1、习题课习题课函数性质的综合问题函数性质的综合问题 学习目标1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题 一、函数图象的对称性 问题 1当函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称时，会满足怎样的条件呢？ 提示如图所示，在 xa 两边取对称的两个自变量的值，如 ax，ax，由对称性知它们 的函数值相等，即 f(ax)f(ax)；反之，若对定义域内任意 x 都有 f(ax)f(ax)，则函 数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 问题 2当函数 yf(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？ 提示如图所示，在 xa 两边取对称的两个自变量的值，如 ax
2、，ax，由对称性知它们 的函数值互为相反数，即 f(ax)f(ax)；反之，若对定义域内任意 x 都有 f(ax)f(a x)，则函数 yf(x)的图象关于点(a,0)对称 知识梳理 1函数图象关于直线对称 yf(x)在定义域 内恒满足的条件 yf(x)的图 象的对称轴 f(ax)f(ax)直线 xa f(x)f(ax)直线 xa 2 f(ax)f(bx)直线 xab 2 2.函数图象关于点对称 yf(x)在定义域 内恒满足的条件 yf(x)的图象 的对称中心 f(ax)f(ax)(a,0) f(x)f(ax) a 2，0 f(ax)f(bx) ab 2 ，0 f(ax)f(bx)c ab 2
3、 ，c 2 例 1定义在 R 上的偶函数 yf(x)，其图象关于点 1 2，0对称，且 x0,1时，f(x)x1 2， 则 f 3 2 等于() A1B0 C1D.3 2 答案B 解析yf(x)的图象关于点 1 2，0对称， f 1 2xf 1 2x0， 即 f(1x)f(x)0. 又yf(x)为偶函数，f(x)f(x)， f(1x)f(x)0，即 f(1x)f(x)， f 3 2 f 1 2 0. 反思感悟解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法： 图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论 性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题 注意：使用性质要
4、规范，切不可自创性质！ 跟踪训练 1若函数 yf(x)在(0,2)上单调递增，函数 yf(x2)是偶函数，则下列结论正确的 是() Af(1)f 5 2 f 7 2 Bf 7 2 f(1)f 5 2 Cf 7 2 f 5 2 f(1) Df 5 2 f(1)f 7 2 答案B 解析yf(x2)是偶函数，f(2x)f(2x) 故 yf(x)的图象关于直线 x2 对称， f 5 2 f 3 2 ，f 7 2 f 1 2 ， 又 f(x)在(0,2)上单调递增，1 21 3 2， f 1 2 f(1)f 3 2 ， 即 f 7 2 f(1)f 5 2 . 二、函数性质的综合应用 例 2已知函数 f(
5、x)axb 1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f 1 2 2 5. (1)确定函数 f(x)的解析式 (2)用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数 (3)解不等式：f(t1)f(t)0. (1)解根据题意得 f00， f 1 2 2 5， 即 a0b 102 0， a 2b 11 4 2 5， 解得 a1， b0， f(x) x 1x2. (2)证明任取 x1，x2(1,1)，且令 x1x2， f(x1)f(x2) x1 1x21 x2 1x22 x1x21x1x2 1x211x22 . 1x1x21， x1x20,1x220,1x1x20， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f
6、(x2)， f(x)在(1,1)上是增函数 (3)解f(t1)f(t)f(t) f(x)在(1,1)上是增函数， 1t11， 1t1， t1t， 解得 0t1 2. 所以不等式的解集为 t|0t 1 2. 反思感悟奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟 练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别 注意函数的定义域 跟踪训练 2已知函数 f(x)的定义域为(2,2)，函数 g(x)f(x1)f(32x) (1)求函数 g(x)的定义域 (2)若 f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不
7、等式 g(x)0 的解集 解(1)由题意可知 2x12， 232x2， 所以 1x3， 1 2x 5 2， 解得1 2x 5 2， 故函数 g(x)的定义域为 1 2， 5 2 . (2)由 g(x)0，得 f(x1)f(32x)0， 所以 f(x1)f(32x) 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x1)f(2x3) 而 f(x)在(2,2)上是减函数， 所以 x12x3， 1 2x 5 2， 解得1 2x2. 所以不等式 g(x)0 的解集为 1 2，2. 1知识清单： (1)函数的对称轴和对称中心 (2)函数奇偶性的综合应用 2方法归纳：数形结合，等价转化 3 常见误区：容易忽视奇函数中的
