1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节第一节平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 内容要求考题举例考向规律 1.了解向量的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向 量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理 解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义， 理解两个向量共线的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何 意义 2020新高考 卷T3(向量的线性运 算) 2018全国 卷T6(向量的线性运 算) 2017江苏高 考T12(向量的线性 运算) 考情分析：主要考查平面向量的 线性运算(加法、减法、数乘)及 其几何意义、共线向量定理，有 时也
2、会有创新的新定义问题；题 型以选择题、填空题为主，属于 中低档题目。偶尔会在解答题中 作为工具出现 核心素养：数学运算 教材回扣基础自测 自主学习知识积淀 1向量的有关概念 (1)向量 两个方面：大小和方向。 其中，向量的大小，叫做向量的长度(或模)。 (2)零向量 长度为 0z 方向是任意的。 (3)单位向量：长度等于 1 个单位；方向是确定的。 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量。平行向量又叫共线向量。规定：0 与任一向量平行。 (5)相等向量：长度相等；方向相同。 (6)相反向量：长度相等；方向相反。 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量有两
3、个，即向量 a |a|和 a |a|。 2向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和 的运算 (1)交换律： a bba； (2)结合律：(a b)ca (bc) 减法 求 a 与 b 的相 反向量b 的 和的运算 aba( b) 数乘 求实数与向量 a 的积的运算 (1)|a|a|； (2)当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的 方向与 a 的方向相反； 当0 时，a0 (a)()a； ()aa a； (ab)a b 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，abc 表示从起点指向终点的向量，只关心起点、 终点。 3共
4、线向量定理 a 是非零向量，若存在一个实数，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线。 1若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP 1 2(OA OB )。 2.OA OB OC (，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则1。 一、常规题 1在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的是() A|AB |AD |一定成立 BAC AB AD 一定成立 CAD BC 一定成立 DBD AD AB 一定成立 解析在平行四边形 ABCD 中，AC AB AD 一定成立，AD BC 一定成立，BD AD AB 一定成立， 但|AB |AD |不一定成立。故选 A。 答案A 2. 如图
5、所示，已知AC 3BC ，OA a，OB b，OC c，则下列等式中成立的是() Ac3 2b 1 2a Bc2ba Cc2ab Dc3 2a 1 2b 解析因为AC 3BC ，OA a，OB b，所以OC OA AC OA 3 2AB OA 3 2(OB OA )3 2OB 1 2OA 3 2b 1 2a。 答案A 3设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b2a)共线，则_。 解析依题意知向量 ab 与 2ab 共线，设 abk(2ab)，则有(12k)a(k)b0，所以 12k0， k0， 解得 k1 2， 1 2。 答案1 2 二、易错题 4(对向量相等隐含条件认识不清)若
6、四边形 ABCD 满足AD BC 且|AB |DC |，则四边形 ABCD 的形状 是_。 解析当|AD |BC |时，四边形 ABCD 是平行四边形；当|AD |BC |时，四边形 ABCD 是等腰梯形。 答案等腰梯形或平行四边形 5(两向量的方向关系不清)已知|a|2，|b|5，则|ab|的取值范围是_。 解析当 a 与 b 方向相同时，|ab|7；当 a 与 b 方向相反时，|ab|3；当 a 与 b 不共线时，3|a b|0 时，a 与 b 同向； 2当0，a50，所以 1a3a5 2 a3a5，解得 a3a51 4，当且仅当 a 3a51 2时取等号。故选 C。 答案C 【例 3】(
7、配合例 3 使用) 如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，AE 2EC ，AD 与 BE 相交于点 G， 若AG xGD ，BG yGE ，则 xy() A4B14 3 C9 2 D11 2 解析由题意得向量AG xGD ，D 为 BC 的中点，且AE 2EC ，可得AG x 1xAD x 21xAB x 21xAC x 21xAB 3x 41xAE 。因为 B， G， E 三点共线， 所以 x 21x 3x 41x1，解得 x4。由BG yGE ， D 为 BC 的中点， 且AE 2EC ， 可得BG y 1yBE y 1y 1 3BA 2 3BC y 1y 1 3BA 4 3BD y
