1、课时作业(七十)二项分布与正态分布 基础过关组 一、单项选择题 1批产品的次品率为 4%，正品中一等品率为 75%。现从这批产品中任取一件，恰好取到一 等品的概率为() A0.75B0.71 C0.72D0.3 解析因为这批产品的次品率为 4%，所以正品率为 96%，又因为正品中一等品率为 75%，所以 这批产品的一等品率为 96%75%72%，所以从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为 0.72。故选 C。 答案C 2如果生男孩和生女孩的概率相等，则有 3 个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为() A2 3 B1 2 C3 4 D1 4 解析设女孩个数为 X，女孩多于男孩的概率为 P(X
2、2)P(X2)P(X3)C23 1 2 21 2 C33 1 2 331 8 1 8 1 2。故选 B。 答案B 3从甲袋中摸出 1 个白球的概率是1 3，从乙袋中摸出 1 个白球的概率是 1 2，如果从甲、乙两袋中 各摸出 1 个球，那么5 6是( ) A2 个球不都是白球的概率 B2 个球都不是白球的概率 C2 个球都是白球的概率 D2 个球中恰好有 1 个球是白球的概率 解析因为 2 个球不都是白球的对立事件是 2 个球都是白球， 2 个球都是白球的概率 P1 2 1 3 1 6，所以 2 个球不都是白球的概率是 1 1 6 5 6。故选 A。 答案A 4甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5
3、 局 3 胜制(每局都分出胜负)，每局甲赢的概率是2 3，乙赢 的概率是1 3，则甲以 31 获胜的概率是( ) A 8 27 B16 27 C16 81 D32 81 解析由题可知，5 局 3 胜制，甲以 31 获胜，则第 4 局甲胜，且前 3 局甲胜 2 局，故所求概 率 P2 3C 2 3 2 3 21 3 8 27。故选 A。 答案A 5(2021山东潍坊期末)已知随机变量服从正态分布 N(1，2)，若 P(4)0.9，则 P(21) () A0.2B0.3 C0.4D0.6 解析由题意可知1，正态曲线关于直线 x1 对称，P(4)1P(4)0.1，根据对称性 可知，P(2)P(4)0
4、.1，故 P(21)0.5P(2)0.50.10.4。故选 C。 答案C 6(2021河北张家口模拟)如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是1 2，且是相互独立的，则 灯亮的概率为() A 1 16 B 3 16 C1 4 D13 16 解析由题意知，灯不亮包括：甲、乙、丙、丁都断开，乙闭合的同时甲、丙、丁断开，甲闭 合的同时乙、丙、丁断开。这三种情况是互斥的，每一种情况对应的事件都是相互独立的，所以灯 不亮的概率为1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 16，所以灯亮的概率为 1 3 16 13 16。故选 D。 答案D 二、多
5、项选择题 7(2020山东济南二模)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正态分布 N(100,100)，其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，则下列说法正确的是() 附：随机变量服从正态分布 N(，2)，则 P()0.682 7，P(22)0.954 5，P(33)0.997 3。 A该市学生数学成绩的期望为 100 B该市学生数学成绩的标准差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.8 D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 解析数学成绩 X 服从正态分布 N(100,100)，则数学成绩的期望为 100，数学成绩的标准差为 10，故 A 正确，B 错误
6、；及格率 p111P10010X10010 2 0.841 35，故 C 正确；不及格 率 p20.158 65，优秀率 p31P10020X2)0.023，则 P(2X2)_。 解析因为0，所以 P(X2)P(X2)0.023，所以 P(2X2)120.0230.954。 答案0.954 10(2021江西九校联考)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会 后某记者在场地外随机进行采访。假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为 0.7，连 续两次采访到的人都是代表团团长的概率为 0.6，则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第 二次采访到的人也是代表团团长的
7、概率为_。 解析记第一次采访到的人是代表团团长为事件 A，第二次采访到的人是代表团团长为事件 B， 则 P(A)0.7，P(AB)0.6，则 P(B|A)PAB PA 6 7。 答案 6 7 11国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的 进入下一轮考核，否则被淘汰。已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是5 6， 3 5， 3 4， 1 3，且 各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为_。 解析解法一：设事件 Ai(i1,2,3,4)表示“该软件在第 i 轮能准确杀毒”，由已知得 P(A1)5 6， P(A2)3 5，P(A 3
8、)3 4，P(A 4)1 3。设事件 B 表示“第一轮被淘汰”，则 P(B)P( A1 )1 6。设事件 C 表示“第二轮被淘汰”，则 P(C)P(A1 A2 )5 6 2 5 1 3。设事件 D 表示“第三轮被淘汰”，则 P(D) P(A1A2 A3 )5 6 3 5 1 4 1 8。所以该软件至多进入第三轮考核的概率为 P(B)P(C)P(D) 5 8。 解法二：该软件进入第四轮考核的概率 P5 6 3 5 3 4 3 8，又“该软件至多进入第三轮考核”的 对立事件为“该软件进入第四轮考核”， 所以该软件至多进入第三轮考核的概率为 1P13 8 5 8。 答案 5 8 四、解答题 12(2
9、021合肥市教学质量检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和 人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地。为了将来更 好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期，把“研学游”分为科技体 验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学 校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下： 研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游 学校数404020 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了 3 所学校，并以统计的 频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游