8、隐含条件 f(0)0. 1下列各图中，表示以 x 为自变量的奇函数的图象是() 答案B 2设 f(x)是 R 上的偶函数，且在(0，)上单调递减，若 x10，则() Af(x1)f(x2) Bf(x1)f(x2) Cf(x1)f(x2) Df(x1)与 f(x2)的大小关系不确定 答案A 3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，且当 x0，)时，f(x)单调递增，则不等式 f(2x1) f(1)0 的解集是() A(，1)B(1，) C1，)D(，1 答案C 解析因为函数 f(x)是奇函数，所以不等式 f(2x1)f(1)0 等价于 f(2x1)f(1) 又当 x0 时，函数 f(x)单调递增
9、， 所以函数 f(x)在 R 上为增函数，所以 f(2x1)f(1)等价于 2x11， 解得 x1. 4已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x2)5 的解集是 _ 答案(7,3) 课时对点练课时对点练 1已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，则 f(2)的值是() A0B1C2D4 答案A 解析由题意得 f(02)f(2)f(0)0. 2已知 f(x)(m1)x22mx3 为偶函数，则 f(x)在区间(2,5)上() A单调递增B单调递减 C有增有减D增减性不确定 答案B 解析由 f(x)是偶函数，即 f(x)f(x)，
10、得 m0，所以 f(x)x23，画出函数 f(x)x2 3 的图象(图略)知，在区间(2,5)上单调递减 3已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(x)f(4x)，当2x0 时，f(x)1 x，则 f 7 2 等于() A2B2 7 C.2 7 D2 答案D 解析f(x)f(4x)， f(x)的图象关于直线 x2 对称，f 7 2 f 1 2 . 又函数 f(x)为奇函数， f 1 2 f 1 2 (2)2，即 f 7 2 2. 4已知偶函数 yf(x)在区间0，)上单调递增，且图象经过点(1,0)和(3,5)，则当 x 3，1时，函数 yf(x)的值域是() A0,5B1,5 C
11、1,3D3,5 答案A 解析偶函数 yf(x)在区间0，)上单调递增，则函数在3，1上单调递减，且 f(3) f(3)5，f(1)0，故函数的值域为0，5. 5 已知偶函数 f(x)在区间0， )上单调递增， 则满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值范围是() A. 1 3， 2 3B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 2 3D. 1 2， 2 3 答案A 解析偶函数满足 f(x)f(|x|)，根据这个结论， 有 f(2x1)f 1 3 f(|2x1|)f 1 3 ，进而转化为不等式|2x1|1 3， 解这个不等式得 x 的取值范围是 1 3， 2 3 . 6(多选)若函数 yf(x)
12、是偶函数，定义域为 R，且该函数图象与 x 轴的交点有 3 个，则下列 说法正确的是() A3 个交点的横坐标之和为 0 B3 个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 Cf(0)0 Df(0)的值与函数解析式有关 答案AC 7已知偶函数 f(x)和奇函数 g(x)的定义域都是(4,4)，且在(4,0上的图象如图所示，则关 于 x 的不等式 f(x)g(x)0 的解集是_ 答案(4，2)(0,2) 解析设 h(x)f(x)g(x)， 则 h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)， 所以 h(x)是奇函数， 由图象可知，当4x0，g(x)0， 即 h(x)0， 当 0 x2 时，f(
13、x)0，即 h(x)0， 所以 h(x)0 的解集为(4，2)(0,2) 8设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 yf(x)的图象关于直线 x1 2对称，则 f(1)f(2)f(3) f(4)f(5)_. 答案0 解析f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)0. 又 f(x)关于直线 x1 2对称， f 1 2xf 1 2x. 在式中，当 x1 2时，f(0)f(1)0. 在式中，以1 2x 代替 x，得 f 1 2 1 2x f 1 2 1 2x ， 即 f(x)f(1x) f(2)f(11)f(1)f(1)0， f(3)f(12)f(2)f(2)0， 同理，f(4)f(5)0. f
