1、第五章平面向量 第一节平面向量的概念及线性运算 复习要点1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示 2掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义 3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义 知识点一向量的有关概念 名称定义 向量 既有_又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 _(或称_) 零向量 _的向量叫做零向量，其方向是_的，零向量记作 _ 单位向量长度等于_个单位的向量 平行向量 方向相同或_的_向量叫做平行向量，平行向量又叫 _向量 规定：_与任一向量_ 相等向量长度_且方向_的向量 相反向量长度
2、_且方向_的向量 答案：大小方向模向量的长度长度为零不确定01相反非零共线零向量平行相等 相同相等相反 知识点二向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 交换律：ab _； 结合律： (ab)ca (_) 续表 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算 aba (_) 数乘 求实数与向量 a 的 积的运算 |a|a|， 当0 时， a 与 a 的 方向 _； 当0 时， a 与 a 的 方向 _； 当0 时，a0 ( a) (_)a； ()a _； (ab) _ 答案：babcb相同相反a
3、aab 知识点三向量共线定理 1共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使得_ 2若 a 为非零向量，a0为其单位向量，则有 a|a|a0或 a0 a |a|. 答案：1.ba 链/接/教/材 1必修 4P78A 组 T6 改编给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向量， 则 ab；向量AB 与BA相等则所有正确命题的序号是( ) AB CD 答案：A 2必修 4P91A 组 T4 改编若菱形 ABCD 的边长为 2，则|AB CBCD |_. 答案：2 3必修 4P90练习 T4 改编已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与
4、(b3a)共线，则_. 答案：1 3 易/错/问/题 1向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量 (1)若四边形 ABCD 满足AD BC ，则四边形 ABCD 的形状是_ (2)若四边形 ABCD 满足AD kBC (k0，且 k1)，则四边形 ABCD 的形状是_ (1)答案：平行四边形解析：AD BC 表示 ADBC 且 ADBC，所以四边形 ABCD 是平行四边形 (2)答案：梯形解析：AD kBC (k0，且 k1)表示 ADBC，但 AD 与 BC 不相等，所以四边形 ABCD 是梯 形 2处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论 (1)若 a 与 b 是共线向量，b 与 c
5、 是共线向量，则 a 与 c 的关系是_ 注意：在处理向量问题时不要忽略零向量 (2)已知两向量 a，b，若|a|1，|b|2，则|ab|的范围是_ 注意：在一般情况下，|ab|a|b|不成立 (1)答案：共线向量或不共线向量解析：若 b0，则 a 与 c 未必是共线向量；若 b 是非零向量，则 a 与 c 是 共线向量 (2)答案：1,3解析：当 a，b 方向相同时，有|ab|3；当 a，b 方向相反时，有|ab|1；当 a，b 不共线 时，1|ab|b； 若 ab，bc，则 ac； 若向量AB CD ，则 A，B，C，D 四点能构成平行四边形； 若 ab，bc，则 ac； 向量 ab 的充
6、要条件是|a|b|且 ab； 与非零向量 a 共线的单位向量为 a |a|； 若a0(为实数)，则必为零 其中正确的是_(只填序号) 答案解析错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段正确说法：向量与 有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示 错误：长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为 1，但是方向不确定，所以单位向量 不一定都相等 错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小正确说法：若|a|2，|b|1，则|a|b|. 正确：因为 ab，所以 a，b 的长度相等且方向相同又 bc，所以 b，c 的长度相等且方向相同所以 a， c 的长度相等且
7、方向相同，故 ac. 错误：若向量AB CD ，则|AB |CD |且AB CD ，所以直线 AB 与 CD 平行或重合，故 A，B，C，D 四点不 一定能构成平行四边形正确说法：已知 A，B，C，D 是不共线的四点，若向量AB CD ，则 A，B，C，D 四点能 构成平行四边形 错误：零向量与任一向量平行，故当 ab，bc 时，若 b0，则 a，c 不一定平行 错误：当|a|b|且 ab 时，若 a，b 方向相反，则 a 与 b 是相反向量，即 ab，得不到 ab；当向量 a b 时，a 与 b 的模相等且方向相同，所以可以得到|a|b|且 ab.综上，向量 ab 是|a|b|且 ab 的充