8、31yBA 4y 31yBD 。因为 A，G，D 三点共线，所以 y 31y 4y 31y1，解得 y 3 2。所以 xy 11 2 。故选 D。 答案D 第二节第二节平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 内容要求考题举例考向规律 1.了解平面向量的基本定理 及其意义 2掌握平面向量的正交分解 及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的 加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向 量共线的条件 2018全国卷T13(向量 共线的坐标表示) 2017全国卷T8(平面 向量的坐标运算) 2015江苏高考T6(平面 向量的坐标运算) 考情分析：平面向量的坐标运算 承前启后，不仅使
9、向量的加法、 减法和实数与向量的积完全代 数化，也是学习向量数量积的基 础，因此是平面向量中的重要内 容之一，也是高考中命题的热点 内容。在这里，充分体现了转化 和数形结合的思想 核心素养：数学运算 教材回扣基础自测 自主学习知识积淀 1平面向量基本定理 (1)基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 (2)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一 对实数1，2，使 a1e12e2。 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，该平面内的任一向 量
10、 a 可表示成 ax iyj，a 与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x， y)，其中 a 在 x 轴上的坐标是 x，a 在 y 轴上的坐标是 y。 3平面向量的坐标运算 向量的加法、减法 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab (x1x2，y1y2) 向量的数乘设 a(x，y)，R，则a(x，y) 向量坐标的求法 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x2x1，y2y1) 4.平面向量共线的坐标表示 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10。 1平面内任意两个不共线向量都
11、可以作为基底，反之亦然。 2若 a 与 b 不共线，ab0，则0。 3已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果 x20，y20，则abx1 x2 y1 y2。 一、常规题 1已知点 P1(1,3)，P2(4,0)，若 P 是线段 P1P2的一个三等分点，则点 P 的坐标为() A(2,2)B(3，1) C(2,2)或(3，1)D(2,2)或(3,1) 解析由题意得P1P 1 3P 1P2 或P1P 2 3P 1P2 ，P1P2 (3，3)。设 P(x，y)，则P1P (x1，y3)，当P1P 1 3P 1P2 时，(x1，y3)1 3(3，3)，所以 x2，y2，即 P(2，2)。当P
12、1P 2 3P 1P2 时，(x1，y3)2 3(3， 3)，所以 x3，y1，即 P(3,1)。故选 D。 答案D 2如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若AE AB AC ，则的值为() A1 2 B1 2 C1D1 解析因为 E 为 DC 的中点， 所以AC AB AD 1 2AB 1 2AB AD 1 2AB DE AD 1 2AB AE ， 即AE 1 2AB AC ，所以1 2，1，所以 1 2。 答案A 3已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)。若 c(2ab)，则_。 解析由题意可得 2ab(4,2)。因为 c(2ab)，c(1，)，所以 420，即1
13、 2。 答案 1 2 二、易错题 4(忽视基底不共线)给出下列三个向量：a 1 2， 3 2 ，b(1，3)，c(2,6)。从三个向量中任意取两 个作为一组，能构成基底的组数为_。 解析这三个向量中，bc，a 与 b，c 不平行，所以可以构成基底的是 a 与 b，a 与 c，所以能构成两 组基底。 答案2 5(忽视共线的两种情况)已知点 A(1,3)，B(2，1)，则与向量AB 共线的单位向量是 _。 解析AB (3，4)，|AB | 32425，所以与AB 共线的单位向量是 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 。 答案 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 6 (向量共线的坐标公式掌握
14、不牢)已知点 A(1,1)， B(4,2)和向量 a(2， )， 若 aAB ， 则实数_； 若 aAB ，则_。 解析由题意得AB (3,1)，因为 aAB ，所以 320，解得2 3。由 aAB ，得(2，)(3，)， 所以 32， ， 故2 3。 答案 2 3 2 3 考点例析对点微练 互动课堂考向探究 考点一平面向量基本定理的应用 【例 1】(1)(2021郑州模拟) 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E 为 BC 边上一点，BC 3EC ，F 为 AE 的中点，则BF () A2 3AB 1 3AD B1 3AB 2 3AD C2 3AB 1 3AD D1 3AB 2
