1、第三章导数及其应用 第一节变化率与导数、导数的计算 复习要点1.了解导数概念的实际背景 2通过函数图象直观理解导数的几何意义 3能根据导数定义求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y1 x，y x的导数 4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数的求导法则， 能求简单复合函数仅限于形如 f(axb)的复合函数的导数 知识点一函数 yf(x)在 xx0 处的导数 1定义 称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_lim x0 y x为函数yf(x)在xx 0处的导数， 记作f(x0)或y|x x0，即 f(x0)lim x0 y x_. 2几何意
2、义 函数 f(x)在 xx0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的_瞬时速度就是位移函 数 s(t)对时间 t 的导数相应地，切线方程为_ 答案：1.lim x0 fx0 xfx0 x lim x0 fx0 xfx0 x 2切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0) 知识点二基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)C(C 为常数)f(x)_ f(x)xn(nQ*)f(x)_ f(x)sin xf(x)_ f(x)cos xf(x)_ f(x)ax(a0，且 a1)f(x)_ f(x)exf(x)_ f(x)logax (a0，且 a1，x0) f(x
3、)_ f(x)ln x(x0)f(x)_ 答案：0nxn 1 cos xsin xaxln aex 1 xln a 1 x 知识点三导数的运算法则 若 yf(x)，yg(x)的导数存在，则 (1)f(x)g(x)_； (2)f(x)g(x)_； (3) fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 答案：(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x) 知识点四复合函数的导数 设函数 u(x)在点 x 处有导数 u(x)，函数 yf(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 yf(u)，则复合函数 yf(x)在点 x 处也有导数 yxfuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对
4、 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 链/接/教/材 1选修 22P19B 组 T2 改编曲线 yx311 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是() A9B3 C9D15 答案：C 2选修 22P3问题 2 改编在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)4.9t2 6.5t10，则运动员的速度 v_m/s，加速度 a_m/s. 答案：9.8t6.59.8 易/错/问/题 导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错 (1)若函数 f(x)2x3a2，则 f(x)_. (2)函数 yln x ex 的导函数为_ (1)答案：6x2解析：本题
5、易出现一种求导错解：f(x)6x22a，没弄清函数中的自变量是 x，而 a 只是一个 字母常量，其导数为 0. (2)答案：y1xln x xex 解析：y 1 xe xexln x ex2 1xln x xex . 通/性/通/法 求曲线的切线方程：点斜式写出方程；条件的转化 (1)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_. (2)若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_. (1)答案：1解析：因为 f(x)3ax21， 所以图象在点(1，f(1)处的切线的斜率 k3a1， 所以切线方程为 y7(3a1)(x2)，
6、 即 y(3a1)x6a5， 又切点为(1，f(1)， 所以 f(1)3a16a53a6， 又 f(1)a2， 所以3a6a2，解得 a1. (2)答案：1 2 解析：易知点(1，a)在曲线 yax2ln x 上，y2ax1 x，y| x12a10，a1 2. 题型导数的概念及其运算 角度.导数的概念 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1设函数 f(x)可导，则lim x0 f1xf1 3x 等于() A1 3f(1) B3f(1) Cf(1)Df(3) 答案A 2若函数 f(x)在点 x0处的导数值为 1，则： lim x0 fx02xfx02x x _. 答案4解析lim x