8、分不必要 条件 正确：向量 a |a|的方向与非零向量 a 的方向相同，向量 a |a|的模为| a |a| 1 |a|a| 1 |a|a|1；向量 a |a|的方向与非 零向量 a 的方向相反，向量 a |a|的模为| a |a| 1 |a|a| 1 |a|a|1. 综上，向量 a |a|是与非零向量 a 共线的单位向量 错误：当 a0 时，a0，所以若a0(为实数)，则 0 或 a0. 2给出下列命题： 零向量是唯一没有方向的向量； 零向量的长度等于 0； 若 a，b 都为非零向量，则使 a |a| b |b|0 成立的条件是 a 与 b 反向共线 其中错误的命题的个数为() A0B1 C
9、2D3 答案B 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 平面向量基本概念的辨析 1向量与有向线段 向量可以用有向线段表示，区别是有向线段位置固定，而向量可以平移 2零向量与单位向量 零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模都确定，但方向不确定 3向量与数量 向量与数量不同，向量本身不能比较大小，只可以判断是否相等，但向量的模可以比较大小 4相等向量与平行向量 相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量 5向量平行与直线平行 向量平行可以在同一条直线上或者在两条平行直线上 题型向量的线性运算 角度.平面向量的线性运算与几何意义 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12020
10、新高考若 D 为ABC 的边 AB 的中点，则CB () A2CD CA B2CA CD C2CD CA D2CA CD 答案A解析D 为ABC 的边 AB 的中点， CD 1 2(CA CB)， CB 2CD CA .故选 A. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 2多选2021 山东济宁嘉祥一中模拟在ABC 中，D，E，F 分别是边 BC，AC，AB 的中点，下列说法正确 的是() AAB ACAD 0 BDA EB FC0 C若 AB |AB | AC |AC | 3AD |AD | ，则BD 是BA 在BC上的投影向量 D若点 P 是线段 AD 上的动点，且满足BP BABC，则
11、的最大值为1 8 答案BCD解析本题考查平面向量的加法、减法的几何意义，数形结合的应用如图所示 对选项 A，AB ACAD 2AD AD AD 0，故 A 错误 对选项 B，DA EB FC1 2(AB AC)1 2(BA BC)1 2(CA CB)1 2AB 1 2AC 1 2BA 1 2BC 1 2CA 1 2CB 1 2AB 1 2AC 1 2AB 1 2BC 1 2AC 1 2BC 0，故 B 正确 对选项 C， AB |AB |， AC |AC |， AD |AD | 分别表示平行于AB ， AC，AD 的单位向量，由平面向量加法可知， AB |AB | AC |AC |表示的向 量
12、在BAC 的平分线上 因为 AB |AB | AC |AC | 3AD |AD | ， 所以 AD 为BAC 的平分线 又因为 AD 为 BC 的中线， 所以 ADBC，如图所示 BA 在BC的投影为|BA|cos B|BA|BD | |BA |BD |， 所以BD 是BA 在BC上的投影向量，故 C 正确 对选项 D，如图所示 点 P 在线段 AD 上，即 A，P，D 三点共线 因为BP BABCBA2BD ， 所以21，0,1， 0，1 2 . 1 22 1 2 2 2 21 8， 当且仅当1 2， 1 4时取等号所以取得最大值 1 8.故 D 正确 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法
13、) 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法 则，求首尾相连向量的和用三角形法则 (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系；化简结果 角度.线性运算中的参数求值问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 32021 河北 2 月质检在ABC 中，O 为ABC 的重心若BO AB AC，则2( ) A1 2 B1 C4 3 D4 3 答案D解析
14、如图，连接 BO 并延长交 AC 于点 M，点 O 为ABC 的重心，M 为 AC 的中点， BO 2 3BM 2 3 1 2BA 1 2BC 1 3AB 1 3BC 1 3AB 1 3(AC AB)2 3AB 1 3AC ， 又知BO AB AC， 2 3， 1 3，2 2 32 1 3 4 3，故选 D. 4多选如图所示，点 A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 P，若AP AB，OC OA 3OB ，则() AP 为线段 OC 的中点时，1 2 BP 为线段 OC 的中点时，1 3 C无论取何值，恒有3 4 D存在R，1 2 答案AC解析OP 和OC 共
15、线， 存在实数 m， 使OP mOC mOA 3mOB ， AP OP OA ，AB OB OA ， AP mOA 3mOB OA (m1)OA 3mOB OA OB ， m1， 3m， 解得3 4，m 1 4.故 C 说法正确 当 P 为线段 OC 的中点，即 m1 2时， 1 2，故 A 说法正确故选 AC. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 向量运算归根结底是基底化运算，在同一对基底下两个向量相等，对应系数相同，这是解决参数问题的常用思 路，关键是转化为相同的基底另外，共线向量的几何意义也常用于解决有关参数现象 角度.向量的三角不等式的运用 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
