n| 1 17 17 17 . 反思感悟用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系 (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标 (3)求向量：求出相关向量的坐标(AP ，内两不共线向量，平面的法向量 n) (4)求距离 d|AP n| |n| . 跟踪训练 2如图所示，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱若点 C 到平面 AB1D1的距离为4 3，求正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1的高 解设正四棱
9、柱的高为 h(h0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有 A(0,0，h)，B1(1,0,0)， D1(0,1,0)，C(1，1，h)， 则AB1 (1,0，h)，AD1 (0,1，h)，AC (1,1,0)， 设平面 AB1D1的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB1 0， nAD1 0， 即 xhz0， yhz0， 取 z1，得 n(h，h,1)， 所以点 C 到平面 AB1D1的距离为 d|nAC | |n| hh0 h2h21 4 3， 解得 h2. 故正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的高为 2. 1知识清单： (1)点到直线的距离 (2)点到平面的距离与直线到平面的距离 2方法归
10、纳：数形结合、转化法 3常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用对公式推导过程的理解是应用的 基础 1已知 A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，则点 A 到直线 BC 的距离为() A.2 2 3 B1C. 2D2 2 答案A 解析A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)， AB (1,0,0)，BC (1,2，2)， 点 A 到直线 BC 的距离为 d|AB |2 AB BC |BC | 2 1 1 3 22 2 3 . 2若三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PAPBPC1，则点 P 到平面 ABC 的 距离是() A. 6 6 B. 6
11、3 C. 3 6 D. 3 3 答案D 解析分别以 PA，PB，PC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1) 可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n(1,1,1)， 则 d|PA n| |n| 3 3 . 3已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为 () A. 3 6 B. 3 3 C.2 3 3 D. 3 2 答案B 解析建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，所以 DA1 (1,0，1
12、)，DC1 (0,1，1)，AD (1,0,0)，设平面 A1C1D 的一个法向量为 m(x， y,1) ， 则 mDA1 ， mDC1 ， 即 x10， y10， 解得 x1， y1， 故 m(1,1,1)， 显然平面 AB1C平面 A1C1D， 所以平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离 d|AD m| |m| 1 3 3 3 . 4已知直线 l 经过点 A(2,3,1)，且向量 n(1,0，1)所在直线与 l 垂直，则点 P(4,3,2)到 l 的 距离为_ 答案 2 2 解析因为PA (2,0，1)，又 n 与 l 垂直， 所以点 P 到 l 的距离为|PA n| |n| |2
13、1| 2 2 2 . 课时课时对点对点练练 1. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBCa，AA12a，则点 D1到直线 AC 的距离为() A. 3aB. 3 2 aC.2 2a 3 D.3 2a 2 答案D 解析方法一连接 BD，AC 交于点 O(图略)， 则 D1O2a2 2 2 a 23 2 2 a 为所求 方法二如图建立空间直角坐标系，易得 C(a，a,0)，D1(0，a,2a)， 取 aCD1 (a,0,2a)， u AC |AC | 2 2 ， 2 2 ，0 ， 则点 D1到直线 AC 的距离为 a2au25a21 2a 23 2 2 a. 2两平行平面，分别经过坐标原点
14、 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n(1,0,1)， 则两平面间的距离是() A.3 2 B. 2 2 C. 3D3 2 答案B 解析两平行平面，分别经过坐标原点 O 和点 A(2，1,1)， OA (2,1,1)，且两平面的一个法向量 n(1,0,1)， 两平面间的距离 d|nOA | |n| |201| 2 2 2 . 3已知三棱锥 OABC 中，OAOB，OBOC，OCOA，且 OA1，OB2，OC2，则 点 A 到直线 BC 的距离为() A. 2B. 3C. 5D3 答案B 解析以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 由题意可知 A(1,0,0)，B(0,
15、2,0)，C(0,0,2)， AB (1,2,0)，BC(0，2,2)， 取aAB (1,2,0)， uBC |BC | 0， 2 2 ， 2 2 .则点A到直线BC的距离为 a2au2 52 3. 4.如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，A1A5，AB12，则直线 B1C1到平面 A1BCD1的 距离是() A5B8 C.60 13 D.13 3 答案C 解析以 D 为坐标原点， DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间 直角坐标系， 则 C(0,12,0)，D1(0,0,5) 设 B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x0) 设平面 A