7、0 fx02xfx02x x 4lim x0 fx02xfx02x 4x 4f(x0)4. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 导数的定义中，必须严格形式的统一，即分子为函数的差，分母为相应自变量的差，也就是代数式必须表达两 点间割线的斜率 角度.求导法则与复合函数求导 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3分别求下列函数的导数： (1)yexcos x； (2)yx x21 x 1 x3； (3)yxsin x 2cos x 2； (4)yln 1x2. 解(1)y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin xex(cos xsin x) (2)yx311 x2，
8、 y3x2 2 x3. (3)yxsin x 2cos x 2x 1 2sin x， y x1 2sin x11 2cos x. (4)yln 1x21 2ln(1x 2)， y1 2 1 1x2(1x 2)1 2 1 1x22x x 1x2. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 导数运算的原则和方法 1基本原则 先化简、再求导 2具体方法 角度.应用导数求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 42021 江西南昌联考已知函数 f(x)是定义在(0，)上的可导函数，f(x)为其导函数，当 x0 且 x1 时， 2fxxfx x1 0，若曲线 yf(x)在 x1 处的切线的斜
9、率为3 4，则 f(1)( ) A0B1 C3 8 D1 5 答案C解析由 x0 且 x1 时， 2fxxfx x1 0，可得 x1 时， 2f(x)xf(x)0；0 x1 时，2f(x)xf(x)1 时，g(x)0； 当 0 x1 时，g(x)0. 则函数 g(x)在 x1 处取得极值， g(1)2f(1)f(1)0， 又 f(1)3 4， f(1)1 2 3 4 3 8. 52021 湖北宜昌联考已知 f(x)是函数 f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则 f(2)() A128ln 2 12ln 2 B 2 12ln 2 C 4 12ln 2 D2 答案C 题型导数的几何意义及应用
10、 角度.求在点 P(x0，y0)处的切线方程 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12020 全国卷文曲线 yln xx1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_ 答案2xy0解析本题考查导数的几何意义及切线方程的求法设切点为(x0，y0)，对 yln xx1 求导，得 y1 x1，则曲线的切线的斜率为 1 x012，解得 x 01.所以 y0ln 1112，则切点为(1,2)，切线 方程为 y22(x1)，即 2xy0. 2多选若函数 yf(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数 t， 则称函数 yf(x)为“t 型函数”，下列函数中为“
11、2 型函数”的有() Ayxx3Byxex Cysin xDyxcos x 答案CD解析选项 A：y13x2(，1，所以x1，x2(x1x2)，都有 f(x1)f(x2)2，不符合；选项 C：ycos x 1,1， 所以x1， x2(x1x2)， 使得 f(x1)f(x2)2(例如取 x10， x22)， 符合； 选项 D： y1sin x0,2， 所以x1，x2(x1x2)，使得 f(x1)f(x2)2 例如取 x1 2，x 2 2 ，符合故选 CD. 角度.求过点 P(x0，y0)的切线方程 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 32021 浙江宁波镇海中学期末已知函数 f(x)
12、1 3x 31 2. (1)求曲线 yf(x)在点 P 1，5 6 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若过点(2，a)可作三条不同的直线与曲线 yf(x)相切，求实数 a 的取值范围 解(1)函数 f(x)1 3x 31 2的导数为 f(x)x 2. 曲线 yf(x)在点 P 1，5 6 处的切线斜率 kf(1)1， 所以切线方程为 y5 6x1，整理得 6x6y10. 切线与 x 轴交于点 1 6，0，与 y 轴交于点 0，1 6 ， 所以所求三角形的面积 S1 2 1 6 1 6 1 72. (2)设切点坐标为 t，1 3t 31 2 ， 则切线斜率为 f(t)t2， 所以切线方
