1、圆与圆的位置关系、直线与圆的圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用方程的应用 层级一层级一学业水平达标学业水平达标 1已知两圆分别为圆已知两圆分别为圆 C1：x2y281 和圆和圆 C2：x2y26x8y90，这两圆的位置，这两圆的位置 关系是关系是() A相离相离B相交相交 C内切内切D外切外切 解析：解析：选选 C圆圆 C1的圆心为的圆心为 C1(0,0)，半径长，半径长 r19；圆；圆 C2的方程化为标准形式为的方程化为标准形式为(x 3)2(y4)242，圆心为，圆心为 C2(3,4)，半径长，半径长 r24，所以，所以|C1C2| 30 2 40 25.因因为为 r1r25，所以，所
2、以|C1C2|r1r2，所以圆，所以圆 C1和圆和圆 C2内切内切 2两圆两圆 x2y2r2，(x3)2(y1)2r2外切，则正实数外切，则正实数 r 的值是的值是() A. 10B. 10 2 C. 5D5 解析：解析：选选 B由题意，知由题意，知 2r3212 10，r 10 2 . 3圆圆 O1：x2y26x16y480 与圆与圆 O2：x2y24x8y440 的公切线条数为的公切线条数为 () A4 条条B3 条条 C2 条条D1 条条 解析：解析：选选 C圆圆 O1为为(x3)2(y8)2121， O1(3，8)，r11， 圆圆 O2为为(x2)2(y4)264，O2(2,4)，R8
3、， |O1O2| 32 2 84 213， rR|O1O2|Rr， 两圆相交两圆相交公切线有公切线有 2 条条 4圆圆 x2y24x6y0 和圆和圆 x2y26x0 交于交于 A，B 两点，则两点，则 AB 的垂直平分线的的垂直平分线的 方程是方程是() Axy30B2xy50 C3xy90D4x3y70 解析：解析：选选 CAB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除代入，即可排除 A、B、 D. 5台风中心从台风中心从 A 地以地以 20 km/h 的速度向东北方向移动的速度向东北方向移动，离台风中心离台风中心 30 km 内的地区为内的地
4、区为 危险区，城市危险区，城市 B 在在 A 地正东地正东 40 km 处，则城市处，则城市 B 处于危险区内的时间为处于危险区内的时间为() A0.5 hB1 h C1.5 hD2 h 解析解析：选选 B如图如图，以以 A 地为原点地为原点，AB 所在直线为所在直线为 x 轴轴，建立建立 平面直角坐标系平面直角坐标系， 则以则以 B(40,0)为圆心为圆心， 30 为半径的圆内为半径的圆内 MN 之间之间(含含 端点端点)为危险区，可求得为危险区，可求得|MN|20，时间为时间为 1 h. 6若圆若圆 x2y22axa22 和和 x2y22byb21 外离外离，则则 a， b 满足的条件是满
5、足的条件是_ 解析解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)， 2和和(0，b)，1，因为两圆相离因为两圆相离， 所以所以 a2b2 21， 即即 a2b232 2. 答案：答案：a2b232 2 7若圆若圆 x2y24 与圆与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为的公共弦的长为 2 3，则则 a_. 解析解析：两圆的方程相减两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04 y1 a， ，又又 a0，结合图象结合图象(图略图略)，再利用半径再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形弦长
6、的一半及弦心距所构成的直角三角形， 可知可知1 a 22 3 21a1. 答案：答案：1 8经过直线经过直线 xy10 与圆与圆 x2y22 的交点，且过点的交点，且过点(1,2)的圆的方程为的圆的方程为 _ 解析解析：由已知可设所求的圆的方程为由已知可设所求的圆的方程为 x2y22(xy1)0，将将(1,2)代入可得代入可得 3 4，故所求圆的方程为 ，故所求圆的方程为 x2y23 4x 3 4y 11 4 0. 答案：答案：x2y23 4x 3 4y 11 4 0 9求与圆求与圆 C：x2y22x0 外切且与直线外切且与直线 l：x 3y0 相切于点相切于点 M(3， 3)的圆的的圆的 方
7、程方程 解：解：圆圆 C 的方程可化为的方程可化为(x1)2y21， 圆心圆心 C(1,0)，半径为，半径为 1. 设所求圆的方程为设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 由题意可知由题意可知 a1 2b2r1， b 3 a3 3 3 1， |a 3b| 2 r， 解得解得 a4， b0， r2. 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x4)2y24. 10已知两圆已知两圆 x2y22x6y10 和和 x2y210 x12ym0. (1)m 取何值时两圆外切？取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？取何值时两圆内切？ (3)求求 m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦
8、的长时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解：解：两圆的标准方程为：两圆的标准方程为：(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m， 圆心分别为圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，半径分别为，半径分别为 11和和 61m. (1)当两圆外切时，当两圆外切时， 51 2 63 2 11 61m， 解得解得 m2510 11. (2)当两圆内切时当两圆内切时，因定圆的半径因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离小于两圆圆心间距离 5，故只有故只有 61m 115， 解得解得 m2510 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为两圆的公共弦所在直线方程为 (x2y22x6y1)(x2y2
