1、习题课习题课不等式恒成立、能成立问题不等式恒成立、能成立问题 学习目标会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问 题 一、在 R 上的恒成立问题 例 1已知不等式 kx22kx(k2)0 恒成立，求实数 k 的取值范围 解当 k0 时，原不等式化为20，显然符合题意 当 k0 时，令 ykx22kx(k2)，由 y0 恒成立， 其图象都在 x 轴的下方， 即开口向下，且与 x 轴无交点 k0， 4k24kk20， 解得1k0. 综上，实数 k 的取值范围是k|10(a0)恒成立 a0， 0 ax2bxc0(a0)恒成立 a0， 0， 0； ax2bxc0(a0)恒成
2、立 a0， 0. 注意点：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数 是否为 0. 跟踪训练 1若关于 x 的不等式 kx23kxk20 的解集为 R， 则实数 k 的取值范围是() A. k| 4 5k0 B. k| 8 5k0 C. k| 4 5k0 D. k| 8 5k0 答案D 解析当 k0 时，20 恒成立，符合题意； 当 k0 时，需满足 k0 且 9k24k(k2)5k28k0，得8 5k0， 综上，8 5k0. 二、在给定区间上恒成立的问题 例 2当 1x2 时，不等式 x2mx40 恒成立，求实数 m 的取值范围 解令 yx2mx4. y0 在
3、1x2 上恒成立 y0 的根一个小于 1，另一个大于 2. 如图，可得 m50， 42m40. m 的取值范围是m|m0 时，ax2bxc0 在 xx|x上恒成立yax2bxc 在 x，x时的函数 值同时小于 0. (2)a0 在 xx|x上恒成立yax2bxc 在 x，x时的函数 值同时大于 0. 跟踪训练 2若对任意的3x1 都有 ax2x30 成立，则实数 a 的取值范围是 _ 答案a 1 12 解析ax2x30 等价于 ax3 x2 3 x2 1 x在1 1 x 1 3恒成立，令 m 1 x，即 a3m 2m 在 1m1 3上恒成立，二次函数 y3m 2m 的对称轴为 m1 6，即当
4、m 1 6时，y 有最 小值为 1 12，故 a 1 12. 三、解决简单的能成立问题 例 3当 1x0 有解，则实数 m 的取值范围为_ 答案m|m5 解析记 yx2mx4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式 x2mx40(1x0 或 2m80，解得 m5. 反思感悟(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的问题，可转化为 mymin或 m0， 4xm2(x22x3)能成立， m2x28x6 能成立， 令 y2x28x62(x2)222， m2， m 的取值范围为m|m2 1知识清单： (1)在 R 上的恒成立问题 (2)给定区间上的恒成立问题 (3)解决简
5、单的能成立问题 2方法归纳：等价转换，数形结合 3常见误区：要注意端点值的取舍 1若不等式 x2mx10 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是() Am2Bm2 Cm2 或 m2D2m2 答案D 解析不等式 x2mx10 的解集为 R，则m240，解得2m2，实数 m 的取 值范围是2m2. 2对于任意 xR， mx22mx2都有意义，则 m 的取值范围是() Am2B00， 即 4m28m0， m0， 解得 00 恒成立，则实数 a 的取值范围是() Aa1Ba1 Ca1Da0，故 x2ax0 在 1x2 上恒成立等价于 xa0 在 1x2 上 恒成立，故 1a0，即 a1. 4定义运算|
6、a b cd|adbc，则不等式| ax1 1x1|0 对任意 xR 恒成立，则实数 a 的取值 范围是_ 答案4a0 解析原不等式为 ax(x1)10，即 ax2ax10，a0 时，不等式为10，符合题意， 当 a0 时，有 a0， a24a0 4a0，综上所述，a 的取值范围是4a0. 课时对点练课时对点练 1一元二次不等式 ax2bxc0， 0 B. a0， 0 C. a0 D. a0， 0 答案D 解析一元二次不等式 ax2bxc0 的解集为全体实数等价于二次函数 yax2bxc 的图 象全部在 x 轴下方，需要开口向下，且与 x 轴无交点，故需要 a0， 0. 2若关于 x 的不等式