16、1BCD1的法向量为 n(a，b，c)， 由 nBC ，nCD1 ， 得 nBC (a，b，c)(x,0,0)ax0，nCD 1 (a，b，c)(0，12,5)12b5c0， 所以 a0，b 5 12c，所以可取 n(0,5,12) 又B1B (0,0，5)，所以点 B 1到平面 A1BCD1的距离为|B1B n| |n| 60 13. 因为 B1C1平面 A1BCD1，所以 B1C1到平面 A1BCD1的距离为60 13. 5如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，则 点 C1到平面 B1EF 的距离等于() A.2 3 B.2 2
17、 3 C.2 3 3 D.4 3 答案D 解析以 D1为坐标原点，分别以D1A1 ， D 1C1 ，D 1D 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空 间直角坐标系， 则 B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，E(2,1，2)，F(1,2,2) B1E (0，1,2)，B 1F (1,0,2)， 设平面 B1EF 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nB1E 0， nB1F 0， 即 y2z0， x2z0 令 z1，得 n(2,2,1) 又B1C1 (2,0,0)， 点 C1到平面 B1EF 的距离 d|nB1C1 | |n| |2200| 22221 4 3. 6.如图， 正方体 A
18、BCDA1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面 A1B1C1D1的中心， 则 O 到平面 ABC1D1 的距离为() A. 3 2 B. 2 4 C.1 2 D. 3 3 答案B 解析以DA ， DC ，DD1 为正交基底建立空间直角坐标系， 则 A1(1,0,1)， C1(0,1,1)， C1O 1 2C 1A1 1 2， 1 2，0， 平面 ABC1D1的一个法向量为DA1 (1,0,1)， 点 O 到平面 ABC1D1的距离 d|DA 1 C1O | |DA1 | 1 2 2 2 4 .故选 B. 7RtABC 的两条直角边 BC3，AC4，PC平面 ABC，PC9 5，则点 P 到斜
19、边 AB 的距 离是_ 答案3 解析以 C 为坐标原点，CA，CB，CP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(4,0,0)，B(0,3,0)， P 0，0，9 5 ， 所以AB (4,3,0)，AP4，0，9 5 . 取 aAP 4，0，9 5 ，u AB |AB | 4 5， 3 5，0， 则 P 到 AB 的距离为 d a2au21681 25 256 25 3. 8.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie nao)， 如图已知在鳖臑 PABC 中，PA平面 ABC，PAABBC2，M 为 PC 的中点，则点 P 到平面 M
20、AB 的距离为_ 答案2 解析以 B 为坐标原点，BA，BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系， 如图，则 B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，由 M 为 PC 的中点可得 M(1,1,1) BM (1,1,1)，BA (2,0,0)，BP(2,0,2) 设 n(x，y，z)为平面 ABM 的一个法向量， 则 nBA 0， nBM 0， 即 2x0， xyz0， 令 z1，可得 n(0,1，1)，点 P 到平面 MAB 的距离为 d|nBP | |n| 2. 9在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M 为 BB1的中
21、点，N 为 BC 的中点 (1)求点 M 到直线 AC1的距离； (2)求点 N 到平面 MA1C1的距离 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)， 直线 AC1的一个单位方向向量为 s0 0， 2 2 ， 2 2 ，AM (2,0,1)， 故点 M 到直线 AC1的距离 d|AM |2|AM s0|251 2 3 2 2 . (2)设平面 MA1C1的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nA1C1 0， nA1M 0， 即 2y0， 2xz0， 取 x1， 得 z2， 故 n(1,0,2)为平面 MA1C1的一
22、个法向量， 因为 N(1,1,0)， 所以MN (1,1， 1)， 故 N 到平面 MA1C1的距离 d|MN n| |n| 3 5 3 5 5 . 10在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，AD2AB4，且 PD 与 底面 ABCD 所成的角为 45.求点 B 到直线 PD 的距离 解PA平面 ABCD， PDA 即为 PD 与平面 ABCD 所成的角， PDA45， PAAD4，AB2. 以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)
23、，DP (0，4,4) 方法一设存在点 E，使DE DP ，且 BEDP， 设 E(x，y，z)， (x，y4，z)(0，4,4)， x0，y44，z4， 点 E(0,44，4)，BE (2,44，4) BEDP， BE DP 4(44)440， 解得1 2. BE (2,2,2)， |BE | 4442 3， 故点 B 到直线 PD 的距离为 2 3. 方法二BP (2,0,4)，DP (0，4,4)， BP DP 16， BP 在DP 上的投影向量的长度为|BP DP | |DP | 16 16162 2. 所以点 B 到直线 PD 的距离为 d|BP |22 22 2082 3. 11.