13、程为 y 1 3t 31 2 t2(xt)， 整理得 y2 3t 3t2x1 2. 过点(2，a)可作曲线 yf(x)的三条不同的切线，等价于 直线 ya 与函数 y2 3t 32t21 2的图象有三个不同的交点 设 g(t)2 3t 32t21 2， 则 g(t)2t24t， 所以当 t(0,2)时，g(t)0，g(t)在(0,2)上单调递增；当 t(，0)(2，)时，g(t)0，g(t)在(，0) 和(2，)上分别单调递减， 因此函数 g(t)的极小值为 g(0)，极大值为 g(2) 要使直线 ya 与函数 y2 3t 32t21 2的图象有三个不同的交点，则 g(0)a0)， 且 g(t
14、)2t22ta3， 则结合二次函数的性质可知，有 g(0)0 且0， 即 a30 且 48(a3)0， 解得 3a0， 即 f(x)在 R 上单调递增， 若 a0，exa0， 所以 exa，xln a. 因此当 a0 时，f(x)的单调递增区间为 R； 当 a0 时，f(x)的单调递增区间是ln a，) (2)因为 f(x)在(2,3)上单调递减， 所以 f(x)exa0 在(2,3)上恒成立 所以 aex在 x(2,3)上恒成立， 又因为2x3，所以 e 2exe3， 只需 ae3. 当 ae3时，f(x)exe3，在 x(2,3)上，f(x)0，得 8x 1 x20，即 x 31 8，x
15、1 2. f(x)的单调递增区间为 1 2，单调递减区间为(，0)， 0，1 2 . (2)定义域为(0,1)(1，) f(x) ln xx1 x ln x2 ln x1 ln x2 . 由 f(x)0，解得 xe； 由 f(x)0，解得 0 x0，解得 xln 2； 由 f(x)0，得2x0，得 cos x1 2， 解得 2k2 3 x2k2 3 (kZ)； 由 f(x)0，得 cos x1 2， 解得 2k2 3 x0，得到函数的单调递增区间；解不等 式 f(x)0，得到函数的单调递减区间另：求导的过程以及因式分解等常是解题中的关键因素 题型讨论函数的单调性 角度.含参函数单调性的讨论 试
16、/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12020 全国卷理已知函数 f(x)exax2x. (1)当 a1 时，讨论 f(x)的单调性； (2)当 x0 时，f(x)1 2x 31，求 a 的取值范围 解(1)当 a1 时，f(x)exx2x，f(x)ex2x1. 故当 x(，0)时，f(x)0. 所以 f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增 (2)f(x)1 2x 31 等价于 1 2x 3ax2x1 e x1. 设函数 g(x) 1 2x 3ax2x1 e x(x0)， 则 g(x) 1 2x 3ax2x13 2x 22ax1 e x 1 2xx 2(2a3)x4a2ex
17、1 2x(x2a1)(x2)e x. 若 2a10，即 a1 2， 则当 x(0,2)时，g(x)0. 所以 g(x)在(0,2)单调递增，而 g(0)1， 故当 x(0,2)时，g(x)1，不合题意 若 02a12， 即1 2a 1 2， 则当 x(0,2a1)(2，)时，g(x)0. 所以 g(x)在(0,2a1)，(2，)单调递减， 在(2a1,2)单调递增由于 g(0)1， 所以 g(x)1 当且仅当 g(2)(74a)e 21， 即 a7e 2 4 . 所以当7e 2 4 a2 时，令 f(x)0，得 xa a 24 2 或 xa a 24 2 ， 当 x 0，a a 24 2或 x
18、 a a24 2 ， 时，f(x)0. 所以 f(x)在 0，a a 24 2， a a24 2 ， 上单调递减，在 a a24 2 ，a a 24 2上单调递增 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 含参函数单调性的求法 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参 问题，有如下处理思路： (1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式0 和0 分类讨论，即“有无实根判别式，两种 情形需知晓” (2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数如 果首项系数有参数，就按首项系数为零、为