16、 5 2021 湖南师大附中月考已知 a， b 为单位向量， 且 ab， 向量 c 满足|cab|2， 则|c|的取值范围为() A1,1 2 B2 2，2 2 C 2，2 2 D32 2，32 2 答案B解析解法一：由向量的三角不等式，得 |c|ab|c(ab)|c|ab|， |c|ab|2|c|ab|. a，b 为单位向量，且 ab， |ab| ab2 |a|22ab|b|2 101 2， |c| 2|2|c| 2， 解得 2 2|c|2 2.故选 B. 解法二：如图，设OA a，OB b，OC c. OAOB，则 abOD ，cabc(ab)OC OD DC . |OA |a|1，|OB
17、 |b|1， |OD | 1212 2. |cab|2，|DC |2， 点 C 在以 D 为圆心，2 为半径的圆上运动 易得|DC |OD |OC |DC |OD |， 2 2|c|2 2.故选 B. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 向量的三角不等式 已知两个非零向量 a 与 b，则有|a|b|ab|a|b|. 1向量 a 与 b 不共线 |a|b|ab|0，0，则的最小值为_ 答案 32 2 3 解析连接 AD.因为 2BD CD 0， 所以BD 1 3BC ， AD AB BD AB 1 3BC AB1 3(AC AB )2 3AB 1 3AC .因为 D，M，N 三点共线，所以
18、存在 xR，使AD xAM (1x)AN ，则AD xAB (1x)AC， 所以 xAB (1x)AC 2 3AB 1 3AC ，根据平面向量基本定理，得 x2 3，(1x) 1 3，所以 x 2 3，1x 1 3，所以 2 3 1 31，所以 1 3() 2 1 1 3 32 32 2 3 ，当且仅当 2时等号成立，的最小值为 32 2 3 . 4设OA ，OB 不共线，求证：点 P，A，B 共线的充要条件是：OP OA OB 且1，R. 证明充分性：1， OP OA OB (1)OA OB OA (OB OA ) OA AB . OP OA AB . AP AB，AP，AB共线 AP ，A
19、B有公共点 A， A，P，B 三点共线 必要性：若 P，A，B 三点共线， 则AP AB(OB OA ) OP OA OB OA . OP (1)OA OB . 令1，则OP OA OB ， 其中1. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1准确理解共线向量定理 ab 等价于存在不全为零的实数1，2，使1a2b0 成立 2共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具 解题过程中常用到结论：“P，A，B 三点共线”等价于“对直线 AB 外任意一点 O，总存在非零实数，使OP OA (1)OB 成立” 3含参共线问题的解法 解决含有参数的共线问题时，经常要用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方
20、程组，解方程或方程组得 到参数的值 提醒 完成限时跟踪检测(二十四) 第二节平面向量基本定理及坐标运算 复习要点1.了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件 知识点一平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1，2， 使 a_，称 e1，e2为基底若 e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2分别为与 x 轴、y 轴 方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底 答案：不共线1e12e2 知识点二
21、平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与_的两个单位向量 i，j 作为基底，对任一向量 a，有唯一一对实 数 x，y，使得：axiyj，_叫做向量 a 的直角坐标，记作 a(x，y)，显然 i_，j_， 0_. 答案：x 轴、y 轴正方向相同(x，y)(1,0)(0,1)(0,0) 知识点三平面向量的坐标运算 1设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，ab_，a_， |a| x21y21. 2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB _， |AB |_. 答案：1.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1) 2(x2x1，y2y1)x2x12y2y12 知
22、识点四平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)ab_； (2)若 a0，则与 a 平行的单位向量为_ 答案(1)x1y2x2y10(2) a |a| 链/接/教/材 1必修 4P101A 组 T5 改编已知向量 a(4,2)，b(x,3)，且 ab，则 x 的值是() A6B6 C9D12 答案：B 2必修 4P101A 组 T7 改编已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC (4，3)，则向量BC( ) A(7，4)B(7,4) C(1,4)D(1,4) 答案：A 3必修 4P96例 2 改编若向量 a(2,1)，b(1,2)，c 0，5 2 ，则 c