24、如图， ABCDEFGH是棱长为1的正方体， 若P在正方体内部且满足AP 3 4AB 1 2AD 2 3AE ， 则 P 到 AB 的距离为() A.3 4 B.4 5 C.5 6 D.3 5 答案C 解析如图，分别以 AB，AD，AE 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， AB ， AD ，AE 可 作为 x，y，z 轴方向上的单位向量， 因为AP 3 4AB 1 2AD 2 3AE ， 所以AP 3 4， 1 2， 2 3 ，AB (1,0,0)，AP AB |AB | 3 4， 所以 P 点到 AB 的距离 d|AP |2| AP AB |AB |2 181 144 9 16
25、5 6. 12在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，BB1的中点，M 为棱 A1B1 上的一点，且 A1M(02)，设点 N 为 ME 的中点，则点 N 到平面 D1EF 的距离为() A. 3B. 2 2 C. 2 3 D. 5 5 答案D 解析以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则 M(2，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)， ED1 (2,0,1)，EF (0,2,0)，EM (0，1) 设平面 D1EF 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nED1 2x
26、z0， nEF 2y0， 取 x1，得 n(1,0,2)， 所以点 M 到平面 D1EF 的距离为 d|EM n| |n| 2 5 2 5 5 . 因为 N 为 EM 的中点，所以 N 到平面 D1EF 的距离为 5 5 . 13棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是线段 BB1，B1C1的中点，则直线 MN 到平面 ACD1的距离为_ 答案 3 2 解析如图，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系则 D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，M 1，1，1 2 ，A(1,0,0)， AM 0，
27、1，1 2 ，AC (1,1,0)，AD 1 (1,0,1) 设平面 ACD1的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nAC 0， nAD1 0， 即 xy0， xz0. 令 x1，则 yz1，n(1,1,1) 点 M 到平面 ACD1的距离 d|AM n| |n| 3 2 . 又 MNAD1，且 MN1 2AD 1， 故 MN平面 ACD1， 故直线 MN 到平面 ACD1的距离为 3 2 . 14.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则点 B1到平面 ABC1的距离为_ 答案 21 7 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A 3 2 ，1 2
28、，0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)， 则C1A 3 2 ，1 2，1， C1B1 (0,1,0)，C 1B (0,1，1) 设平面 ABC1的一个法向量为 n(x，y,1)， 则有 C1A n3 2 x1 2y10， C1B ny10， 解得 n 3 3 ，1，1 ， 则所求距离为|C1B1 n| |n| 1 1 311 21 7 . 15.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BB1 2AB2 2，则点 C 到直线 AB1的距离为 _ 答案 33 3 解析取 AC 的中点 D，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0，1,0)，B1( 3，0,2 2)，C
29、(0，1,0)， 所以AB1 ( 3，1,2 2)， CA (0，2,0) CA AB 1 2， CA 在AB 1 上的投影向量的长度为 |CA AB 1 | |AB1 | 2 2 3 3 3 ， 所以点 C 到直线 AB1的距离 d|CA |2 3 3 2 41 3 11 3 33 3 . 16.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，CA2， 侧棱 AA12，D 是 CC1的中点，则在线段 A1B 上是否存在一点 E(异于 A1，B 两点)，使得点 A1到平面 AED 的距离为2 6 3 . 解假设存在点 E 满足题意以点 C 为坐标原点，CA，CB，
30、CC1所在的直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，AA1 (0,0,2)，BA1 (2，2,2) 设BE BA 1 ，(0,1)， 则 E(2，2(1)，2)， AD (2,0,1)，AE (2(1)，2(1)，2)， 设 n(x，y，z)为平面 AED 的一个法向量， 则 nAD 0， nAE 0 2xz0， 21x21y2z0， 取 x1，则 y13 1 ，z2， 即 n 1，13 1 ，2 为平面 AED 的一个法向量 由于点 A1到平面 AED 的距离 d|AA1 n| |n| 2 6 3 ， 所以2 6 3 4 5 13 1 2 又(0,1)，所以1 2. 故存在点 E，且当点 E 为 A1B 的中点时，点 A1到平面 AED 的距离为2 6 3 .
