1、第一章综合检测第一章综合检测 时间：时间：120 分钟分钟分值：分值：150 分分 第第卷卷(选择题，共选择题，共 60 分分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是(D) A所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 解析： “所有能被 2 整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题， 其否定一定是一个存在量词命题， 排除选项 A，B；结合全称量词命题的否定
2、方法，可知命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 应为“存在一个能被 2 整除的整数不是偶数”故选 D. 2设 U1,2,5,7,9，A1,2,5，B2,5,7，则下列结论中正确的是(D) AAB BAB2 CAB1,2,5,7,9 DA(UB)1 解析：U1,2,5,7,9，A1,2,5，B2,5,7，则 AB2,5，AB1,2,5,7，UB1,9， 则 A(UB)1，故选 D. 3有下列四个命题，其中真命题是(B) AnR，n2n BnR，mR，mnm CnR，mR，m2n DnR，n2n 解析：对于选项 A，令 n1 2，则 1 2 21 4 1 2，故 A 错；对于选项 B，令
3、 n1，则mR，m1m 显然成立，故 B 正确；对于选项 C，令 n1，则 m21 显然无解，故 C 错；对于选项 D，令 n 1，则(1)24”是“ab4”的(D) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：显然由 ab4 不能推出 ab4，如 a1，b6；ab4 也不能推出 ab4，如 a1，b 6. 5若 a0，b0，a2b1，则1 a a1 b 的最小值为(D) A4B5 C6D7 解析： 1 a a1 b 1 a 1 b a b(a2b) 1 a 1 b a b3 2b a 2a b 32 2b a 2a b 7(当且仅当 ab 时取等 号)，故选 D
4、. 6若关于 x 的不等式 ax2bx30 的解集为 1，1 2 ，其中 a，b 为常数，则不等式 3x2bxa0 的解集为 1，1 2 ，所以 ab30， 1 4a 1 2b30， 解得 a6， b3， 所以 3x23x60，所以(x2)(x1)0，解得1x0，y0，若2y x 8x y m22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是(D) Am4 或 m2Bm2 或 m4 C2m4D4m0，y0，2y x 8x y 8 当且仅当2y x 8x y 时取“” .若2y x 8x y m22m 恒成立，则 m2 2m8，解得4m2. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在
5、每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9设计如图所示的四个电路图，p：“开关 S 闭合”；q：“灯泡 L 亮”，则 p 是 q 的充要条件的 电路图是(BD) 解析：由题知，电路图 A 中，开关 S 闭合，灯泡 L 亮，而灯泡 L 亮开关 S 不一定闭合，故 A 中 p 是 q 的充分不必要条件；电路图 B 中，开关 S 闭合，灯泡 L 亮，且灯泡 L 亮，则开关 S 闭合，故 B 中 p 是 q 的充要条件；电路图 C 中，开关 S 闭合，灯泡 L 不一定亮，灯泡 L 亮，则开关 S 一定闭合，故 C 中 p 是 q
6、 的必要不充分条件；电路图 D 中，开关 S 闭合，则灯泡 L 亮，灯泡 L 亮，则开关 S 闭合，故 D 中 p 是 q 的充要条件，故选 BD. 10设 a，b 为正实数，则下列命题中是真命题的是(AD) A若 a2b21，则 ab1 B若1 b 1 a1，则 ab1 C若| a b|1，则|ab|0ab0，故 a bab0.若 ab1，则 1 ab1ab1，这与 abab0 矛盾，故 ab1，所以 B 中命题为假命题；对 于 C 选项，取 a4，b1，则| a b|1，但|ab|31，所以 C 中命题为假命题；对于 D 选项，(a b)2(1ab)2a2b21a2b2(a21)(1b2)
7、0，即|ab|1ab|，所以 D 中命题为真命题 11下列说法中正确的是(AC) A“a1，b1”是“ab1”成立的充分条件 B命题 p：xR，x20，则非 p：xR，x2b0，则1 ab”是“a2b2”成立的充分不必要条件 解析：对于选项 A，a1，b1 时，易得 ab1，故 A 正确；对于选项 B，全称量词命题的否定为存 在量词命题，所以命题 p：xR，x20 的否定为xR，x20，故 B 错误；对于选项 C，“若 ab0， 则1 ab”并不能推出“a 2b2”，如 a 1，b1，故 D 错误故选 AC. 12若 a，b，cR，且 abbcca1，则(AD) Aa2b2c21Babc 3
8、C.1 a 1 b 1 c2 3 D(abc)23 解析：由均值不等式知 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，于是 a2b2c2abbcca1， 故 A 项正确； 而(abc)2a2b2c22(abbcca)3(abbcca)3，故 D 项正确；令 ab1， c0，可验证 B 项错误；令 abc 3 3 ，则 abbcca1，但1 a 1 b 1 c3 32 3，故 C 项错误 第第卷卷(非选择题，共非选择题，共 90 分分) 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13设集合 Ax|1x0，则(RB)Ax|x2 解析：因为 Ax|1x0，所以(RB)Ax|x