9、10 x12y45)0，即，即 4x3y230， 公共弦长为公共弦长为 2 11 2 |413323| 4232 2 2 7. 层级二层级二应试能力达标应试能力达标 1若圆若圆 C1：x2y21 与圆与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则外切，则 m() A21B19 C9D11 解析解析：选选 C依题意可得圆依题意可得圆 C1：x2y21 与圆与圆 C2：x2y26x8ym0 的圆心分别的圆心分别 为为 C1(0,0)，C2(3,4)，则，则|C1C2|33425.又又 r11，r2 25m，由，由 r1r2 25m1 5，解得，解得 m9. 2若圆若圆 x2y2r2与圆与圆 x2y22
10、x4y40 有公共点，则有公共点，则 r 满足的条件是满足的条件是() Ar 51 C|r 5|1D|r 5|1 解析：解析：选选 D由由 x2y22x4y40，得，得(x1)2(y2)21，两圆圆心之间的距离，两圆圆心之间的距离 为为 1 222 5.两圆有公共点，两圆有公共点，|r1| 5r1， 51r 51，即，即1r 51，|r 5|1. 3圆圆(x2)2y25 关于直线关于直线 xy10 对称的圆的方程为对称的圆的方程为() A(x2)2y25Bx2(y2)25 C(x1)2(y1)25D(x1)2(y1)25 解析：解析：选选 D由圆由圆(x2)2y25，可知其圆心为，可知其圆心为
11、(2,0)，半径为，半径为 5.设点设点(2,0)关于直关于直 线线 xy10 对称的点为对称的点为(x，y)，则，则 y0 x2 1， x2 2 y 0 2 10， 解得解得 x1， y1， 所求圆的圆心为所求圆的圆心为(1，1) 又所求圆的半径为又所求圆的半径为 5，圆圆(x2)2y25 关于直线关于直线 xy10 对称的圆的方程为对称的圆的方程为(x 1)2(y1)25. 4点点 P 在圆在圆 C1：x2y28x4y110 上上，点点 Q 在圆在圆 C2：x2y24x2y10 上上， 则则|PQ|的最小值是的最小值是() A5B1 C3 55D3 55 解析：解析：选选 C圆圆 C1：x
12、2y28x4y110，即，即(x4)2(y2)29，圆心为，圆心为 C1(4,2)； 圆圆 C2： x2y24x2y10， 即即(x2)2(y1)24， 圆心为圆心为 C2(2， 1)， 两圆相离两圆相离， |PQ| 的最小值为的最小值为|C1C2|(r1r2)3 55. 5若圆若圆 O：x2y25 与圆与圆 O1：(xm)2y220(mR)相交于相交于 A，B 两点，且两圆在两点，且两圆在 点点 A 处的切线互相垂直，则线段处的切线互相垂直，则线段 AB 的长为的长为_ 解析：解析：连接连接 OO1，记，记 AB 与与 OO1的交点为的交点为 C，如图所示，在，如图所示，在 Rt OO1A
13、中，中，|OA| 5，|O1A|2 5， |OO1|5，|AC| 52 5 5 2， |AB|4. 答案：答案：4 6过两圆过两圆 x2y22y40 与与 x2y24x2y0 的交点的交点，且圆心在直线且圆心在直线 l：2x4y 10 上的圆的方程是上的圆的方程是_ 解析：解析：设圆的方程为设圆的方程为 x2y24x2y(x2y22y4)0，则，则(1)x24x(1)y2 (22)y40，把圆心，把圆心 2 1， ， 1 1 代入代入 l：2x4y10 的方程，可得的方程，可得1 3，所以所 ，所以所 求圆的方程为求圆的方程为 x2y23xy10. 答案：答案：x2y23xy10 7已知圆已知
14、圆 O1的方程为的方程为 x2(y1)24，圆，圆 O2的圆心为的圆心为 O2(2,1) (1)若圆若圆 O1与圆与圆 O2外切，求圆外切，求圆 O2的方程；的方程； (2)若圆若圆 O1与圆与圆 O2交于交于 A，B 两点，且两点，且|AB|2 2，求圆，求圆 O2的方程的方程 解：解：(1)设圆设圆 O1、圆、圆 O2的半径分别为的半径分别为 r1，r2， 两圆外切，两圆外切，|O1O2|r1r2， r2|O1O2|r1 02 2 11 222( 21)， 圆圆 O2的方程是的方程是(x2)2(y1)2128 2. (2)由题意，设圆由题意，设圆 O2的方程为的方程为(x2)2(y1)2r
15、23， 圆圆 O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦的方程相减，即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程，为所在直线的方程，为 4x4yr2380. 圆心圆心 O1(0，1)到直线到直线 AB 的距离为的距离为|0 4r238| 4242 4 2 2 2 2 2，解得，解得 r234 或或 20. 圆圆 O2的方程为的方程为(x2)2(y1)24 或或(x2)2(y1)220. 8某公园有某公园有 A、B 两个景点两个景点，位于一条小路位于一条小路(直道直道)的同侧的同侧，分别距小路分别距小路2 km 和和 2 2 km，且且 A，B 景点间相距景点间相距 2 km，今欲在该小路上设一观景点今欲在该
16、小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时使两景点在同时进入视线时 有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？ 解解：所选观景点应使对两景点的视角最大所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识知由平面几何知识知，该点应是过该点应是过 A，B 两点两点 的圆与小路所在的直线相切时的切点的圆与小路所在的直线相切时的切点 以小路所在直线为以小路所在直线为 x 轴轴， B 点在点在 y 轴正半轴上建立平轴正半轴上建立平 面直角坐标系面直角坐标系 由题意，得由题意，得 A( 2， 2)，B(0,2 2)， 设圆的方程为设圆的方程为(xa)2(yb)2b2，由，由 A，B 两点在圆上，得两点在圆上，得a 0，b 2 或或 a4 2，b5 2， 由实际意义知由实际意义知 a0，b 2， 圆的方程为圆的方程为 x2(y 2)22，切点为，切点为(0,0)， 观景点应设在观景点应设在 B 景点在小路的投影处景点在小路的投影处