23、可用向量 a，b 表示为() A1 2ab B1 2ab C3 2a 1 2b D3 2a 1 2b 答案：A 易/错/问/题 向量易忽略的两个问题：向量的夹角；单位向量 (1)等边三角形 ABC 中，若AB a，BCb, 则 a，b 的夹角为_ (2)已知 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB 共线的单位向量为_ (1)答案：120解析：求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此 a，b 的夹角为 120. (2)答案： 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5解析：由已知得AB (3，4)，所以|AB|5，因此与AB共线的单位向量为1 5AB 3 5， 4 5 或1 5AB 3 5，
24、4 5 . 核/心/素/养 如图2， “六芒星”是由两个全等正三角形组成， 中心重合于点O且三组对边分别平行 点A， B是“六芒星”(如 图 1)的两个顶点，动点 P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP xOA yOB ，则 xy 的取值范围是() A4,4B 21， 21 C5,5D6,6 答案：C解析：如图，建立平面直角坐标系， 令正三角形边长为 3， 则OB i，OA 3 2i 3 2 j， 可得 iOB ，j2 3 3 OA 3OB ， 由图知当 P 在 C 点时有OP 3j2OA 3OB ， 此时 xy 有最大值 5； 同理点 P 在与 C 相对的下顶点时有OP 3j2OA 3O
25、B ，此时 xy 有最小值5. 题型平面向量基本定理及应用 角度.基底的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1下面几种说法中，正确的是_(填序号) 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； 零向量不可以作为基底中的向量； ae1e2(，R)可以表示平面内的所有向量； 若 e1，e2是平面内不共线的两个向量，则 e12e2与 4e22e1可作为表示平面内所有向量的一组基底； e1，e2是平面内不共线的两个向量，若e1e20，则0； 同一向量在不同基底下的表示是相同的； 若 e1，e2是平面内不共线的两个向量，则对于平面内的任意向量 a，使 ae1e2成立的
26、实数对(，)有 无穷多个 答案解析错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基底的 选取并不是唯一的； 正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符； 错误：根据平面向量基本定理可知，e1，e2必须是不共线向量； 错误：因为 e12e21 2(4e 22e1)，所以向量 e12e2,4e22e1是共线向量，不能作为表示平面内所有向量 的一组基底； 正确：因为 e1，e2为一组不共线向量，若e1e20，即e1e2，只有当0 时，才能成立； 错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的； 错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(，)应该只有唯一一对
27、 2在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是() Ae1(0,0)，e2(1,2) Be1(1,2)，e2(5，2) Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2(2,3) 答案B解析设 ak1e1k2e2， A 项，(3,2)(k2,2k2)， k23， 2k22， 无解； B 项，(3,2)(k15k2,2k12k2)， k15k23， 2k12k22， 解得 k12， k21. 故 B 中的 e1，e2可把 a 表示出来 同理，C，D 项同 A 项，无解 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 基底的“唯一”与“不唯一” “不唯一”：只要同一平面内两个向量不共
28、线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不 唯一； “唯一”：平面内任意向量 a 都可被这个平面内的一组基底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是 唯一的 角度.利用已知基底表示平面向量 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab(，R)，则 _. 答案4解析设 i，j 分别为水平方向和竖直方向 上的正向单位向量，则 aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量 基本定理，得2，1 2，所以 4. 4在ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且BD 2DC ，CE
29、 3EA，若ABa，ACb，则DE () A1 3a 5 12b B1 3a 13 12b C1 3a 5 12b D1 3a 13 12b 答案C 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的 形式，再通过向量的运算来解决 题型向量的坐标运算 角度.向量的坐标运算 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知ABC 的三个顶点 A，B，C 的坐标分别为(0