19、正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根 x1，x2的大 小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”. (3)注意：讨论两个根 x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义 域，紧跟踪，两根是否在其中” 口诀记忆 导数取零把根找，先定有无后大小； 有无实根判别式，两种情形需知晓 因式分解见两根，逻辑分类有区分； 首项系数含参数，先论系数零正负 首项系数无参数，根的大小定胜负； 定义域，紧跟踪，两根是否在其中 角度.利用单调性求参数的取值范围 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3若函数 h(x)ln x
20、1 2ax 22x(a0)在1,4上单调递减，则 a 的取值范围为_ 答案 7 16，0(0，) 探究 1(变条件)若本例条件变为“函数 h(x)在1,4上单调递增”，则 a 的取值范围为_ 答案(，1 2(变条件)若本例条件变为“函数 h(x)在1,4上存在单调递减区间”，则 a 的取值范围为_ 答案(1,0)(0，) 3(变条件)若本例条件变为“函数 h(x)在1,4上不单调”，则 a 的取值范围为_ 答案 1， 7 16 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上 f(x)0 或 f(x)0
21、恒成立，得到关于参数的不等 式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围 (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是 f(x)0 或 f(x)f(x) 恒成立，则不等式(2x2 019)2f(2x2 019)f(1)的解集为() A(1 010，1 009) B ，2 019 2 C 1 010，2 019 2 D(1 010,0) 答案C解析因为(2x2 019)2f(2x2 019)f(1)，即(2x2 019)2f(2x2 019)(1)2f(1)，所以可构 造函数 g(x)x2f(x)，原不等式化为 g(2x2 019)f(x)，即 x22fx x f(x)，所以
22、x32xf(x)x2f(x)，即 x32xf(x)x2f(x)由 x0，得 g(x)2xf(x)x2f(x)x30，故函 数 g(x)在(，0)上单调递减故 g(2x2 019)g(1)等价于 2x2 0191， 解得1 010 x 2f 4B 3f 6 f 3 Cf 6 3f 3D 2f 6 3f 4 答案CD解析本题考查导数的综合运用、函数的单调性构造函数 g(x) fx cos x 0 x 2 ，则 g(x) fxcos xfxsin x cos x2 g 3 ， 所以 f 6 3f 3 ， 同理，g 6 g 4 ， 即2f 6 3f 4 ，故选 CD. 方/法/指/导(来自课堂的最有用
23、的方法) 与求导法则有关的两类构造函数的方法 第一类：若已知 xf(x)f(x)的符号，则通常构造函数 g(x)fx x ； 若已知 xf(x)2f(x)的符号，则通常构造函数 g(x)fx x2 ； 若已知 f(x)f(x)的符号，则通常构造函数 g(x)fx ex . 第二类：若已知 xf(x)f(x)的符号，则通常构造函数 g(x)xf(x)； 若已知 x 3f(x)f(x)的符号，则通常构造函数 g(x)x 3f(x)； 若已知 f(x)2f(x)的符号，则通常构造函数 g(x)e2xf(x) 提醒 完成限时跟踪检测(十三) 第三节导数与函数的极值、最值 复习要点1.了解函数在某点取得
24、极值的必要条件和充分条件 2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 知识点一函数的极值与导数 1函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 xa 处的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值_，且 f(a)0，而且在 xa 附近的左侧_，右侧_，则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值 2函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 xb 处的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值_，且 f(b)0，而且在 xb 附近的左侧_，右侧_，则点 b 叫做函数的极大值点，