15、 3AD 解析如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边形 DCBG 为平行四边形，所以BC GD AD AG AD 1 2AB ，所以AE AB BE AB 2 3BC AB 2 3 AD 1 2AB 2 3AB 2 3AD ，于是BF AF AB 1 2AE AB 1 2 2 3AB 2 3AD AB 2 3AB 1 3AD 。故选 C。 答案C (2)在ABC 中， 点 P 是 AB 上一点， 且CP 2 3CA 1 3CB ， Q 是 BC 的中点， AQ 与 CP 的交点为 M， 又CM tCP ，则实数 t 的值为_。 解析因为CP 2 3CA 1 3CB ，所以 3C
16、P 2CA CB ，即 2CP 2CA CB CP ，所以 2AP PB 。即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近 A 点)，又因为 A，M，Q 三点共线，设AM AQ 。所以CM AM AC AQ AC 1 2AB 1 2AC AC 2AB 2 2 AC ， 又CM tCP t(AP AC )t 1 3AB AC t 3AB tAC 。 故 2 t 3， 2 2 t， 解得 t3 4， 1 2。 故 t 的值是3 4。 答案 3 4 平面向量基本定理的实质及应用思路 1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法 或数乘运算。 2用平面向量基本定理解
17、决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成 向量的形式，再通过向量的运算来解决。 【变式训练】(1)在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点。若AB AM AN ，则等于_。 解析因为AB AN NB AN CN AN (CA AN )2AN CM MA 2AN 1 4AB AM ，所以AB 8 5AN 4 5AM ，所以4 5， 8 5，所以 4 5。 答案 4 5 (2) 如图，已知平行四边形 ABCD 的边 BC，CD 的中点分别是 K，L，且AK e1，AL e2，试用 e1，e2 表示BC ， CD 。 解设BC x，CD
18、 y， 则BK 1 2x，DL 1 2y。 由AB BK AK ，AD DL AL ， 得 y1 2xe 1， x1 2ye 2， (2)，得 1 2x2xe 12e2， 即 x2 3(e 12e2)2 3e 14 3e 2， 所以BC 2 3e 14 3e 2。 同理可得 y4 3e 12 3e 2， 即CD 4 3e 12 3e 2。 考点二平面向量的坐标运算 【例 2】(1)如图，原点 O 是ABC 内一点，顶点 A 在 x 轴上，AOB150，BOC90，|OA |2， |OB |1，|OC |3，若OC OA OB ，则 ( ) A 3 3 B 3 3 C 3D 3 解析由题意可得
19、A(2,0)，B 3 2 ，1 2 ，C 3 2， 3 3 2。因为OC OA OB ，所以由向量相等的坐 标表示得 2 3 2 3 2， 2 3 3 2 ， 解得 3， 3 3， 所以 3。故选 D。 答案D (2)在平行四边形 ABCD 中，AC (2,3)，BD (1，4)，则AB _；AD _。 解析AB AD AC (2,3)，AB AD DB (1，4)。所以 2AB (2,3)(1，4)(3，1)，即AB 3 2， 1 2 ，2AD (2,3)(1，4)(1,7)，即AD 1 2， 7 2 。 答案 3 2， 1 2 1 2， 7 2 (3)设向量 a，b 满足|a|2 5，b(
20、2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_。 解析设 a(x，y)，x0，y0，所以 ab0 是两个向量 a，b 夹角为锐角的必要 不充分条件；ab0 也不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab。 3 在实数运算中， 若 a， bR， 则|ab|a|b|； 若 abac(a0)， 则 bc。 但对于向量 a， b 却有|ab|a|b|； 若 abac(a0)，则 bc 不一定成立，原因是 ab|a|b|cos ，当 cos 0 时，b 与 c 不一定相等。 4向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，这是由于(ab)c 表示一个与 c
21、 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线。 一、常规题 1已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b| 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab() A1B2 C3D4 解析由题意可得 ab|a|b|cosa，b2 3 3 2 3。故选 C。 答案C 2已知向量 a，b 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则|a3b|等于() A 7B 10 C 13D4 解析依题意得 ab1 2，则|a3b| a 29b26ab 13。故选 C。 答案C 3已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若 c2a 5b，则 cosa，c_。 解析设 a(1,