14、(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0. 9已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0 时，f(x)的解析式 解(1)根据题意，得函数 f(x)为奇函数， 当 x0 时，f(x)1 1 x1， 则 f(2)f(2) 1 1 21 2 3. (2)根据题意得，当 x0 时，f(x)1 1 x1. 在(，0)上任取 x1，x2，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 1 1 x11 1 1 x21 x1 x11 x2 x21 x2x1 x21x11. 又由 x110，x210， 可得 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 由定义可知，函数 yf(x)在区间(，0)上单调递
15、减 (3)当 x0 时，x0)在区间0,2上的最小值为 g(m) (1)求函数 g(m)的解析式； (2)定义在(，0)(0，)上的函数 h(x)为偶函数，且当 x0 时，h(x)g(x)若 h(t)h(4)， 求实数 t 的取值范围 解(1)因为 f(x)x2mx xm 2 2m2 4 (m0)，所以当 0m 2 2， 即 04 时，函数 f(x) xm 2 2m2 4 在区间0,2上单调递减， 此时 g(m)f(2)42m. 综上可知，g(m) m 2 4 ，04. (2)因为当 x0 时，h(x)g(x)， 所以当 x0 时，h(x) x 2 4 ，04. 易知函数 h(x)在(0，)上
16、单调递减， 因为定义在(，0)(0，)上的函数 h(x)为偶函数，且 h(t)h(4)， 所以 0|t|4， 解得4t0 或 0t4. 综上所述，实数 t 的取值范围为(4,0)(0,4) 11已知定义在 R 上的函数 f(x)在(，2)上单调递减，且 f(x2)为偶函数，则 f(1)，f(4)， f 11 2 的大小关系为() Af(4)f(1)f 11 2 Bf(1)f(4)f 11 2 Cf 11 2 f(4)f(1) Df(1)f 11 2 f(4) 答案A 解析函数 yf(x2)为偶函数， 则函数 yf(x2)的图象关于 y 轴对称，函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对称， 则
17、f 11 2 f 3 2 ，f(4)f(0)， f(x)在(，2)上单调递减，3 21f(1)f(0)， 即 f(4)f(1)f 11 2 . 12若定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意 x1，x2R，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列 说法一定正确的是() Af(x)1 为奇函数Bf(x)1 为偶函数 Cf(x)1 为奇函数Df(x)1 为偶函数 答案C 解析对任意 x1，x2R 有 f(x1x2)f(x1)f(x2)1， 令 x1x20，得 f(0)1. 令 x1x，x2x，得 f(0)f(x)f(x)1. f(x)1f(x)1f(x)1， f(x)1 为奇函数 13
18、设定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0， )上单调递增， 且 f(1)0， 则不等式 xf(x)f(x)0 的解集为() Ax|1x1 Bx|x1 或 0 x1 Cx|x1 Dx|1x0 或 0 x1 答案D 解析奇函数 f(x)在(0，)上单调递增， f(x)f(x)， xf(x)f(x)0，xf(x)0， 又 f(1)0，f(1)0， 从而有函数 f(x)的图象如图所示 则不等式 xf(x)f(x)0 的解集为x|1x0 或 0 x1 14已知函数 f(x) x22x，x0， x22x，x0， 若 f(x1)0，则x0， f(x)(x)22xx22xf(x)， 同理可得，当 x0 时，函
19、数 f(x)单调递增， 所以不等式 f(x1)f(2x1)等价于|x1|0，解得 x0 或 x2. 15 已知函数 f(x)是 R 上的偶函数， 且对任意的 xR 有 f(x3)f(x)， 当 x(3,0)时， f(x) 2x5，则 f(8)等于() A1B9C5D11 答案B 解析根据题意，函数 f(x)满足 f(x6)f(x)， 则 f(8)f(2)， 由函数 f(x)为偶函数，得 f(2)f(2) 当 x(3,0)时，f(x)2x5，则 f(2)2(2)59. 则 f(8)f(2)f(2)9. 16定义在(，0)(0，)上的函数 yf(x)满足 f(xy)f(x)f 1 y ，且函数 f
20、(x)在(， 0)上单调递减 (1)求 f(1)，并证明函数 yf(x)是偶函数； (2)若 f(2)1，解不等式 f 24 x f 1 x 1. 解(1)令 y1 x0，则 f x1 x f(x)f 1 1 x， 得 f(1)f(x)f(x)0， 再令 x1，y1，可得 f(1)f(1)f(1)， 得 2f(1)f(1)0， 所以 f(1)0， 令 y1，可得 f(x)f(x)f(1)f(x)， 又该函数的定义域关于原点对称， 所以 f(x)是偶函数，即证 (2)因为 f(2)1，又该函数为偶函数，所以 f(2)1. 因为函数 f(x)在(，0)上单调递减， 所以函数 f(x)在(0，)上单调递增又 f 24 x f 1 x f 2x4 x x f(2x4)， 所以 f(|2x4|)f(2)，即 |2x4|0， |2x4|2， 解得 2x3 或 1x2. 所以不等式 f 24 x f 1 x 1 的解集为1,2)(2,3