25、f(b)叫做函数的极大值 3函数的极值与极值点 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 答案：1.都小f(x)0f(x)02.都大f(x)0f(x)0 知识点二函数的最值与导数 1函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值 2求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 (1)求函数 yf(x)在(a，b)内的_ (2)将函数 yf(x)的各极值与_比较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小 值 答案：1.连续不断2.(1)极值(2)端点处的函数值 f(a)，f(b)最大最小 链/接/教/材 1选修
26、22P65A 组 T7若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex 1 的极值点，则 f(x)的极小值为() A1B2e 3 C5e 3 D1 答案：A解析：函数 f(x)(x2ax1)ex 1， 则 f(x)(2xa)ex 1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1 由 x2 是函数 f(x)的极值点，得 f(2)e 3(42a4a1)(a1)e30， 所以 a1. 所以 f(x)(x2x1)ex 1，f(x)ex1(x2x2) 由 ex 10 恒成立，得当 x2 或 x1 时，f(x)0， 且当 x0； 当2x1 时，f(x)1 时，f(x)0. 所以 x1 是函数 f(x)的极小值点
27、 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1. 故选 A. 2选修 22P65A 组 T7若 f(x)ax33x2 无极值，则 a 的范围为_ 答案：0，)解析：f(x)3ax23，36a0，所以 a0. 易/错/问/题 易混的一组概念：极值点；极值；最值 (1)函数 yx2 x(x0)的极小值点为_； (2)函数 yx2 x(x0)的极小值为_； (3)函数 yx2 x(x0)的最小值为_ 答案：(1)x 2(2)2 2(3)2 2 解析：(1)y1 2 x2，令 y0，得 x 2或 x 2(舍去)当 x(0， 2)时，y0.所以 x 2是函数的极小值点极值点是函数取得极值时对应的 x 的值，
28、而不是函数值 (2)由(1)知，当 x 2时，函数取得极小值 y 2 2 22 2. (3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，即 ymin2 2.极值是个“局部”概念，而最值是个“整体” 概念函数在开区间内只有一个极值时，那么极值是相应的最值 核/心/素/养 设函数f(x)x3ax2bx(x0)的图象与直线y4相切于点M(1,4)， 则yf(x)在区间(0,4上的最大值为_； 最小值为_ 答案： 40解析： f(x)3x22axb(x0) 依题意， 有 f10， f14， 即 32ab0， 1ab4， 解得 a6， b9. 所以 f(x)x36x29x. 令 f(x)3x212
29、x90，解得 x1 或 x3. 当 x 变化时，f(x)，f(x)在区间(0,4上的变化情况如下表： x(0,1)1(1,3)3(3,4)4 f(x)00 f(x)404 所以函数 f(x)x36x29x 在区间(0,4上的最大值是 4，最小值是 0. 题型运用导数求函数的极值 角度.极值与函数图象 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 安徽合肥模拟已知函数 f(x)x3bx2cx 的大致图象如图所示，则 x21x 2 2等于() A2 3 B4 3 C8 3 D16 3 答案C 2多选已知函数 f(x)是 R 上的可导函数，f(x)的导函数 f(x)的图象如图，则下列结
30、论不正确的是() Aa，c 分别是极大值点和极小值点 Bb，c 分别是极大值点和极小值点 Cf(x)在区间(a，c)上是增函数 Df(x)在区间(b，c)上是减函数 答案ABD解析由极值点的定义可知，a 是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数 f(x) 在区间(a，)上是增函数，故选 ABD. 3设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成 立的是() A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D
31、函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 答案D解析当 x0， (1x)f(x)0，f(x)0， 即函数 f(x)在(，2)上是增函数； 当2x0， (1x)f(x)0，f(x)0， 即函数 f(x)在(2,1)上是减函数； 当 1x2 时，1x0，f(x)2 时，1x0， (1x)f(x)0， 即函数 f(x)在(2，)上是增函数 综上，f(2)为极大值，f(2)为极小值故选 D. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) f(x)的单调性只与 f(x)的符号有关，与 f(x)的变化趋势无关 角度.已知函数求极值或极值点 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 42021 辽宁沈阳