30、,1)，( 2，0)，(0，2)，O 为坐标原点，动点 P 满足|CP | 1，则|OA OB OP |的最小值是() A 31B 111 C 31D 111 答案A 2已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP 1 2MN ，则 P 点的坐标为() A(8,1)B 1，3 2 C 1，3 2D(8，1) 答案B解析设 P(x，y)，则MP (x3，y2)，而1 2MN 1 2(8,1) 4，1 2 ，所以 x34， y21 2， 解得 x1， y3 2， 所以 P 1，3 2 . 3 已知正ABC 的边长为 2 3， 平面 ABC 内的动点 P， M 满足|AP |1， PM MC ， 则|B
31、M |2的最大值是_ 答案 49 4 解析建立平面直角坐标系如图所示， 则 B( 3，0)，C( 3，0)，A(0,3)，则点 P 的轨迹方程为 x2(y3)21.设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 x2x0 3， y2y0，代入圆的方程得 x0 3 2 2 y03 2 21 4，所以点 M 的轨迹方程为 x 3 2 2 y3 2 21 4，它表示以 3 2 ，3 2 为圆心，以1 2为半径的圆，所以|BM |max 3 2 3 2 3 20 21 2 7 2，所以|BM |2max49 4 . 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 求解向量坐标运算问题的一般思路 1向量问题坐标化 向
32、量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起 来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算 2巧借方程思想求坐标 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量 的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用 3妙用待定系数法求系数 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数 角度.利用共线向量坐标表示求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且 ab，若 x，y 均为正数，则3 x 2 y的
33、最小值是( ) A24B8 C8 3 D5 3 答案B 5设向量OA (1，2)，OB (2m，1)，OC (2n,0)，m，nR，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线， 则 mn 的最大值为() A3B2 C2D3 答案A解析由题意易知，AB AC， 其中AB OB OA (2m1,1)， AC OC OA (2n1,2)， 所以(2m1)21(2n1)， 得 2m 12n1,2m12n2 2mn1， 所以 2m n122，即 mn3. 6已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM t1OA t2AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t11
34、 时，不论 t2为何实数，A，B，M 三点共线 (1)解OM t1OA t2AB t1(0,2)t2(4,4) (4t2,2t14t2) 点 M 在第二或第三象限 4t20， 2t14t20. 解得 t20 且 t12t20. 故所求的充要条件为 t20 且 t12t20. (2)证明当 t11 时，由(1)知，OM (4t2,4t22) 因为AB OB OA (4,4)， AM OM OA (4t2,4t2)t2(4,4)t2AB ， 所以 A，B，M 三点共线 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 证明向量共线(或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据 (1)对于向量 a(a0
35、)，b，若存在实数，使得 ba，则向量 a，b 共线 (2)若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1y2x2y10ab. (3)对于向量 a，b，则|ab|a|b|a 与 b 共线 若已知向量共线求参数的值，则可由已知条件与上述依据的对应性，通过解方程求解 角度.共线向量的等和线问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 7如图所示，已知矩形 OABC 中，OA2，OC1，D 在 OA 的延长线上，且 AD1，若点 P 在BCD 中(包 括边界)，且OP OC 1 2OA ，则3 2的取值范围为_ 答案 1，9 2解析解法一：以 OD，OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴
36、建立平面直角坐标系，如图 则 O(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)，D(3,0)， 设 P(x，y)， OP (x，y)，OC (0,1)，OA (2,0) OP OC 1 2OA ， (x，y)(0,1)1 2(2,0)(，)， x，y，3 2 3 2xy. 令 z3 2xy， 点 P 在BCD 中(包括边界)， 由图可知，z3 2xy 在 D 点处取得最大值 9 2，在 C 点处取得最小值 1. 3 2的取值范围为 1，9 2 . 解法二：如图，在 OA 上截取 OE，使得 OE1 3OA， 连接 CE，则OP OC 1 2OA OC 3 2OE . 过点 P 作 CE