22、0)，b(0,1)，则 c(2， 5)，所以 cosa，c 2 1 45 2 3。 答案 2 3 二、易错题 4(不理解向量的夹角致误)在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，设BC a，AC b，AB c，则 abbc ca_。 解析abbcca11cos 6011cos 6011cos 1201 2。 答案 1 2 5(不理解向量的几何意义致误)已知AB (1,2)，点 C(2,0)，D(3，1)，则向量AB 在CD 方向上的投 影为_；向量CD 在AB 方向上的投影为_。 解析由点 C(2,0)，D(3，1)，得CD (1，1)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos AB
23、 ， CD AB CD |CD | 3 2 2 ，向量CD 在AB 方向上的投影为|CD |cosAB ， CD AB CD |AB | 3 5 5 。 答案3 2 2 3 5 5 6(向量数量积的性质不熟致误)若平面四边形 ABCD 满足AB CD 0，(AB AD )AC 0，则该四边形 一定是_。 解析由四边形 ABCD 满足AB CD 0 知，四边形 ABCD 为平行四边形。又由(AB AD )AC 0，即 DB AC 0，可知该平行四边形的对角线互相垂直，所以该四边形一定是菱形。 答案菱形 第 1 课时平面向量的数量积 考点例析对点微练 互动课堂考向探究 考点一平面向量数量积的运算自
24、主练习 1.在等腰直角三角形 ABC 中，ACB 2，ACBC2，P 是斜边 AB 上一点，且 BP2PA，那么CP CA CP CB () A4B2 C2D4 解析解法一：由已知得|CA |CB |2，CA CB 0，AP 1 3(CB CA )，所以CP CA CP CB (CA AP )CA (CA AP )CB |CA |2AP CA CA CB AP CB |CA |21 3(CB CA )(CB CA )|CA |21 3|CB |2 1 3|CA |2221 32 21 32 24。 解法二：由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则 C(0，0)，A(2，0)，B(0,2)，设
25、P(x，y)，因为 BP2PA，所以BP 2PA ，所以(x，y2)2(2x，y)，所以 x4 3， y2 3， 所以CP CA CP CB 4 3， 2 3 (2,0) 4 3， 2 3 (0,2)4。故选 D。 答案D 2(2020新高考卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是() A(2,6)B(6,2) C(2,4)D(4,6) 解析AP AB |AP |AB |cosPAB2|AP |cosPAB，又|AP |cosPAB 表示AP 在AB 方向上的投影，所以结 合图形可知， 当 P 与 C 重合时投影最大， 当 P 与 F 重合时投
26、影最小。 又AC AB 2 32cos 306， AF AB 22cos 1202，故当点 P 在正六边形 ABCDEF 内部运动时，AP AB (2,6)。故选 A。 答案A 3 (2020北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 2， 点 P 满足AP 1 2(AB AC )， 则|PD |_； PB PD _。 解析解法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，P 为 BC 的中点，在三角形 PCD 中， |PD | 5。cos DPBcos DPC 1 5，所以PB PD |PB |PD |cos DPB1 5 1 5 1。 解法二：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为
27、 x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，所以AP 1 2(AB AC )(2,1)，P(2，1)，所以PD (2,1)，PB (0，1)， 所以|PD | 5，PB PD (0，1)(2,1)1。 答案51 解决向量数量积的运算问题的三个思路 1直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解。 2把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算。 3建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标法计算，即若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 abx1x2y1y2。 考点二平面向量数量
28、积的性质应用微专题 微考向 1：平面向量的模 【例 1】(1)已知向量 a 与 b 的夹角为 3，且|a|1，|2ab| 3，则|b|( ) A 3B 2 C1D 3 2 解析|2ab|2(2ab)24|a|24|a|b|cosa，b|b|242|b|b|23，解得|b|1。故选 C。 答案C (2)(2020全国卷)设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_。 解析解法一：因为 a，b 为单位向量，且|ab|1，所以(ab)21，所以 112ab1，所以 ab 1 2，所以|ab| 2a2b22ab112 1 2 3，所以|ab| 3。 解法二：如图，设OA a，OB b，利用平行四