32、模拟设函数 f(x)xex1，则() Ax1 为 f(x)的极大值点 Bx1 为 f(x)的极小值点 Cx1 为 f(x)的极大值点 Dx1 为 f(x)的极小值点 答案D解析由 f(x)xex1，可得 f(x)(x1)ex，令 f(x)0 可得 x1，即函数 f(x)在(1，) 上是增函数；令 f(x)0 可得 x0 时，令 f(x)0，解得 x 3a 3 或 x 3a 3 . 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (， 3a 3 ) 3a 3 ( 3a 3 ， 3a 3 ) 3a 3 ( 3a 3 ， ) f(x)00 f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以
33、 f(x)的单调递减区间为 3a 3 ， 3a 3，单调递增区间为 ， 3a 3， 3a 3 ， . (2)证明因为 f(x)存在极值点 x0， 所以由(1)知 a0 且 x00， 由题意，得 f(x0)3x20a0， 即 x20a 3，进而 f(x 0)x30ax0b2a 3 x0b， f(2x0)8x302ax0b 8a 3 x02ax0b 2a 3 x0bf(x0)， 且2x0 x0， 由题意及(1)知，存在唯一实数 x1，满足 f(x1)f(x0)，且 x1x0， 因此 x12x0，所以 x12x00. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 利用导数研究函数极值的一般流程 角度.由极值点或
34、极值求参数的值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 62021 河北张家口期末函数 f(x)x33ax2bx2a2在 x2 时有极值 0，那么 ab 的值为() A14B40 C48D52 答案B解析因为 f(x)x33ax2bx2a2，所以 f(x)3x26axb，由 f(x)在 x2 时有极值 0，可 得 f20， f20， 则 812a2b2a20， 1212ab0， 解得 a2， b12 或 a4， b36. 当 a4，b36 时，f(x)3x224x36 满足题意，函数 f(x)x33ax2bx2a2在 x2 时有极值 0.当 a2， b12 时，f(x)3x212x12
35、3(x24x4)3(x2)20，函数 f(x)在定义域上是增函数，没有极值点，不满足 题意，舍去所以 ab40.故选 B. 7若函数 f(x)aexsin x 在 x0 处有极值，则 a 的值为() A1B0 C1De 答案C 角度.由极值点或极值求参数范围 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 8多选2021 山东烟台模拟若能够使得函数 f(x)1 4x 4ax39 2x 2b(a，bR)仅在 x0 处有极值，则 a 可以 取的值为() A1B0 C2D3 答案ABC解析由题意可得 f(x)x33ax29xx(x23ax9)由于 x0 不满足方程 x23ax9 0， 要保证函数 f
36、(x)仅在 x0 处有极值， 所以 x23ax90 恒成立， 所以(3ah)360， 所以 9a236， 所以2a2. 所以 a 的取值范围是2,2，故选 ABC. 9多选2021 山东泰安肥城适应性训练已知函数 f(x) xex，xf(x2) C函数 f(x)的值域为e 1，) D若关于 x 的方程g(x)22ag(x)0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 2 e2， e2 8 e 2， 答案BC解析本题考查导数的应用、利用导数研究函数的单调性 对于选项 A,0 是函数 f(x)的零点，零点不是一个点，所以选项 A 错误 对于选项 B，当 x1 时，f(x)(x1)ex，可得当
37、 x1 时，f(x)单调递减； 当1x1 时，f(x)单调递增 所以当 0 x1 时，0f(x)1 时，f(x)e xx3 x4 ， 可得当 1x3 时，f(x)3 时，f(x)0，f(x)单调递增 所以当 1x3 时，e 3 27f(x)e， 综上可得，所以选项 B 正确 对于选项 C，f(x)minf(1)1 e，所以选项 C 正确 对于选项 D，关于 x 的方程g(x)22ag(x)0 有两个不相等的实数根关于 x 的方程 g(x)g(x)2a0 有两个 不相等的实数根关于 x 的方程 g(x)2a0 有一个非零的实数根函数 yg(x)与 y2a 的图象有一个交点，且交 点的横坐标 x0