37、的平行线 l. 点 O 和直线 l 在直线 CE 的异侧， 系数和为正数，且 l 离 CE 越远，3 2越大 当点 P 运动到点 C 时，3 21， 此时为最小值； 当点 P 运动至点 D 时，3 2 OD OE 3 2 3 9 2，此时为最大值 3 2的取值范围为 1，9 2 . 8给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为 120，如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧上运动， 若OC xOA yOB ，其中 x，yR，则 xy 的最大值是_ 答案2解析连接 AB，由图可知，点 C 在 AB 的右侧运动，也就是点 O 和过点 C 与 AB 平行的直线 l 在 AB 的异侧
38、，则直线 l 离 AB 越远，系数和越大，当直线 l 和圆弧相切时，系数和最大，(xy)maxOC1 OD . 因为 lOC1，lAB，所以 ABOC1. 因为 OAOB1，AOB120， 所以OAD30， 所以 ODOAsin 301 2. 所以OC1 OD 2. 即(xy)maxOC1 OD 2. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 等和线在平面向量中的应用 1适用题型 在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和的取值，可使用等和线法 2理论基础 如图，A，B，C 是不共线的三点，M 是平面内任意一点，连接 AM，交直线 BC 于点 P，过 M 作 BC 的平行线 l，则对于
39、l 上的任意一点 N，若AN ABAC，则|AM | |AP |. 因为 N 在与 BC 平行的动直线上，P 在定直线 BC 上，也可以巧记为“动上静下” 3等和线 直线 BC 以及与直线 BC 平行的直线 l 称为等和线 4特点 若直线 l 与点 A 在直线 BC 的异侧，则 l 离 BC 越远，系数和越大，且系数和为正数；若直线 l 与点 A 在直线 BC 的同侧，则 l 离 BC 越远，系数和越小，且系数和为负数 题型坐标法在平面向量的应用 角度.借助网格建系 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若ACABAD ，
40、则_. 答案3解析建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则AC (2，2)，AB(1,2)，AD (1,0) 由题意可知，(2，2)(1,2)(1,0)， 即 2， 22， 解得 1， 3， 所以3. 角度.借助垂直关系建系 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 22021 四川德阳三校联考在ABC 中，ABAC5，BC6，I 是ABC 的内心，若BI mBAnBC(m，n R)，则m n () A4 3 B6 5 C2D1 2 答案B解析设 BC 的中点为 D，以 D 为原点，BC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系如图所示 AB5，BD1 2BC3，
41、AD4. ABC 是等腰三角形， 内心 I 在线段 AD 上 设内切圆的半径为 r，则 tanIBDr 3， tanABC 2tanIBD 1tan2IBD 2r 3 1r 2 9 6r 9r2. 又tanABCAD BD 4 3， 6r 9r2 4 3，解得 r 3 2或 r6(舍) I 0，3 2 . 又B(3,0)，A(0,4)，C(3,0)， BI 3，3 2 ，BA (3,4)，BC(6,0) BI mBAnBC， 33m6n， 3 24m， 解得 m3 8， n 5 16， m n 6 5.故选 B. 角度.利用已知圆的圆心建系 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3多
42、选在直角梯形 ABCD 中，ABAD，ADBC，ABBC2AD2，E，F 分别为 BC，CD 的中点，以 A 为圆心，AD 为半径的半圆分别交 BA 及其延长线于点 M，N，点 P 在MDN 上运动(如图所示)若AP AEBF， 其中，R，则 25的取值可以是() A2 2B2 2 C2D2 答案ACD解析由于 ABAD，故以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标 系 ABBC2AD2，E，F 分别为 BC，CD 的中点， A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,1)，E(2,1)，F 1，3 2 . 点 P 在MDN 上运动，圆的半径为 1， 设 P
43、(cos ，sin )(0) AP (cos ，sin )，AE(2,1)，BF 1，3 2 . AP AEBF， (cos ，sin )(2,1) 1，3 2 2，3 2， 2cos ， 3 2sin ， 解得 1 4sin 3 8cos ， 1 2sin 1 4cos ， 252cos 2sin 2 2sin 3 4 . 0，3 4 3 4 7 4 ， 2 22 2sin 3 4 2. 则 25的取值范围是2 2，2 故选 ACD. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 只有巧建系才能妙法解题 坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问题，若能建立适当
44、的直 角坐标系，往往能很快实现问题的转化常见的建系方法如下： (1)利用图形中现成的垂直关系 若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系 (2)利用图形中的对称关系 图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用 自身对称性建系建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限 (3)三角形中有唯一一个特殊角(30，45，60等)时，有以下两种建系方法 (4)圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系 (5)所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所
