1、第2课时集合的表示 第一章1.1集合的概念 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合. 学 习 目 标 同学们，上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比如 非负整数集、正整数集等，我们发现可以用自然语言描述一个集合， 而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的 表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法 呢？让我们一同进入今天的探究之旅. 导 语 随堂演练课时对点练 一、用列举法表示集合 二、用描述法表示集合 三、方程
2、与集合 内容索引 一、用列举法表示集合 问题1用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方 法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 提示这是用自然语言法表示的集合； 我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出. 知识梳理 列举法像这样把集合的所有元素出来，并用花括号“ ” 括起来表示集合的方法叫做. 注意点：注意点：(1)元素间用“，”隔开；(2)集合中的元素是确定的，元素不重 复，元素无顺序；(3)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用 “ ”括起来即可；(4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素 有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规
3、律显示清楚，然后加省 略号，比如正整数集可表示为1,2,3,4,5；(5)这里集合的“ ”已 包含所有的意思，比如整数，即代表整数集Z，而不能用全体整数， 即不能出现“全体”“所有”等字眼. 一一列举 列举法 例1(教材第3页例1改编)用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； 解设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A1,2,3,4,5,6,7,8,9. (2)方程x2x0的所有实数根组成的集合； 解设方程x2x0的所有实数根组成的集合为B，那么B1,0. (3)直线y2x1与y轴的交点所组成的集合. 解将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合
4、 是(0,1). 反思感悟用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来. 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合， 一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如(2,3)， (5，1). 跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； 解不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A0,2,4,6,8,10. (2)小于8的质数组成的集合B； 解小于8的质数有2,3,5,7， 所以B2,3,5,7. (3)方程2x2x30的实数根组成的集合C
5、； (4)一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合D. 所以一次函数yx3与y2x6的交点为(1,4)， 所以D(1,4). 二、用描述法表示集合 问题2你能用列举法表示不等式x73的解集吗？ 提示不等式x73的解是x10，因为满足x10的实数有无数个，所 以x73的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的 共同特征，即x是实数，且x10，把解集表示为xR|x1不能写成x1； (2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等； (3)不能出现未被说明的字母，如xZ|x2m中m未被说明，故此集合 中的元素是不确定的； xA|P(x) (4)所有描述的内容都要写在花括
6、号内，如“xZ|x2m，mN”不 符合要求，应将“mN”写进“”中，即xZ|x2m，mN； (5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若xR是明确的， 则xR可省略不写，如集合DxR|x20也可表示为Dx|x20； (6)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语， 如x|x1； (7)“”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用 描述法表示为x|x是实数，但如果写成x|x是所有实数、x|x是全体实数、 x|x是实数集都是错误的，因为“”本身既表示集合的意思，也表 示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会. 例2用描述法表示下列集
7、合： (1)不等式2x31的解组成的集合A； 解不等式2x31的解组成的集合为A， 则集合A中的元素是数， 设代表元素为x，则x满足2x31， 则Ax|2x31，即Ax|x2. (2)被3除余2的正整数的集合B； 解设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ. 但元素为正整数，故x3n2，nN. 所以被3除余2的正整数的集合Bx|x3n2，nN. (3)C2,4,6,8,10； 解设偶数为x，则x2n，nZ. 但元素是2,4,6,8,10， 所以x2n，n5，nN*. 所以Cx|x2n，n5，nN*. (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. 解平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负
8、，纵坐标为正， 即x0， 故第二象限内的点的集合为D(x，y)|x0. 反思感悟(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、 点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用 一个有序实数对代表其元素. (2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或 指出其取值范围. 跟踪训练2 (教材第4页例2改编)试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x250的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 解描述法表示为xN|0 x8(形式不唯一)， 列举法表示为0,1,2,3,4,5,6,7. 三、方程与集合 例3已知集合Ax|a
9、x22x10，aR，若A中只有一个元素， 求a的值. 解当a0时，原方程变为2x10，此时x ，符合题意； 当a0时，方程ax22x10为一元二次方程， 当44a0，即a1时，原方程的解为x1，符合题意. 故当a0或a1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素. 延伸探究 1.在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 解A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素. 当A中只有一个元素时，由例题可知，a0或a1. 当A中没有元素时，44a1. 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a|a0或a1. 2.在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合1相等？若存在， 求出a的值；
10、若不存在，说明理由. 解A1，1A，a210，即a3. 又当a3时，由3x22x10， 故不存在实数a，使A1. 反思感悟根据已知的集合求参数的关注点 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题 的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素 个数问题转化为方程的根的个数问题. (2)a0这种情况极易被忽视，对于方程“ax22x10”有两种情况： 一是a0，即它是一元一次方程；二是a0，即它是一元二次方程，也 只有在这种情况下，才能用判别式来解决问题. 跟踪训练3已知集合Aa3，(a1)2，a22a2，若1A，求 实数a的值. 解若a31，则a2， 此