38、. g(x) x2ex，x1， ex x2，x1. 当 x1 时，g(x)ex(x22x)， 当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如表所示. xx222x000 x1 g(x)00 g(x)增极大值减极小值增 极大值 g(2) 4 e2，极小值 g(0)0，且 x时，g(x)0；x1 时，g(x)e. 当 x1 时，g(x)e xx2 x3 ， 当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如表所示. x11x2 g(x)0 g(x)e减极小值增 综上可得， 4 e22ae， 所以实数 a 的取值范围是 2 e2， e2 8 e 2， 所以选项 D 错误 方/法/指/导(来自课堂的最有用
39、的方法) 已知函数极值点和极值求参数的两个要领 1列式 根据极值点处导数为 0 和极值列方程组，利用待定系数法求解 2验证 因为一点处的导数等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后须对所求结果进行验证 题型利用导数研究函数的最值 角度.已知函数求函数的最值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_ 答案3 3 2 解析f(x)2cos x2cos 2x 2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1) 2(2cos x1)(cos x1) cos x10， 当 cos x1 2时，f(x)1 2时
40、，f(x)0，f(x)单调递增 当 cos x1 2，f(x)有最小值 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 当 sin x 3 2 时，f(x)有最小值， 即 f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 22020 全国卷理已知函数 f(x)sin2xsin 2x. (1)讨论 f(x)在区间(0，)的单调性； (2)证明：|f(x)|3 3 8 ； (3)设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx3 n 4n. (1)解f(x)cos x(sin xsin 2x)sin x(sin xsin 2x) 2sin xcos xsin
41、 2x2sin2xcos 2x 2sin xsin 3x. 当 x 0， 3 2 3 ， 时，f(x)0； 当 x 3， 2 3 时，f(x)0)在1，b上的值域为22a,0，则 b 的取值范 围是() A0,3B0,2 C2,3D(1,3 答案A解析由 f(x)(xa)33xa， 得 f(x)3(xa)23， 令 f(x)0，得 x1a1，x2a1. 当 x(，a1)(a1，)时，f(x)0； 当 x(a1，a1)时，f(x)0，则 a11， 所以 f(x)在1，)上先单调递增，再单调递减，再单调递增 f(1)(1a)33aa33a22a2， f(a1)(1)33(a1)aa3a3122a，
42、 f(a1)133(a1)a2a2. 因为 f(x)(xa)33xa(a0)在1，b上的值域为22a,0， 所以 f(1)f(a1) 当 f(1)f(a1)时，a33a22a22a2， 即(a1)(a2)20. 由于 a0，解得 a1. 此时 f(a1)f(0)220. f(x)x33x2. 令 f(x)0， 解得 x0 或 3. 故此情况下：0b3. 当 f(1)f(a1)时， 因为 f(a1)2a2， 所以 ba11， 且a33a22a22a2， 即(a1)(a24a4)0， 即 a10， 解得 a0. 而 a11，b， 与 f(x)在1，b上的值域为22a,0相矛盾 故此情况不成立 综上
43、所述，a1,0b3. 角度.含参函数的最值问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 52016 全国卷(1)讨论函数 f(x)x2 x2e x的单调性，并证明当 x0 时，(x2)exx20； (2)证明：当 a0,1)时，函数 g(x)e xaxa x2 (x0)有最小值设 g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域 解(1)f(x)的定义域为(，2)(2，) f(x)x1x2e xx2ex x22 x2ex x220， 当且仅当 x0 时，f(x)0， 所以 f(x)在(，2)，(2，)上单调递增 因此当 x(0，)时，f(x)f(0)1. 所以(x2)ex(x2)，