7、x2mx10 有解，则实数 m 的取值范围是() Am|m2 或 m2Bm|2m2 Cm|m2Dm|2m2 答案A 解析因为关于 x 的不等式x2mx10 有解， 所以m240，解得 m2 或 m2. 3已知不等式 x2ax40 的解集为空集，则 a 的取值范围是() Aa|4a4Ba|4a4 Ca|a4 或 a4Da|a4 答案A 解析由题意得，a2160，解得4a4. 4已知不等式x24xa23a 在 R 上有解，则实数 a 的取值范围为() Aa|1a4Ba|1a4 Ca|a4 或 a1Da|4a1 答案A 解析由题意知，(x2)24a23a 在 R 上有解， a23a4，即(a4)(a
8、1)0，1a4. 5 若两个正实数x， y满足1 x 4 y1， 且不等式x y 4m 23m有解， 则实数m的取值范围是( ) Am|1m4Bm|m3 Cm|4m1Dm|m4 答案D 解析因为正实数 x，y 满足1 x 4 y1， 所以 xy 4 1 x 4 y xy 4 24x y y 4x 22 4x y y 4x4， 当且仅当 x2，y8 时，xy 4取得最小值 4， 由 xy 44， 解得 m4 或 m1. 6(多选)不等式 ax22x10 的解集非空的一个必要不充分条件是() Aa1Ba1 Ca2Da0 答案BC 解析因为 ax22x10， 44a0， 0a1， 综上， ax22x
9、10 的解集非空的充要条件为 a1. 7若不等式 x2(m3)xm0 无解，则实数 m 的取值范围是_ 答案1m9 解析x2(m3)xm0 无解， (m3)24mm210m90， 解得 1m9. 8若关于 x 的不等式(k1)x2(k1)x10 恒成立，则实数 k 的取值范围是_ 答案k|3k1 解析当 k1 时，10 恒成立； 当 k1 时，由题意得 k10， k124k10， 解得3k1， 因此实数 k 的取值范围为k|3k1 9xx|2x3，不等式 mx2mx10 恒成立，求 m 的取值范围 解由不等式 mx2mx10，得 m(x2x)0， 所以 m(x2x)1 可化为 m 1 x2x，
10、 因为 x2x x1 2 21 46， 所以 1 x2x 1 6，所以 m 1 6. 即 m 的取值范围是 m|m 1 6. 10已知函数 ymx2mx6m，若对于 1m3，y0 恒成立，求实数 x 的取值范围 解y0mx2mx6m0(x2x1)m60. 1m3， x2x16 m恒成立， x2x16 3x 2x101 5 2 x1 5 2 . x 的取值范围为 x| 1 5 2 x0”，q：“2m2”，则 p 是 q 成立的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析xR，x2mx10，m240， 2m2， 命题 p：2m1 成立，则实数 a 的取值
11、范围是() Aa 3 2 B1 2a 3 2 C3 2a 1 2 Da 1 2 答案A 解析由题意知 (xa)(xa)(xa)1(xa) x2xa2a x1 2 2a2a1 4， 若xR，使得不等式(xa)(xa)1 成立， 则需函数 y x1 2 2a2a1 4的最大值大于 1， 即 x1 2时，ya 2a1 41 成立， 解得 a 3 2. 13对任意 x 满足1x2，不等式 x22xa0 成立的必要不充分条件是() Aa3Ba4 Ca0 答案C 解析因为 x22xa0， 所以 ax22x， 又因为1x2， x22xx(x2)3， 所以 a3， 又因为求“对任意 x 满足1x2，不等式 x
12、22xa0 成立， 则实数 x 的取值范围为_ 答案x|x1 或 x 2 3 解析令 yax2(a2)x2(x2x)a2x2，是关于 a 的函数，由题意得 (x2x)2x20 或 (x2x)32x20. 即 x2x20，或 3x2x20. 解可得 x1 或 x2. 解可得 x1 或 x2 3. 把的解集取并集可得 x1 或 x2 3. 15 关于 x 的不等式(a21)x2(a1)x10 的解集为 R， 则实数 a 的取值范围是_ 答案a| 3 5a1 解析当 a210 时，a1 或 a1， 若 a1，不等式为10，恒成立， 若 a1，不等式为 2x10， 解得 x1 2，不符合题意， 当 a210 时， 若要不等式(a21)x2(a1)x10 的解集为 R， 则 a210，且(a1)24(a21)0， 解得3 5a1， 综上可得3 5a1. 16不等式 x28y2y(xy)对于任意的 x，yR 恒成立，求实数的取值范围 解因为 x28y2y(xy)对于任意的 x，yR 恒成立， 所以 x28y2y(xy)0 对于任意的 x，yR 恒成立， 即 x2yx(8)y20 恒成立， 由二次不等式的性质可得， 2y24(8)y2y2(2432)0， 所以(8)(4)0，解得84. 即实数的取值范围为|84
