1、课时跟踪检测课时跟踪检测 10数列的求和方法数列的求和方法 (对应学生用书 P087) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列 1 anan1的前 100 项和为() A.100 101 B. 99 101 C. 99 100 D.101 100 解析由题意得5a15 2 15，a11，da5a1 51 1，ann. 1 anan1 1 nn1 1 n 1 n1， S100 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 99 1 100 1 100 1 101 1 1 101 100 101. 答案A 2已知数列an的各项均为正数，
2、a11，a2n1a2n1，则数列 1 an1an的 前 8 项和为() A2 2B2 21 C2D1 解析由题意，因为 a11，a2n1a2n1，所以数列a2n为等差数列，且公 差为 1，首项为 1， 所以 a2n1(n1)1n，又因为数列an的各项均为正数，所以 an n， 所以 1 an1an 1 n1 n n1 n，所以数列 1 an1an的前 8 项的和 为 S8( 21)( 3 2)( 9 8)312，故选 C. 答案C 3已知数列an的通项公式为 an(1)n(2n1)cosn 2 1(nN*)，其前 n 项和为 Sn，则 S60() A30B60 C90D120 解析因为 a4m
3、1a4m2a4m3a4m41(8m3)11(8m7)1 8， 所以 S60158120.故选 D. 答案D 4在数列an中，若 a10，an1an2n，则 1 a2 1 a3 1 an的值( ) A.n1 n B.n1 n C.n1 n1 D. n n1 解析由题意，数列an中，a10，an1an2n， 则当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1212 (n1)n(n1)，所以 1 an 1 nn1 1 n1 1 n， 所以 1 a2 1 a3 1 an 11 2 1 2 1 3 1 n1 1 n 11 n n1 n ，故选 A. 答案A 5 函数 f(x)sin(2x
4、)(| 2)的图像向左平移 6个单位后为偶函数， 设数列 an的通项公式为 anf n 6 ，则数列an的前 2019 项之和为() A0B1 C.3 2 D2 解析函数f(x)向左平移 6个单位后得sin2x 6sin2x 3， 为偶函数， 根据诱导公式可知 3 2 ， 6 ，故 f(x)sin 2x 6 ，所以 anf n 6 sin n 3 6 ，根据三角函数的周期性可知 an是周期为 6 的周期数列，即每 6 项和 为零，故 S2019S20163S3a1a2a3sin 2sin 5 6 sin 6 1.故选 B. 答案B 6已知数列 an2n1(nN*)，Tn为数列 1 anan1的
5、前 n 项和，则使不等式 Tn2017 4035成立的最小正整数 n 为( ) A2016B2018 C2017D2015 解析已知数列 an2n1(nN*)， 1 anan1 1 2n12n1 1 2 1 2n1 1 2n1 . Tn1 2 11 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1 1 2 1 1 2n1 n 2n1. 不等式 Tn2017 4035，即 n 2n1 2017 4035，解得 n2017. 使得不等式成立的最小正整数 n 的值为 2017.故选 C. 答案C 7设等差数列an的前 n 项和为 Sn，Sm113，Sm0，Sm115，其中 mN*且 m2，则数列 1 an
6、an1的前 n 项和的最大值为() A. 1 143 B. 24 143 C. 6 13 D.24 13 解析Sm113，Sm0，Sm115， amSmSm101313， am1Sm1Sm15015， 又数列an是等差数列， 公差 dam1am15132， 则 m1a1m1m2 2 213， ma1mm1 2 20， 解得 a113， ana1(n1)d132(n1)152n， 当 an0 时，即 n7.5，当 an10 时，即 n6.5， 数列的前 7 项为正数， 1 anan1 1 152n132n 1 2 1 132n 1 152n ， 数列 1 anan1的前 n 项和的最大值为 1
7、2 1 11 1 13 1 9 1 11 1 7 1 91 1 3 1 2 1 1 13 6 13.故选 C. 答案C 二、填空题 8若log2an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列nan的前 n 项和为 _ 解析依题意 log2an1(n1)22n1，所以 an22n 1，nann22n1， 设其前n项和为Sn， 则Sn12223n22n 1， 两边乘以4得到4Sn123 225n22n 1， 两式相减得3Sn22322n1n22n1214n 14 n22n 1，化简得 Sn6n24n2 9 . 答案 6n24n2 9 9在等差数列an中，已知 a1a30，a2a42，则数列 an