44、(x2)exx20. (2)g(x)x2e xax2 x3 x2 x3 f(x)a 由(1)知，f(x)a 在(0，)上单调递增 对任意 a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0. 因此，存在唯一 xa(0,2， 使得 f(xa)a0，即 g(xa)0. 当 0 xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增 因此 g(x)在 xxa处取得最小值，最小值为 g(xa)exaaxa1 x2a exafxaxa1 x2a exa xa2. 于是 h(a) exa xa2， 由 ex x2 x1e x x22 0， 得 y ex x2单调递增 所以，由 xa(
45、0,2， 得1 2 e0 020，xR，g(x) 1 x21x.若x 1(，1，x2 ，1 2 ，使得 f(x1) g(x2)，求实数 a 的取值范围 解f(x)x22 3ax 3， f(x)2x2ax22x(1ax) 令 f(x)0，得 x0 或 x1 a. a0，1 a0， 当 x(，0)时，f(x)0， f(x)在(，1上单调递减，f(x)在(，1上的值域为 12a 3 ， . g(x) 1 x21x， g(x) 1 x2x3 3x22x x2x32 3x2 x31x2. x0， g(x)在 ，1 2 上单调递增， g(x)g 1 2 8 3. g(x)在 ，1 2 上的值域为 ，8 3
46、 . 若x1(，1，x2 ，1 2 ， 使得 f(x1)g(x2)，则 12a 3 8 3，a 5 2. 故实数 a 的取值范围是 0，5 2 . 解/题/感/悟(小提示，大智慧) “存在存在”型 若x1D1，x2D2，使得 f(x1)g(x2)，等价于函数 f(x)在 D1上的值域 A 与函数 g(x)在 D2上的值域 B 的交 集不为空集，即 AB. 其等价转化的基本思想：两个函数有相等的函数值，即它们的值域有公共部分 角度.“任意存在”型 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 2已知函数 f(x)4x 27 2x ，x0,1 (1)求 f(x)的单调区间和值域； (2)设 a1
47、，函数 g(x)x33a2x2a，x0,1若对于任意 x10,1，总存在 x00,1，使得 g(x0)f(x1)成立， 求 a 的取值范围 解(1)f(x)4x 216x7 2x2 2x12x7 2x2 ，x0,1 令 f(x)0，解得 x1 2或 x 7 2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x00，1 2 1 2 1 2，1 1 f(x)0 f(x) 7 2 43 所以 f(x)的递减区间是 0，1 2 ，递增区间是 1 2，1. f(x)minf 1 2 4， 又 f(0)7 2，f(1)3， 所以 f(x)maxf(1)3. 故当 x0,1时，f(x)的值域为 B
48、4，3 (2)“对于任意 x10,1，总存在 x00,1，使得 g(x0)f(x1)成立”等价于“在 x0,1上，函数 f(x)的值域 B 是函数 g(x)的值域 A 的子集，即 BA” 因为 a1，所以当 x(0,1)时，g(x)3(x2a2)0，则 x2 3， 令 f(x)0，则 0 x0,2xln x0，u(x)在 1 2，1上单调递增； 当 x(1,2)时，1x0， 则 u(x)g(x2)恒成立，等价于 f(x)ming(x)max或等价于 f(x)g(x)max恒成立，或等价于 f(x)ming(x)恒成立其等价转化思想是函数 f(x)的任何一个函数值均大于函数 g(x)的任何一个函
49、数值 (2)x1D1，x2D2，都有 f(x1)g(x2)恒成立，等价于 f(x)maxg(x)min或等价于 f(x)g(x)min恒成立，或等价于 f(x)maxk 恒成立， 等价于f(x1)g(x2)mink 恒成立， 也等价于 f(x)ming(x)maxk. (4)x1D1， x2D2， 都有 f(x1)g(x2)k 恒成立， 等价于f(x1)g(x2)maxk 恒成立， 也等价于 f(x)maxg(x)mink. 角度.“任意()存在”型 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4函数 f(x)ln x1 4x 3 4x1，g(x)x 22bx4，若对任意 x1(0,2)，
50、存在 x21,2，使 f(x1)g(x2)，求实数 b 的取值范围 解“对任意 x1(0,2)，存在 x21,2，使 f(x1)g(x2)”等价于“f(x)在(0,2)上的最小值不小于 g(x)在1,2上 的最小值，即 f(x)ming(x)min”(*) f(x)1 x 1 4 3 4x2 x1x3 4x2 ， 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增 故当 x(0,2)时，f(x)minf(1)1 2. 又 g(x)(xb)24b2，x1,2， 当 b(，1)时，因为 g(x)ming(1)52b3，此时与(*)式矛盾； 当 b1,2时，因为 g(x)min4b20，同样与(*)式