9、2 14若集合 Nx|x22xa0，M1，且 NM，则实数 a 的取值范围是1，) 解析：NM，则 N1或 N， 当 N1时，Nx|x22xa01， 解得 a1； 当 N时，Nx|x22xa0， 满足44a1. 综上所述，a1. 15设一元二次函数 yax24xc(xR)的函数值 y0，)，则1 c 9 a的最小值为 3. 解析：因为一元二次函数 yax24xc(xR)的函数值 y0，)，则 a0， 164ac0， 所以 a0，ac4，所以 c0，1 c 9 a2 9 ac2 9 43，当且仅当 1 c 9 a，即 a6 且 c 2 3时取等号 16某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860
10、 万元，六月份的销售额为 500 万元，七月份的销售 额比六月份增加 x%，八月份的销售额比七月份增加 x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售 总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为 7 000 万元，则 x 的最小值为 20. 解析：由题意得七月份的销售额为 500(1x%)，八月份的销售额为 500(1x%)2，所以一月份至十 月份的销售总额为 3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，解得 1x%11 5 (舍去)或 1 x%6 5，即 x%20%，所以 x min20. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
11、骤) 17(10 分)已知全集 UR，Ax|x22x30，Bx|2x5，Cx|xa (1)求 A(UB)； (2)若 ACC，求 a 的取值范围 解：(1)Ax|x22x30 x|1x3， Bx|2x5，UR， 所以UBx|x2，或 x5， 所以 A(UB)x|1x2 (2)由 ACC，得 AC， 又 Cx|xa，Ax|1x3， 所以 a 的取值范围是 a1. 18(12 分)已知集合 Ax|1x3，Bx|x25ax6a20 (1)若 BA，求实数 a 的取值范围； (2)若 AB，求实数 a 的取值范围 解：(1)因为集合 Ax|1x3，Bx|x25ax6a20， 当 a0 时，B0显然满足
12、 BA，故 a0 满足题意； 当 a0 时，Bx|x25ax6a202a,3a， 若 BA，只需 12a3， 13a3， a0， 解得1 3a0，或 0a1. 综上可得，1 3a1. (2)因为 AB，由(1)可得 a0， 且有 2a3 且 3a3，或 2a1 且 3a1，解得 a1 2，或 a 3 2. 故实数 a 的取值范围是 a1 2，或 a 3 2. 19(12 分)已知 p：实数 x 满足 ax0)，q：实数 x 满足 2x5. (1)若 a1，且 p 与 q 都为真命题，求实数 x 的取值范围； (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 解：(1)若 a1，p
13、 为真：1x4，q 为真： 2x5. p，q 都为真命题，x 的取值范围为(2,4) (2)设 Ax|ax4a，Bx|25， 解得5 4a2. 综上，a 的取值范围为 5 4，2. 20(12 分)已知全集 UR，集合 Ax|1x3，Bx|xm1，mA (1)求图中阴影部分表示的集合 C； (2)若非空集合 Dx|4axa，且 DAB，求实数 a 的取值范围 解：(1)因为 Bx|xm1，mA，Ax|1x3，所以 Bx|2x4 根据题意，由题图可得：CA(UB)， 因为 Bx|2x4，则UBx|x4， 而 Ax|1x3，则 CA(UB)x|1x2 (2)因为集合 Ax|1x3，Bx|2x4，所
14、以 ABx|1x4 若非空集合 Dx|4axa，且 DAB， 则有 4aa， 4a1， a4， 解得 2a3， 即实数 a 的取值范围为a|2a3 21(12 分)已知函数 yx 23 xa (xa，a 为非零常数) (1)解不等式x 23 xa a 时，yx 23 xa 有最小值为 6，求 a 的值 解：(1)x 23 xa x，整理得(ax3)(xa)0 时， x3 a (xa)0， 解集为 x| 3 axa； 当 a0， 解集为 x|x 3 a，或 x0)， yt 22ata23 t ta 23 t 2a 2ta 23 t 2a2 a232a. 当且仅当 ta 23 t ，即 t a23
15、时，等号成立，即 y 有最小值 2 a232a. 依题意有 2 a232a6，解得 a1. 22(12 分)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一图中的窗花是 由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分， 正十字形的顶点都在圆周上 已知正十字形的宽和长都 分别为 x，y(单位：dm)，且 xy，若剪去的正十字形部分面积为 4 dm2. (1)求 y 关于 x 的函数解析式，并求 x 的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小当 x 取何值时，所用到的圆形纸片面积最小， 并求出其最小值 解：(1)由题意可得：2xyx24，则 yx 24 2x ， yx 且 x0，即x 24 2x x，0 x2， y 关于 x 的解析式为 yx 24 2x ，x 的取值范围为(0,2) (2)设正十字形的外接圆的直径为 d， d2x2y2x2 x24 2x 25 4x 24 x22 2 5x2 4 4 x222 52， 当且仅当5x 2 4 4 x2，即 x 24 5 5 时取等号， 即 x24 5 5 时，d2min2 52. 正十字形外接圆面积：S d 2 2 4d 2 51 2 ， 即正十字形外接圆面积的最小值为 51 2 ， 此时 x 4 5 5 .