8、 2n 1 的前 10 项和是_ 解析a1a32a20，则 a20；a2a42a32，则 a31， 首项 a11，d1， an1(n1)(1)n2， Sn 1 20 0 21 n2 2n 1 ， 1 2S n 1 21 0 22 n2 2n ， 1 2S n 1 20 1 21 1 22 1 2n 1 n2 2n n 2n， Sn n 2n 1，S1010 29 5 256. 答案 5 256 10把函数 f(x)sinx(x0)所有的零点按从小到大的顺序排列，构成数列 an，数列bn满足 bn3nan，则数列bn的前 n 项和 Tn_. 解析由题意可得：a1，a22，ann， 则 bnn3n
9、. Tn31232n3n， 3Tn32(n1)3nn3n 1，相减得： 2Tn31323nn3n1 (31323n)n3n 13n 13 2 n3n 1， Tn2n13 n13 4 . 答案 2n13n 13 4 三、解答题 11已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且关于 x 的不等式 a3x2S3x20 的解集 1 5，2. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2 an1 2an，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解(1)不等式 a3x2S3x20 的解集为 1 5，2，可得1 5，2 为方程 a 3x2 S3x20 的两根， 即有 1 25a 31 5S 320， 4a32S3
10、20. 解得 a35， S39， 又 S33a29，即 a23，可得 d2， an的通项公式为 an2n1； (2)由(1)可得 bn2n2n1，所以数列bn的前 n 项和 Tn(242n) (132n1)212 n 12 1 2n(12n1)2 n1n22. 12在公差不为零的等差数列an中，a617，且 a3，a11，a43成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn 1 a2nan2，求数列b n的前 n 项和 Sn. 解(1)设数列an的公差为 d(d0) 因为 a617， a211a3a43， 所以 a15d17， a110d2a12da142d， 解得 a12， d3，
11、 所以 an23(n1)3n1. (2)bn 1 a2nan2 1 an1an2 1 3n23n1 1 3 1 3n2 1 3n1 . 所以 Sn1 3 1 1 1 4 1 4 1 7 1 3n2 1 3n1 1 3 1 1 3n1 n 3n1. 13已知数列an满足首项为 a12，an12an(nN)；设 bn3log2an2(n N)，数列cn满足 cnanbn； (1)求 bn； (2)求数列cn的前 n 项和 Sn. 解(1)数列an满足首项为 a12，an12an(nN)； 可得 an2n， bn3log2an23log22n23n2. (2)cnanbn(3n2)2n， 前 n 项
12、和 Sn124478(3n2)2n， 2Sn1448716(3n2)2n 1， 相减可得Sn23(482n)(3n2)2n 1 23412 n1 12 (3n2)2n 1， 化简可得 Sn10(3n5)2n 1. 素养能力题从容有序过 14.已知数列an满足 a12a23a3nan(2n1)3n，设 bn4n an，S n为 数列bn的前 n 项和若 Sn(常数)，nN*，则的最小值是() A.3 2 B.9 4 C.31 12 D.31 18 解析a12a23a3nan(2n1)3n， 当 n2 时，类比写出 a12a23a3(n1)an1(2n3)3n 1， 由得 nan4n3n 1，即
13、an43n1. 当 n1 时，a134， an 3，n1， 43n 1，n2， bn 4 3，n1， n 3n 1，n2. Sn4 3 2 3 3 32 n 3n 11 3 1 30 2 3 3 32 n 3n 1， 1 3S n1 9 1 3 2 32 3 33 n1 3n 1 n 3n， 得 2 3S n2 9 1 30 1 3 1 32 1 33 1 3n 1 n 3n 2 9 1 1 3n 11 3 n 3n， Sn31 12 6n9 43n 31 12， Sn(常数)，nN*，的最小值是31 12，故选 C. 答案C 15已知 nN*，集合 Mn 1 2， 3 4， 5 8， 2n1
14、 2n，集合 Mn所有非空子集 的最小元素之和为 Tn，则使得 Tn60 的最小正整数 n 的值为_ 解析当 n2 时，Mn的所有非空子集为： 1 2， 3 4 ， 1 2 ， 3 4 ，T17 4； 当 n3 时，T21 24 3 41 5 824； 当 n4 时， 当最小值为2n1 2n 时， 每个元素都有有或无两种情况， 除2n1 2n 外 共有 n1 个元素，共有 2n 1 个子集，S12n1 2 ；当最小值为2n3 2n 1 ，不含2n1 2n ， 含2n3 2n 1 ， 共 n2 个元素，有 2n 2 个子集， TS1S2S3Sn2n1 2 2n3 2 7 22 3 4 n21 2 60，n2 121，解得最小正整数 n 的值为 12.故答案为 12. 答案12