45、给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系 提醒 完成限时跟踪检测(二十五) 第三节平面向量的数量积及应用举例 复习要点1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 3能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 4会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 5会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 知识点一数量积的有关概念 1平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记OA a，OB b，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹 角 (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a
46、与 b，它们的夹角为，则_ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记 作 ab，即 ab_，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0. 2平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角 (1)数量积：ab|a|b|cos _. (2)模：|a| aa_. (3)夹角：cos ab |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22 . (4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0_. (5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2| x21y21 x22y22. 答案：1.(2)|a|b|cos |a|b|
47、cos 2.(1)x1x2y1y2 (2) x21y21(4)x1x2y1y20 知识点二数量积满足的运算律 已知向量 a，b，c 和实数，则向量的数量积满足下列运算律： (1)ab_. (2)(a)b(ab)_. (3)(ab)c_. 答案：(1)ba(2)a(b)(3)acbc 知识点三向量在几何中的应用 a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4) (1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：abab_(b0) (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： abab0_. (3)平面几何中夹角与线段长度的计算： cosa，b ab |a|b|_； |AB|A
48、B | |AB |2_. 答案：(1)x1y2x2y10(2)x1x2y1y20 (3) x1x2y1y2 x21y21 x22y22 x4x32y4y32 链/接/教/材 1必修 4P108A 组 T6 改编已知 ab12 2，|a|4，a 和 b 的夹角为 135，则|b|_. 答案：6 2必修 4P106练习 T3 改编已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 _ 答案：2 3必修 4P105例 4 改编已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则 k_. 答案：12 易/错/问/题 与平面向量的数量积有关的易错点：投影；向量夹
49、角；运算律 下列说法正确的有_个 向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量； 若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角； (ab)ca(bc)； 若 ab0，则 a0 或 b0. 答案：0解析：向量 b 在 a 方向上的投影是数量，为|b|cos ，它可以为正，可以为负，也可以为 0； ab0 与 a 和 b 的夹角为锐角不等价，ab0 还包含 a 和 b 同向的情形，同样 ab0 不仅包含 a 和 b 的夹 角为钝角，还包含 a 和 b 反向的情形； 由于(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不
50、一定共线，因此(ab)c 与 a(bc)不一定相等，故数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)； ab0|a|b|cos 0|a|0 或|b|0 或 cos 0，因此，若 ab0，则 a0 或 b0 或 ab. 核/心/素/养 用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为 G，两绳受到的拉力分别是 F1，F2，夹角为，如图所示 (1)求其中一根绳受到拉力|F1|与|G|的关系，用数学观点分析|F1|的大小与夹角的关系； (2)求|F1|的最小值； (3)如果每根绳的最大承受拉力为|G|，求的取值范围 解：(1)由力的平衡，得 F1F2G0， 设 F1，F2的合力为 F，则 FG， F1F