29、边形法则得OC ab，因为|a|b|ab|1，所以 OAC 为正三角形，OAD 6，所以|ab|BA |AB |2|AD |2|a|cos 62 3 2 3。 答案3 求平面向量模的 2 种方法 公式法利用|a| aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算 几何法 利用向量的几何意义，即利用向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则作 出向量，再利用余弦定理等方法求解 微考向 2：平面向量的夹角 【例 2】(1)已知向量 a(1,1)，2ab(4,2)，则向量 a，b 的夹角为() A 3 B 6 C 4 D 2 解析设向量 a 和 b 的夹角为，因为 a(1,1)
30、，2ab(4,2)，所以 b(4,2)2(1,1)(2,0)，所以 cos ab |a|b| 1，12，0 2 40 2 2 ，又 0，所以 4。故选 C。 答案C (2)(2020全国卷)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，ab6，则 cosa，ab() A31 35 B19 35 C17 35 D19 35 解析由题意，得 a(ab)a2ab25619，|ab| a22abb2 2512367，所以 cos a，abaab |a|ab| 19 57 19 35。故选 D。 答案D 求平面向量夹角的 2 种方法 定义法 当 a，b 是非坐标形式，求 a 与 b 的夹角时，需求出 ab
31、及|a|，|b|或得出它们之间的关 系，由 cos ab |a|b|求得 坐标法若已知 a(x1，y1)与 b(x2，y2) ，则 cosa，b x1x2y1y2 x21y21 x22y22， a，b0， 微考向 3：平面向量的垂直 【例 3】(1)已知向量 a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，则 x() A1B2 C3D4 解析因为 a(1,2)，b(3,1)，所以 ab(4，1)。因为(ab)c，所以(ab)c4x40， 解得 x1。故选 A。 答案A (2)若 P 为ABC 所在平面内一点，且|PA PB |PA PB 2PC |，则ABC 的形状一定为() A等边三
32、角形B等腰三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 解析因为|PA PB |PA PB 2PC |，所以|BA |(PA PC )(PB PC )|CA CB |，即|CA CB |CA CB |，两边平方整理得CA CB 0，所以CA CB ，所以ABC 一定为直角三角形。故选 C。 答案C 1当向量 a 与 b 是坐标形式，即 a(x1，y1)，b(x2，y2)时，若证明 ab，则只需证明 ab0，即证 明 x1x2y1y20。 2当向量 a，b 是非坐标形式时，要把 a，b 用已知的不共线向量作为基底来表示，且要知道不共线的 向量的模与夹角，进行运算证明 ab0。 3数量积的运算 ab0ab
33、 是对非零向量而言的，若 a0，虽然有 ab0，但不能说 ab。 【题组对点练】 1(微考向 1)已知 a(1,1)，b(2，m)，a(ab)，则|b|() A0B1 C 2D2 解析由题意知 ab(1,1m)。因为 a(ab)，所以 a(ab)11m0，所以 m0，所以 b(2,0)，所以|b|2。故选 D。 答案D 2(微考向 1)(多选)设向量 a，b 满足|a|b|1，且|b2a| 5，则以下结论正确的是() AabB|ab|2 C|ab| 2D a，b60 解析|a|b|1，且|b2a| 5，平方得 b24a24ab5，即 ab0，可得 ab，故 A 正确；(a b)2a2b22ab
34、2，可得|ab| 2，故 B 错误；(ab)2a2b22ab2，可得|ab| 2，故 C 正确； 由 ab0，可得a，b90，故 D 错误。故选 AC。 答案AC 3(微考向 2)(2021八省联考)已知单位向量 a，b 满足 ab0，若向量 c 7a 2b，则 sina，c () A 7 3 B 2 3 C 7 9 D 2 9 解析解法一：设 a(1,0)，b(0,1)，如图所示。RtOCA 中，sina，c 2 3 。故选 B。 解法二：因为 a，b 是单位向量，所以|a|b|1。因为 c 7a 2b，所以|c| 7a 2b| 7a 2b2 7|a|22|b|23。所以 cosa，c ac
35、 |a|c| a 7a 2b |a|c| 7|a|2 2ab |a|c| 7 |c| 7 3 。所 以 sina，c1 7 3 2 2 3 。故选 B。 答案B 4(微考向 3)(2020全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 45，kab 与 a 垂直，则 k_。 解析由题意，得 ab|a|b|cos 45 2 2 。因为向量 kab 与 a 垂直，所以(kab)aka2abk 2 2 0，解得 k 2 2 。 答案 2 2 5(加强练)(2021天津模拟)已知 a，b 是单位向量，ab0。若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最大值 是_。 解析解法一：(综合法)由 ab0，得 ab。如
