1、课时跟踪检测课时跟踪检测 18一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 (对应学生用书 P107) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1不等式 1 3x283 2x 的解集是() Ax|2x4Bx|2x4 Cx|x4Dx|x2 解析由 1 3x283 2x， 得 38x232x， 8x22x， 即 x22x80， 解得2x4. 不等式 1 3x283 2x 的解集是x|2x4故选 A. 答案A 2已知 x1,2，x2ax0 恒成立，则实数 a 的取值范围是() A1，)B(1，) C(，1D(，1) 解析因为 x1,2，故 x0，故 x2ax0 在1,2上恒成立等价于 xa 0 在1,2上恒成
2、立，故 1a0 即 a1，故选 D. 答案D 3已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为 xx1 或 x1 2，则 f(10 x)0 的 解集为() Ax|x1 或 xlg 2 Bx|1xlg 2 Cx|xlg 2 Dx|xlg 2 解析依题意知 f(x)0 的解集为 xx1 或 x1 2，f(10 x)0，则110 x 1 2，解得 xlg 1 2lg 2.故选 D. 答案D 4若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间1,4内有解，则实数 a 的取 值范围是() A(，2B2，) C6，)D(，6 解析不等式 x24x2a0 可化为 ax24x2， 设 f(x)x24x2，则 f(x)在
3、区间1,4内的最大值为 f(4)2； 关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间1,4内有解， a 的取值范围是 a 2.故选 A. 答案A 5关于 x 的不等式 mx2(1m)x10 对任意实数 x 都成立，则实数 m 的 取值范围是() A(0,32 2) B32 2，32 2 C(32 2，32 2) D(，32 2)(32 2，) 解析当 m0 时，不等式为x10，即 x1，不符合题意 当 m0 时，mx2(1m)x10 对任意实数 x 都成立， 则 m0 且(1m)24m0，解得 32 2m32 2.故选 C. 答案C 6函数 f(x) ax24x3的定义域为 R，则实数 a 的取值
4、范围是() A(，0) 0，4 3B. ，4 3C. 4 3，D. 4 3， 解析函数 f(x) ax24x3的定义域为 R， 即为 ax24x30 在 R 上 恒成立 当 a 0 时 ， 4x 30 显 然 不 在 R 上 恒 成 立 ； 当 a0 时 ， 有 a0， 1612a0， 解得 a4 3.综上 a 4 3. 故选 C. 答案C 7若关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中恰有两个整数，则实数 a 的取值范围是() A(3,4)B(2，1)(3,4) C(3,4D2，1)(3,4 解析原不等式可化为(x1)(xa)0.当 a1 时，由(x1)(xa)0 可得 1xa， 若原
5、不等式的解集中恰有两个整数， 则这两个整数为2,3， 此时 3a4； 当 a1 时，原不等式的解集为空集，不合题意；当 a1 时，由(x1)(xa)0 可得 ax1，若原不等式的解集中恰有两个整数，则这两个整数为 0，1，此 时2a1.综上，实数 a 的取值范围是2，1)(3,4，故选 D. 答案D 8在 R 上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1 对任意实 数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为() A1a1B1 2a 3 2 C3 2a 1 2 D0a2 解析根据题设新定义的运算， 可得(xa)(xa)(xa)(1xa)， 所以(x a)(xa)1 可转化为(xa)(1x
6、a)1，即 x2x(1a2a)0 恒成立， 根据二次函数的性质可知14(1a2a)0，解得1 2a 3 2，故选 B. 答案B 二、填空题 9若关于 x 的不等式 12 3cos2xacosx0 在 R 上恒成立，则实数 a 的最 大值为_ 解析令 cosxt1,1，则问题转化为不等式 4t23at50 在1,1 上恒成立，即 43a50， 43a50 1 3a 1 3. 答案 1 3 10 已知不等式 ax25xb0 的解是3x2， 设 Ax|bx25xa0， B x| 3 x15. 则 AB_. 解析根据题意知，x3,2 是方程 ax25xb0 的两实数根； 由韦达定理得 5 a32， b
7、 a32， 解得 a5，b30； Ax|30 x25x50 x|x 1 3或 x 1 2， 且 B x|1x 2 5； AB x|1x 2 5. 答案x|1x 2 5 三、解答题 11若不等式 ax2bx10 的解集是x|1x2 (1)试求 a，b 的值； (2)求不等式ax1 bx10 的解集 解(1)因为不等式 ax2bx10 的解集是(1,2)所以 a0 且 ax2bx1 0 的解是 1 和 2. 故 12b a， 211 a， 解得 a1 2， b3 2. (2)由(1)得 1 2x1 3 2x1 0，整理得到 x2 3x20， 即(x2)(3x2)0，解得2 3x2，故原不等式的解集
