1、课时作业(四十九)直线的倾斜角与斜率、直线方程 基础过关组 一、单项选择题 1已知点 A(1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是() A60B30 C120D150 解析设直线 AB 的倾斜角为，因为 A(1， 3)，B(1,3 3)，所以 kAB3 3 3 11 3，所以 tan 3，又0，180)，所以120。故选 C。 答案C 2直线 l：xsin 30ycos 15010 的斜率是() A. 3 3 B. 3 C 3D 3 3 解析设直线 l 的斜率为 k，则 k sin 30 cos 150 3 3 。故选 A。 答案A 3若直线 axbyc0 的倾斜角为 45，则实
2、数 a，b 满足的关系是() Aab0Bab0 Cab1Dab1 解析由题意得直线 axbyc0 的斜率存在，且为 ka b，又直线的倾斜角为 45，所以 k a btan 451，所以 ab，所以 ab0。故选 A。 答案A 4在等腰三角形 AOB 中，AOAB，点 O(0,0)，A(1,3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为 () A3xy80B3xy100 C3xy0D3xy60 解析因为|AO|AB|，所以AOBABO，即 kABkOA3。所以直线 AB 的方程为 y33(x 1)，即 3xy60。故选 D。 答案D 5两条直线 x m y na 与 x n y m
3、a(其中 a 是不为零的常数)的图象可能是( ) 解析直线方程 x m y na 可化为 y n mxna，直线方程 x n y ma 可化为 y m n xma，由此可知两条直线 的斜率同号。故选 B。 答案B 6已知角是第二象限角，直线 2xytan 10 的斜率为8 3，则 cos 等于( ) A.3 5 B3 5 C.4 5 D4 5 解析由题意，得 k 2 tan 8 3，故 tan 3 4，故 cos 4 5。故选 D。 答案D 7已知 A(2,3)，B(1,2)，若点 P(x，y)在线段 AB 上，则 y x3的最大值为( ) A1B.3 5 C1 2 D3 解析设 Q(3,0)
4、，则 kAQ30 233，k BQ 20 13 1 2。因为点 P(x，y)是线段 AB 上的任意一点，所 以 y x3的取值范围是 3，1 2 ，故 y x3的最大值为 1 2。故选 C。 答案C 二、多项选择题 8过点(10,10)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 4 倍的直线的方程可能为() Axy0Bx4y300 Cxy0Dx4y300 解析由题意，当直线经过原点时，直线的方程为 xy0；当直线不经过原点时，设直线的方程为 x 4a y a1，则 10 4a 10 a 1，解得 a15 2 ，此时直线的方程为 x 30 2y 151，即 x4y300。故选 CD。 答案CD
5、9直线(m21)x2my10(其中 mR)的倾斜角可能为() A. 6 B. 3 C. 2 D.2 3 解析若 m0， 则直线的倾斜角为 2； 若 m0， 则直线的斜率 k m21 2m 0，则直线的斜率 km 21 2m 1(当且仅当 m1 时取等号)，所以倾斜角 4，结合选项可知选 BCD。 答案BCD 10(2021广东佛山期末)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765 年在其所著的三角形的几何学一书中 提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。已知ABC 的顶点 A( 4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为 xy20，则顶点 C 的坐标可以
6、是() A(2,0)B(0,2) C(2,0)D(0，2) 解析设 C(x，y)，AB 的垂直平分线为 yx，ABC 的外心为欧拉线 xy20 与直线 yx 的交 点为(1,1)，设为 M，所以|MC|MA| 10，所以(x1)2(y1)210。由 A(4,0)，B(0,4)知ABC 的重心为 x4 3 ，y4 3，代入欧拉线方程 xy20，得 xy20。由可得 x2，y0 或 x0， y2。故选 AD。 答案AD 三、填空题 11已知直线 y1 2xk 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 1，则实数 k 的值为_。 解析令 x0，得 yk；令 y0，得 x2k。所以所围成的三角形的面积 S|
7、1 2k2k|k21，所 以 k1 或 k1。 答案1 或1 12直线 l 过点(2,2)且与 x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|b|，则直线 l 的方程为 _。 解析若 ab0，则直线 l 过(0,0)与(2,2)两点，直线 l 的斜率 k1，直线 l 的方程为 yx，即 x y0。若 a0，b0，设直线 l 的方程为x a y b1，由题意知 2 a 2 b1， |a|b|， 解得 a4， b4， 此时，直线 l 的方程为 xy40。 答案xy0 或 xy40 13若是直线 l 的倾斜角，且 sin cos 5 5 ，则 l 的斜率为_。 解析因为 sin cos 5
8、 5 ， 所以(sin cos )212sin cos 1 5， 所以 2sin cos 4 5， 所以(sin cos )29 5，易知 sin 0，cos 0，所以 sin cos 3 5 5 ，由解得 sin 2 5 5 ， cos 5 5 ， 所以 tan 2，即 l 的斜率为2。 答案2 14已知直线 l 过点 P(2，1)，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a，b，且满足 a3b，则直线 l 的方程为 _。 解析若 a3b0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率 k1 2，直线方程为 x2y0。若 a3b0， 设直线方程为x a y b1，即 x 3b y b1。由于点 P(2，
9、1)在直线上，所以 b 1 3。从而直线方程为x3y1， 即 x3y10。综上所述，所求直线方程为 x2y0 或 x3y10。 答案x2y0 或 x3y10 素养提升组 15已知函数 f(x)asin xbcos x(a0，b0)，若 f 4xf 4x，则直线 axbyc0 的倾斜角为 () A. 4 B. 3 C.2 3 D.3 4 解析由 f 4xf 4x知，函数 f(x)的图象关于直线 x 4对称，所以 f(0)f 2 ，所以ba，则直线 axbyc0 的斜率为 ka b1，又直线倾斜角的取值范围为0，)，所以该直线的倾斜角为 3 4 。故选 D。 答案D 16(2020诸暨市校级期中)
10、如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,2)，B(2,0)，C(1,0)，分 别以AB， AC为边向外作正方形ABEF与ACGH， 则点H的坐标为_， 直线FH的一般式方程为_。 解析分别过 H，F 作 y 轴的垂线，垂足分别为 M，N，因为四边形 ACGH 为正方形，所以 RtAHM RtCAO，可得 AMOC，MHOA，因为 A(0,2)，C(1,0)，所以 MHOA2，AMOC1，可得 OMOA AM3，由此可得 H 坐标为(2,3)，同理得到 F(2,4)，所以直线 FH 的斜率为 k 43 22 1 4，可得直线 FH 的方程为 y31 4(x2)，化简得 x4y140。 答案(2,3)x4y140