10、类型时仅选择其中一类，且不受其 他学校选择结果的影响)。 (1)若这 3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学 校选择的概率； (2)设这 3 所学校中选择“科技体验游”的学校的个数为随机变量 X， 求 X 的分布列与数学期望。 解(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为2 5，选择“自然风光游”的概率为 1 5， 若这 3 所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选 择的概率为 PC23 2 5 2 1 5 C23 1 5 2 2 5 18 125。 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3。 则 P(X0)C03 3
11、 5 3 27 125， P(X1)C13 2 5 3 5 254 125， P(X2)C23 2 5 2 3 5 36 125， P(X3)C33 2 5 3 8 125。 所以 X 的分布列为 X0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 所以 E(X)0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125 6 5。 13(2021八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1,2,3 需要调整的概 率分别为 0.1，0.2,0.3，各部件的状态相互独立。 (1)求设备在一天的运转中，部件 1,2 中至少有 1 个需要调整的概率； (2)记设
12、备在一天的运转中需要调整的部件个数为 X，求 X 的分布列及数学期望。 解用 Ai表示事件“设备在一天的运转中，部件 i 需要调整”，i1,2,3。 (1)用 A 表示事件“设备在一天的运转中，部件 1,2 中至少有 1 个需要调整”。 则A A 1A 2，且 A 1，A 2相互独立。 从而 P(A )P(A 1A 2)P(A 1)P(A 2)(10.1)(10.2)0.72， P(A)1P(A )0.28。 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3。 P(X0)P(A 1A 2A 3)P(A 1)P(A 2)P(A 3)(10.1)(10.2)(10.3)0.504， P(X1)P(A1A 2
13、A 3A 1A2A 3A 1A 2A3) P(A1A 2A 3)P(A 1A2A 3)P(A 1A 2A3) P(A1)P(A 2)P(A 3)P(A 1)P(A2)P(A 3)P(A 1)P(A 2)P(A3) 0.100.800.700.900.200.700.900.800.300.398， P(X3)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.10.20.30.006， P(X2)1(P(X0)P(X1)P(X3) 1(0.5040.3980.006)0.092。 X 的分布列为 X0123 P0.5040.3980.0920.006 X 的数学期望 E(X)0P(X0)1P(
14、X1)2P(X2)3P(X3) 00.50410.39820.09230.0060.6。 14某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了 100 人的体重数据，得到如 下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率。 (1)估计这 100 人体重数据的平均值和样本方差2(结果取整数， 同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表)。 (2)从全校学生中随机抽取 3 名学生， 记 X 为体重在55,65)内的人数， 求 X 的分布列和数学期望。 (3)由频率分布直方图可以认为， 该校学生的体重 Y 近似服从正态分布 N(， 2)。 若 P(2Y0.954 5，则认为该校学生的体重是正常的。
15、试判断该校学生的体重是否正常，并说明理由。 解(1)(47.572.5)0.0045(52.567.5)0.0265(57.562.5)0.070560， 2(6047.5)2(6072.5)20.02(6052.5)2(6067.5)20.13(6057.5)2(60 62.5)20.3525。 (2)由已知可得从全校学生中随机抽取 1 人，体重在55,65)内的概率为 0.7。 随机抽取 3 人，相当于 3 次独立重复试验，所以随机变量 X 服从二项分布 B(3,0.7)， 则 P(X0)C030.700.330.027， P(X1)C130.70.320.189， P(X2)C230.7
16、20.30.441， P(X3)C330.730.300.343， 所以 X 的分布列为 X0123 P0.0270.1890.4410.343 数学期望 E(X)30.72.1。 (3)由题意知 Y 近似服从正态分布 N(60,25)， 则 P(2Y2)P(50Y0.954 5， 所以可以认为该校学生的体重是正常的。 素养提升组 15(2021福建泉州适应性测试)某游戏棋盘上标有第 0,1,2，100 站，棋子开始位于第 0 站， 选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于 4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前 跳出两站，直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束。设游戏过程
17、中棋子出现在第 n 站的概率为 Pn。 (1)当游戏开始时，若抛掷均匀骰子 3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望； (2)证明：Pn11 3P nPn1 3P n1(1n98)； (3)若最终棋子落在第 99 站，则记选手落败，若最终棋子落在第 100 站，则记选手获胜，请分析 这个游戏是否公平。 解(1)由题意知，随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6， P(X3) 2 3 3 8 27， P(X4)C23 2 3 21 3 4 9， P(X5)C132 3 1 3 22 9， P(X6) 1 3 3 1 27。 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示： X3456 P
18、8 27 4 9 2 9 1 27 所以 E(X)3 8 274 4 95 2 96 1 274。 (2)证明：依题意，当 1n98 时， 棋子要到第(n1)站，有两种情况： 由第 n 站跳 1 站到第(n1)站，其概率为 2 3P n； 由第(n1)站跳 2 站到第(n1)站， 其概率为 1 3P n1。 所以，Pn12 3P n1 3P n1。 两边同时加上 1 3P n得 Pn11 3P n 2 3P n1 3P n1 1 3P nPn1 3P n1(1n98)。 (3)按照(2)的分析，棋子跳到第 99 站的概率为 P992 3P 981 3P 97， 由于跳到第 99 站时，自动停止游戏， 故有 P1001 3P 98， 所以 P100P99，即最终棋子落在第 99 站的概率大于落在第 100 站的概率，游戏不公平。