8、为 2 3，2. 12某公司按现有能力，每月收入为 70 万元，公司分析部门测算，若不进 行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少分析测算得入世第一个月收入将减 少 3 万元，以后逐月多减少 2 万元，如果进行改革，即投入技术改造 300 万元， 且入世后每月再投入 1 万元进行员工培训， 则测算得自入世后第一个月起累计收 入 Tn与时间 n(以月为单位)的关系为 Tnanb，且入世第一个月时收入将为 90 万元，第二个月时累计收入为 170 万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的 累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 解入世改革后经过 n 个月的纯收入为 Tn300n 万元，不改革时的纯收 入
9、为 70n 3nnn1 2 2 . 又 90ab， 1702ab， 则 a80， b10. 由题意建立不等式 80n10300n70n3n(n1)n，即 n211n290 0，nN, 故取 n13. 答：经过 13 个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 13已知函数 f(x)x22ax，aR. (1)当 a1 时，求满足 f(x)0 的 x 的取值范围； (2)解关于 x 的不等式 f(x)3a2； (3)若对于任意的 x(2，)，f(x)0 均成立，求 a 的取值范围 解(1)当 a1 时，f(x)x22x，所以 f(x)0，即 x22x0，解得 0 x 2. 所以 f(x)0 的
10、解集为(0,2). (2)由 f(x)3a2，得 x22ax3a20， 所以(x3a)(xa)0， 当 a0 时，解集为(a,3a)；当 a0 时，解集为空集；当 a0 时，解集为 (3a，a) (3)f(x)0，即 x22ax0，所以 2axx2.因为对于任意的 x(2，)，f(x) 0 均成立 所以对于任意的 x(2，)，ax 2均成立. 所以 a1.即 a 的取值范围是(，1. 素养能力题从容有序过 14.对任意实数 x，不等式3x 22x2 x2x1 k 恒成立，则正整数 k 的值为() A1B2 C3D4 解析因为xR，3x 22x2 x2x1 k 恒成立， 且 x2x1 x1 2
11、23 4 3 40， 3x22x2k(x2x1)， (k3)x2(k2)xk20， 设 函 数 y (k 3)x2 (k 2)x k 2 ， 即 y 恒 小 于 0 ， k30， k224k3k20， 解得 k2，又因为 k 为正整数，k1，故选 A. 答案A 15已知函数 f(x)xm x5，当 1x9 时，f(x)1 恒成立，则实数 m 的取值范围为() Am13 3 Bm5 Cm4Dm5 解析函数 f(x)xm x5，令 t x，函数可变为 g(t)t2mt5， 当 1x9 时， 1t3.故 f(x)1 恒成立可转化为 g(t)1 在 1t3 上恒成 立 令 yg(t)1t2mt4，t1
12、,3， 当m 2 1 即 m2 时，函数 yt2mt4 在1,3上单调递增， 则当 t1 时 ymin1m45m0，解得 m5，又有 m2，所以 m2. 当 1m 2 3 即 2m6 时， yt2mt4 在 1，m 2 上单调递减， 在 m 2 ，3 上单调递增， 当 tm 2 时，ymin m 2 2mm 2 4m 2 4 40，解得4m4，又 2m 6，则 2m4. 当m 2 3 即 m6 时，函数 yt2mt4 在1,3上单调递减， 则当 t3 时 ymin93m4133m0， 解得 m13 3 ， 又有 m6， 无解 综 上可得 m4.选 C. 答案C 16已知函数 f(x)2 xb
13、2x 1a的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，其中 a 与 b 是 常数 (1)求 a 与 b 的值； (2)若 x1,1，对于任意的 tR，不等式 f(x)2t2t1 恒成立，求实 数的取值范围 解(1)f(x)是 R 上的奇函数， f00， f1f1， 即 1b 2a 0， 1 2b 1a 2b 4a ， 解得 a2， b1， 此时 f(x)2 x1 2x 12，经检验可 得 f(x)f(x)， 故 a2，b1. (2)f(x)2 x1 2x 12 2x1 22x1 2x12 22x1 1 2 1 2x1， 可知 f(x)在 R 上是减函数，又 x1,1， f(x)的最大值为 f(1)1 6. 对于任意的 tR，不等式 f(x)2t2t1 恒成立， 2t2t11 6，即 2t 2t5 60，则有0， 即2425 60，解得 2 15 3 2 15 3 . 所以实数的取值范围是 | 2 15 3 2 15 3.
