1、习题课习题课基本不等式基本不等式 学习目标1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能利用基本不等式证明简单的不等式 及比较代数式的大小 一、利用基本不等式比较大小 例 1已知 0abQMBMPQ CQMPDMQP 答案B 解析因为 0ab ab， 又因为ab 2 PQ. 反思感悟运用基本不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形 (2)应注意成立的条件，即 ab2ab成立的条件是 a0，b0，等号成立的条件是 ab；a2 b22ab 成立的条件是 a，bR，等号成立的条件是 ab. 跟踪训练 1设 a，b 为非零实数，给出下列不等式： a 2b2 2 ab；a 2b2
2、 2 ab 2 2；ab 2 ab ab； a b b a2. 其中恒成立的是_(填序号) 答案 解析由重要不等式 a2b22ab，可知正确； a2b2 2 2a 2b2 4 a 2b2a2b2 4 a 2b22ab 4 ab 2 4 ab 2 2，可知正确； 当 ab1 时，不等式的左边为ab 2 1， 右边为 ab ab 1 2，可知不正确； 当 a1，b1 时，可知不正确 二、巧用“1”的代换求最值问题 例 2已知 a0，b0，a2b1，求 t1 a 1 b的最小值 解因为 a0，b0，a2b1， 所以 t1 a 1 b 1 a 1 b (a2b) a2b a a2b b 12b a a
3、 b2 32 2b a a b 32 2. 当且仅当 2b a a b， a2b1， 即 a 21， b2 2 2 时等号成立，故 t 的最小值为 32 2. 延伸探究若 x0，y0，且1 x 9 y1，求 xy 的最小值 解1 x 9 y1， xy 1 x 9 y (xy)109x y y x102 9x y y x16， 当且仅当9x y y x即 x4，y12 时，取等号 反思感悟常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定 值的式子，然后利用基本不等式求解最值应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与 所求最值的表达式相乘求积或相除求商 跟踪训练 2已知 x
4、0，y0，x8yxy，求 x2y 的最小值 解因为 x0，y0，由 x8yxy，两边同时除以 xy， 可得8 x 1 y1， 所以 x2y 8 x 1 y (x2y)10 x y 16y x 102 x y 16y x 18， 当且仅当 8 x 1 y1， x y 16y x ， 即 x12， y3 时，等号成立， 所以 x2y 的最小值为 18. 三、利用基本不等式证明不等式 例 3已知 a，b，c 均为正实数，且 abc1. 求证： 1 a1 1 b1 1 c18. 证明因为 a，b，c 均为正实数，abc1， 所以1 a1 1a a bc a 2 bc a ， 同理1 b1 2 ac b
5、 ，1 c1 2 ab c . 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得 1 a1 1 b1 1 c12 bc a 2 ac b 2 ab c 8. 当且仅当 abc1 3时，等号成立 延伸探究本例的条件不变，求证：1 a 1 b 1 c9. 证明 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a a b c a a c c b b c 32229， 当且仅当 abc1 3时，等号成立 反思感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“
6、可知”，逐步推向“未知” (2)注意事项： 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；巧用“1”的代换证明不等式；对不能 直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用 跟踪训练 3已知 a0，b0，且 ab1 a 1 b，求证：ab2. 证明由 a0，b0，则 ab1 a 1 b ab ab ， 由于 ab0，则 ab1，即 ab2 ab2， 当且仅当 ab1 时，等号成立，所以 ab2. 1知识清单： (1)利用基本不等式比较大小 (2)巧用“1”的代换求最值问题 (3)利用基本不等式证明不等式 2方法归纳：配凑法 3常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误
7、 1已知 0a1,0b1，且 ab，下列各式中最大的是() Aa2b2B2 abC2abDab 答案D 解析0a1,0b1，a2a，b2b， a2b22ab(ab)， 2aba2b22 ab(ab)，ab 最大 2若 0aab 2 abbBb abab 2 a Cbab 2 abaDbaab 2 ab 答案C 解析0aab，bab 2 ab. 又ba0，aba2， aba.故 bab 2 aba. 3已知 x，y 是正数且 xy1，则 4 x2 1 y1的最小值为( ) A.13 15 B.9 4 C2D3 答案B 解析由 xy1，得(x2)(y1)4， 即1 4(x2)(y1)1， 4 x2
8、 1 y1 4 x2 1 y1 1 4(x2)(y1) 1 4 414y1 x2 x2 y1 1 4(54) 9 4， 当且仅当 x2 3，y 1 3时，等号成立 4周长为 21 的直角三角形面积的最大值为_ 答案 1 4 解析设直角三角形的两条直角边的长分别为 a，b，则 aba2b2 21.又 a b2 ab，a2b22ab，所以 212 ab 2ab(2 2) ab，解得 ab1 2，当且仅当 a b 2 2 时取“”，所以直角三角形的面积 S1 2ab 1 4，即 S 的最大值为 1 4. 课时对点练课时对点练 1设 ta2b，sab21，则 t 与 s 的大小关系是() AstBst