11、时A1,1,2，不符合集合中元素的互异性，舍去. 若(a1)21，则a0或a2. 当a0时，A3,1,2，满足题意； 当a2时，由知不符合条件，故舍去. 若a22a21，则a1， 此时A2,0,1，满足题意. 综上所述，实数a的值为1或0. 1.知识清单： (1)列举法； (2)描述法； (3)集合与方程、不等式的关系. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：列举法与描述法的乱用，涉及x2的系数不确定时，忽略讨 论方程是一次方程还是二次方程. 课堂小结 随堂演练 1.集合xN*|x21的另一种表示法是 A.0,1,2,3 B.1,2,3 C.0,1,2,3,4 D.1,2,3,4 1234
12、解析因为x21，xN*， 所以x3，xN*，从而x1,2,3. 1234 1234 3.下列说法中正确的是 0与0表示同一个集合； 由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1； 方程(x1)2(x2)0的所有解组成的集合可表示为1,1,2； 集合x|4x5可以用列举法表示. A.只有和 B.只有和 C.只有 D.只有和 1234 解析中“0”不能表示集合，而“0”可以表示集合，故错误； 根据集合中元素的无序性可知正确； 根据集合中元素的互异性可知错误； 不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举. 1234 4.用列举法表示集合D(x，y)，xN，yN|yx28为_ _
13、. (0,8)， 解析由已知得集合D为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列 举可得答案. (1,7)，(2,4) 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 1.已知集合Mx|xN，则 A.0M B.M C. M D.1 M 解析由集合Mx|xN知：0M，故A正确； M，故B错误； M，故C错误； 1M，故D错误. 16 2.已知集合A1,2，Bx|xab，aA，bA，则集合B中的元 素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析集合A1,2，Bx|xab，aA，bA， B2,3,4， 集合B中的元
14、素个数为3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.把集合x|x24x50用列举法表示为 A.x1，x5 B.x|x1，或x5 C.x24x50 D.1,5 解析根据题意，解x24x50可得x1或5， 用列举法表示为1,5. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.若1x2，x2，则实数x的值为 A.1 B.1 C.1或1 D.1或3 解析由1x2，x2，可得x21(x21时，由元素的互异性排除)， 则x1. 当x1时，x23，满足要求； 当x1时，121，不满足元素的互异性， x1. 12345678910 11 12 13 14 15 5.
15、下列集合中表示同一集合的是 A.M(3,2)，N(2,3) B.M2,3，N3,2 C.M(x，y)|xy1，Ny|xy1 D.M2,3，N(2,3) 16 12345678910 11 12 13 14 15 解析选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集，集合N是由点(2,3)组 成的点集，故集合M与N不是同一个集合； 选项C中的集合M是由一次函数y1x图象上的所有点组成的集合， 集合N是由一次函数y1x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即 Ny|xy1R，故集合M与N不是同一个集合； 选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个 集合； 对于选项B，由集合中元素的无序性
16、，可知M，N表示同一个集合. 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知集合AxN|x6，则下列关系式成立的是 A.0A B.1.5 A C.1 A D.6A 解析AxN|x60,1,2,3,4,5， 6 A，故D不成立，其余都成立. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.集合x|x2m3，mN*，m5，用列举法表示为_. 1,1,3,5 解析集合中的元素满足x2m3，mN*，m5， 则满足条件的x值：m1，x1；m2，x1；m3，x3；m4， x5. 则集合用列举法表示为1,1,3,5. 12345678910 11 12 1
17、3 14 15 16 8.若集合AxR|kx24x40只有一个元素，则实数k的值为 _.0或1 解析集合A中只有一个元素，即方程kx24x40只有一个根. 当k0时，方程为一元一次方程，只有一个根； 当k0时，方程为一元二次方程，若只有一个根， 则1616k0，即k1. 所以实数k的值为0或1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x22x1)0的解集； 解0，1. (2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； 解x|x2n1，且x6的解构成的集合； 解x|x8. 12345678910 11 12 13 14 15
18、 16 (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； 解1,2,3,4,5,6. 解集用列举法表示为(2，1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.下列三个集合： Ax|yx21； By|yx21； C(x，y)|yx21. (1)它们是不是相同的集合？ 解它们是互不相同的集合. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)它们各自的含义分别是什么？ 解集合Ax|yx21的代表元素是x，且xR； 集合By|yx21的代表元素是y， 满足条件yx21的y的取值范围是y1. 集合C(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)， 是抛物线y
19、x21上的点. 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.由大于3且小于11的偶数所组成的集合是 A.x|3x11，xZ B.x|3x11 C.x|3x11，x2k D.x|3x11，x2k，kZ 解析由题意可知，满足题设条件的只有选项D. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.将集合 用列举法表示，正确的是 A.2,3 B.(2,3) C.x2，y3 D.(2,3) 13.已知Aa2,2a25a,12且3A，则由a的值构成的集合是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析3A，Aa2,2a25a,12， 1
20、2345678910 11 12 13 14 15 16 14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集， 则集合A1,1,2_(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个 含三个元素的可倒数集_.(答案不唯一) 不是 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为 正偶数或正奇数时，mnmn；当m，n中一个为正偶数，另一个为 正奇数时，mnmn，则在此定义下，集合M(a，b)|ab16中的 元素个数是 A.18 B.17 C.16 D.15 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为11516,21416,31316,41216,51116,6 1016,7916,8816,9716,10616,11516,124 16,13316,14216,15116,11616,16116，集合M中的 元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以A1,7,9，B1,3,9 所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为 1,9 本课结束 更多精彩内容请登录：