36、图，分别作OA a，OB b，作OC ab，则四边形 OACB 是边长为 1 的正方形，所以|OC | 2。作OP c，则|cab|OP OC |CP |1。所以点 P 在以 C 为圆心，1 为半径的圆上。由图可知，当 O，C，P 三点共线且 P 在 P1处时，|OP |取得最大值 21。故|c| 的最大值是 21。 解法二：(坐标法)由 ab0，得 ab.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA a(1,0)，OB b(0,1)。 设 cOC (x，y)，由|cab|1，可得(x1)2(y1)21，所以点 C 在以(1,1)为圆心，1 为半径的圆上。 所以|c|max 21。 解法三： 易知|a
37、b| 2， |cab|c(ab)|c|ab|c| 2|， 由已知得|c| 2|1， 所以|c|1 2，故|c|max 21。 答案21 教师备用题 【例 1】(配合考点一使用)若平面向量 e1，e2满足|e1|3e1e2|2，则 e1在 e2方向上的投影的最大值 为() A4 2 3 B3 2 4 C8 2D48 2 解析因为|e1|3e1e2|2，所以|e1|24，9|e1|2|e2|26e1e24，即 36|e2|212|e2|cos 4，其中 为 e1，e2的夹角，所以|e2|212|e2|cos 320，又 e1在 e2方向上的投影为e1e2 |e2| 2cos ，所以 2cos |e
38、2|232 6|e2| 1 6 |e2|32 |e2| 1 68 2 4 2 3 ，当且仅当|e2|42时等号成立，故 e1在 e2方向上投影的最大 值为4 2 3 。故选 A。 答案A 【例 2】(配合例 1 使用)已知 a，b，e 是平面向量，其中 e 是单位向量，若非零向量 a 与 e 的夹角为 3， 向量 b 满足 b24eb30，则|ab|的最小值是() A 31B 31 C2D2 3 解析设 e(1,0)，b(x，y)，则 b24eb30 x2y24x30(x2)2y21。如图所示，a OA ， bOB (其中 A 为射线 OA 上的动点， B 为圆 C 上的动点， AOx 3)。
39、 所以|ab| min|CD|1 31(其 中 CDOA)。 答案A 【例 3】(配合例 2 使用)已知平面单位向量 e1，e2满足|2e1e2| 2。设 ae1e2，b3e1e2，向量 a，b 的夹角为，则 cos2的最小值是_。 解析解法一：因为单位向量 e1，e2满足|2e1e2| 2，所以|2e1e2|254e1e22，即 e1e23 4。因 为 ae1e2，b3e1e2，a，b 的夹角为，所以 cos2ab 2 |a|2|b|2 e1e23e1e22 |e1e2|2|3e1e2|2 44e1e22 22e1e2106e1e2 44e1e2 53e1e2。不妨设 te 1e2，则 t3
40、 4，cos 244t 53t，又 y 44t 53t在 3 4，上 单调递增，所以 cos243 59 4 28 29，所以 cos 2的最小值为28 29。 解法二：由题意，不妨设 e1(1,0)，e2(cos x，sin x)。因为|2e1e2| 2，所以 2cos x2sin2x 2， 得 54cos x2，即 cos x3 4。易知 a(1cos x，sin x)，b(3cos x，sin x)，所以 ab(1cos x)(3cos x)sin2x44cos x，|a|2(1cos x)2sin2x22cos x，|b|2(3cos x)2sin2x106cos x，所以 cos2
41、ab 2 |a|2|b|2 44cos x2 22cos x106cos x 44cos x 53cos x。不妨设 mcos x，则 m 3 4，cos 244m 53m，又 y 44m 53m在 3 4，上单调递增，所以 cos2 43 59 4 28 29，所以 cos 2的最小值为28 29。 答案 28 29 第 2 课时平面向量的综合应用 考点例析对点微练 互动课堂考向探究 考点一平面向量与平面几何 【例 1】(1)若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC )(OB OC 2OA )0，则ABC 的形 状为() A等腰三角形B直角三角形 C正三角形D等腰直角三角形 解
42、析由(OB OC )(OB OC 2OA )0， 得CB (AB AC )0， 因为AB AC CB ， 所以(AB AC )(AB AC )0，即|AB |AC |，所以ABC 是等腰三角形。 答案A (2)已知 A，B 是半径为 2的O 上的两个点，OA OB 1，O 所在平面上有一点 C 满足|OA OB OC | 1，则向量OC 的模的取值范围是_。 解析以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图，A( 2，0)。由OA OB 1，|OA | |OB | 2， 得AOB 3， 于是 B 2 2 ， 6 2 ， 设 C(x， y)， 则 x3 2 2 2 y 6 2
43、 21。 问题转化为求圆 x3 2 2 2 y 6 2 21 上一点到原点距离的取值范围。 原点到圆心 3 2 2 ， 6 2 的距离为 6， 又圆的半径为 1， 所以|OC | 的取值范围为 61， 61。 答案 61， 61 向量与平面几何综合问题的解法 1坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关的点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相 应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。 2基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进 行求解。 【变式训练】(1)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP
44、 OA (AB AC )，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的() A内心B外心 C重心D垂心 解析由原等式， 得OP OA (AB AC )， 即AP (AB AC )， 根据平行四边形法则， 知AB AC 2AD (D 为 BC 的中点)，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心。故选 C。 答案C (2)在平行四边形 ABCD 中， AD1， BAD60， E 为 CD 的中点。 若AC BE 1， 则 AB 的长为_。 解析在平行四边形 ABCD 中， BE BC CE BC 1 2CD AD 1 2AB ， 又因为AC AD AB ， 所以AC BE (AD AB ) AD 1
45、2AB AD 21 2AD AB AD AB 1 2AB 2|AD |21 2|AD |AB |cos 601 2|AB |211 2 1 2|AB | 1 2|AB |21。所以 1 2|AB | |AB |0，又|AB |0，所以|AB |1 2。 答案 1 2 考点二平面向量中的最值问题 【例 2】(1)在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，P 是线段 AD 上一动点，则AP CP 的 取值范围是() A 3 4，B 3 4，0 C1,0D1,1 解析画出图形如图所示， 分别以 DC， DA 所在直线为 x， y 轴建立平面直角坐标系， 故 A(0， 3)， C(
46、1,0)。 设 P(0，t)(t0， 3)，则AP CP (0，t 3)(1，t)t2 3t。根据二次函数的性质可知，当 t0 或 t 3时，AP CP 取得最大值 0，当 t 3 2 时，AP CP 取得最小值，为 3 2 2 3 3 2 3 4，故AP CP 的取值范 围是 3 4，0。故选 B。 答案B (2)若向量 a，b，c 满足|a|b|1，ab1 2， ac，bc 3，则|c|的最大值为( ) A 2 2 B1 2 C1D2 解析因为|a|b|1，ab1 2，所以向量 a 与 b 的夹角为 2 3 。如图所示，令OA a，OB b，OC c， 则CA ac，CB bc，AOB2
47、3 ，由ac，bc 3，得ACB 3，所以AOBACB，所 以四边形 OACB 有外接圆，|c|OC |，所以|OC |的最大值即为四边形 OACB 外接圆的直径。因为|OA|OB| 1，AOB2 3 ，所以由余弦定理得|AB| 3，设四边形 OACB 的外接圆半径为 r，由正弦定理可得 2r |AB| sin AOB2，所以|c|的最大值为 2。故选 D。 答案D 平面向量中有关最值、范围问题的 2 种解题思路 1形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的 特征直接进行判断。 2数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等
48、式的解集、方程有 解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决。 【变式训练】 (1)(多选)已知四边形ABCD是边长为2的正方形， P为平面ABCD内一点， 则(PA PB )(PC PD )() A最小值为4B最大值为4 C无最小值D无最大值 解析建立如图所示的直角坐标系，则 A(0,0)，B(2，0)，C(2,2)，D(0,2)。设 P(x，y)，则PA (x， y)，PB (2x，y)，PC (2x,2y)，PD (x，2y)，所以(PA PB )(PC PD )(22x，2y)(2 2x,42y)(22x)2(2y2)24，所以当 x1，y1 时，(PA PB )(PC PD
49、 )取得最小值4，无最大值。 故选 AD。 答案AD (2)在平行四边形 ABCD 中，AB4，AB AD 4，点 P 在边 CD 上，则AP PC 的取值范围是_。 解析因为点 P 在边 CD 上，所以设DP DC AB (01)，则AP AD DP AD AB ，PC (1 )AB ，所以AP PC (AD AB )(1)AB 4(1)(1)16162124 43 2 225 4 ，又 01，所以 0AP PC 25 4 。 答案 0，25 4 考点三平面向量与解三角形 【例 3】在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，向量 m(2sin B,2cos 2B)，n 2sin
50、2 4 B 2 ，1 ，mn。 (1)求角 B 的大小； (2)若 a 3，b1，求 c 的值。 解(1)因为 mn，所以 mn0， 所以 2sin B 2sin2 4 B 2 (2cos 2B)(1)0。 所以 2sin B 1cos 2Bcos 2B20， 所以 2sin B2sin2B(12sin2B)20。 所以 sin B1 2。 因为 0Bb1，所以 B 6。 解法一：由余弦定理，得 b2a2c22accos B。 所以 c23c20，所以 c1 或 c2。 解法二：由正弦定理，得 b sin B a sin A。 即1 1 2 3 sin A，所以 sin A 3 2 。 因为