9、CstDs2|ab| 答案A 解析a2b22|ab|(|a|b|)20， a2b22|ab|(当且仅当|a|b|时，等号成立) 3小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则() Aav abBv ab C. abvab 2 Dvab 2 答案A 解析设甲、乙两地的距离为 s， 则 v 2s s a s b 2 1 a 1 b . 由于 ab，1 a 1 ba， 又1 a 1 b2 1 ab，v ab. 故 av0，b0，ab1，对于代数式 11 a 11 b ，下列说法正确的是() A最小值为 9 B最大值是 9 C当 ab1 2时取得最小值 D当 ab1
10、 2时取得最大值 答案AC 解析原式11 a 1 b 1 ab1 ab ab 1 ab1 2 ab， 因为 ab ab 2 21 4， 所以 1 ab4. 所以原式1 2 ab9，当且仅当 ab 1 2时，等号成立 7已知 abc，则 abbc与ac 2 的大小关系是_ 答案abbcac 2 解析因为 abc，所以 ab0，bc0， 所以ac 2 abbc 2 abbc， 当且仅当 abbc 时，等号成立 8已知 t0，则函数 yt 24t1 t 的最小值为_ 答案2 解析yt1 t 4242. 当且仅当 t1 时，等号成立 9已知 abc，你能比较出 4 与 1 ab 1 bc (ac)的大
11、小吗？ 解 1 ab 1 bc (ac)4， 理由如下：因为 ac(ab)(bc)， 所以 1 ab 1 bc (ab)(bc) 2bc ab ab bc， 又 abc，所以 ab0，bc0， 所以bc ab ab bc2， 故 1 ab 1 bc (ac)4， 当且仅当bc ab ab bc时，取“” 10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求 (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解(1)由 2x8yxy0， 得8 x 2 y1， 又 x0，y0， 则 18 x 2 y2 8 x 2 y 8 xy，得 xy64， 当且仅当 x16，y4 时，等号成立 所以 xy 的最小值为 64
12、. (2)由 2x8yxy0， 得8 x 2 y1， 则 xy 8 x 2 y (xy) 102x y 8y x 102 2x y 8y x 18. 当且仅当 x12 且 y6 时等号成立， 所以 xy 的最小值为 18. 11已知 a0，b0，ab1，且 mb1 a，na 1 b，则 mn 的最小值是( ) A3B4C5D6 答案B 解析mnb1 aa 1 b2a2b2 4ab4，当且仅当 ab1 时，等号成立 12已知 a0，b0，则下列不等式中不成立的是() Aab 1 ab2 2 B(ab) 1 a 1 b 4 C.a 2b2 ab 2 abD. 2ab ab ab 答案D 解析ab
13、1 ab2 ab 1 ab2 2， 当且仅当 ab 2 2 时，等号成立，A 成立； (ab) 1 a 1 b 2 ab2 1 ab4， 当且仅当 ab 时，等号成立，B 成立； a2b22ab0，a 2b2 ab 2 ab， 当且仅当 ab 时，等号成立，C 成立； ab2 ab，a0，b0， 2 ab ab1， 2ab ab ab， 当且仅当 ab 时，等号成立，D 不成立 13 设自变量 x 对应的因变量为 y， 在满足对任意的 x， 不等式 yM 都成立的所有常数 M 中， 将 M 的最小值叫做 y 的上确界若 a，b 为正实数，且 ab1，则 1 2a 2 b的上确界为( ) A9
14、2 B.9 2 C.1 4 D4 答案A 解析因为 a，b 为正实数，且 ab1， 所以 1 2a 2 b 1 2a 2 b (ab)5 2 b 2a 2a b 5 22 b 2a 2a b 9 2， 当且仅当 b2a，即 a1 3，b 2 3时，等号成立， 因此有 1 2a 2 b 9 2， 即 1 2a 2 b的上确界为 9 2. 14设 x(0,1)，则当 1 1x 4 x取得最小值时，x 的值是_ 答案 2 3 解析x(0,1)，则 1x0，由基本不等式可得 1 1x 4 x(1x)x 1 1x 4 x x 1x 41x x 52 x 1x 41x x 59，当且仅当 x 1x 41x
15、 x ，即 x2 3时，等号成立 15若实数 x，y 满足 xy3x3 0 x1 2 ，则3 x 1 y3的最小值为_ 答案8 解析实数 x，y 满足 xy3x3 0 x1 2 ， x 3 y3，0 3 y33. 则3 x 1 y3y3 1 y3y3 1 y36 2y3 1 y368， 当且仅当 y4，x3 7时，等号成立 16已知 a，b 都是正数，求证： 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 . 证明1 a 1 b2 1 ab， 1 1 a 1 b ab 2 ， 即 2 1 a 1 b ab. 又 ab 2 2a 22abb2 4 a 2a2b2b2 4 a 2b2 2 ， ab 2 a2b2 2 . 又由基本不等式得ab 2 ab， 故 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (当且仅当 ab 时，等号成立)
