1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 毕节市实验高级中学毕节市实验高级中学 20202020 春季半期高二数学春季半期高二数学( (文文) )试题试题 一一 选择题选择题 1.设集合12Axx ， lg1Bx yx ，则() R AB （） A. 1 2 ， B. 2 ， C.(1,1D. 1 ， 【答案】C 【解析】 【分析】 由10 x 求出集合B，然后求出其补集 B R ，最后求交集. 【详解】由10 x 得1x ，即1Bx x， 所以1 B R x x， 又因为12Axx 则()11 R ABxx . 故选：C. 【点睛】本题考查了求对数型函数的定义域，集合的
2、补集、交集运算，属于基础题. 2.棣莫弗公式cossincossin n xixnxinx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗 （1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 6 cossin 55 i 在复平面内所对应的点 位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意 6 66 cossincossin 5555 ii ，根据复数的几何意义结合 6 cos0 5 、 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 6 sin0 5 即可得解. 【详解】由题意 6 66 cossincossin 5555 i
3、i ， 该复数在复平面内所对应的点为 66 cos,sin 55 ， 6 cos0 5 ， 6 sin0 5 ，该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定， 属于基础题. 3.已知点3,1和4,6在直线320 xya的两侧，则实数a的取值范围是（） A.724a B.7a 或24a C.7a 或24a D.247a 【答案】A 【解析】 【分析】 由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】点3,1和4,6在直线320 xya的两侧， 3 32 1342 60aa 即7240aa， 解得
4、724a . 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为 不等式，属于基础题. 4.已知 1 ()3 ,1, 2 ,1, x axa x f x ax 是(,) 上的减函数，那么实数a的取值范围是 （） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. () 0,1B. 1 0, 2 C. 1 1 , 6 2 D. 1 ,1 6 【答案】C 【解析】 【分析】 由分段函数的单调性可转化条件得 1 0 2 01 1 3 2 a a aaa ，解不等式组即可得解. 【详解】 1 ()3 ,1, 2 ,1, x axa x f x
5、 ax 是(,) 上的减函数， 1 0 2 01 1 3 2 a a aaa ，解得 11 62 a. 故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题. 5.一个容量 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别(0,10(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70 频数1213241516137 则样本数据落在(10,40上的频率为( ) A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.64 【答案】C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【解析】 由题意可知频数在10,40的有：13+24+15=52，由频
6、率=频数总数可得 0.52.故选 C. 6.如图，在ABC中，ADAB， 3BCBD ，1AD ，则AC AD （） A.2 3B. 3 2 C. 3 3 D. 3 【答案】D 【解析】 3ACABBCABBD ， (3)3AC ADABBDADAB ADBD AD ， 又ABAD， 0AB AD uuu r uuu r ， 33cos3cos33AC ADBD ADBDADADBBDADBAD ， 故选D 7.sin163 sin223sin253 sin313 A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式转化，原式=sin163sin
7、223+cos163cos223再通过两角和公式化简，转 化成特殊角得出结果 【详解】 原式=sin163sin223+cos163cos223=cos （163-223） =cos （-60） = 1 2 . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 故选 A. 【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式要熟记公式是关键 8.已知抛物线 2 8yx，过点2,0A作倾斜角为的直线 3 ，若l与抛物线交于B、C两点， 弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（） A. 16 3 B. 8 3 C. 16 3 3 D.8 3 【答案】A 【解析】 【分析】
8、由题意可得直线 3 :2 3 BC xy，联立方程组即可求得BC中点 10 4 3 , 33 M ，进而可得直 线 4 3310 : 333 MP yx ，求出点 22 ,0 3 P 后即可得解. 【详解】由题意可得直线 3 :2 3 BC xy，设 11 ,B x y， 22 ,C xy ，BC中点 00 ,M xy， 联立方程组 2 8 3 2 3 yx xy ，消去x得 2 8 3 160 3 yy ，易得 ， 11 0 4 3 23 yy y ， 00 310 2 33 xy，点 10 4 3 , 33 M ， 又MPBC， 13 3 MP BC k k ， 直线 4 3310 : 3
9、33 MP yx ， 令0y 可得 22 3 x 即点 22 ,0 3 P ， 线段 2216 2 33 AP . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论： ACBDAC截面PQMN ACBD异面直线PM与BD所成的角为45 其中所有正确结论的编号是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由线线平行和垂直的性质可判断，由线面平行的判定定理和性质定理可判断，由平行线 分线段成比例可判断，由异面直线所成角的定义可判断.
10、【详解】截面PQMN是正方形，PQ MN, 又MN 平面ADC，PQ 平面ADC， PQ平面ADC， PQ 平面ABC，平面ABC 平面ADCAC PQ AC，同理可得PN BD 由正方形PQMN知PQPN，则ACBD，即正确； 由PQ AC，PQ 平面PQMN，AC 平面PQMN， 得AC平面PQMN，则正确； 由PQ AC，PQ MN,得AC MN, 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 所以 ACAD MNDN ， 同理可证 BDAD PNAN ， 由正方形PQMN知PNMN，但AN不一定与DN相等， 则AC与BD不一定相等，即不正确； 由PN BD知MPN为异
11、面直线PM与BD所成的角， 由正方形PQMN知45MPN，则正确. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属 于中档题. 10.已知函数 ( )sin()(0,|) 2 f xx 的最小正周期是，若其图象向右平移 3 个 单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（） A. 函数 ( )f x的图象关于直线 2 3 x 对称B. 函数( )f x的图象关于点 11 (,0) 12 对 称 C. 函数 ( )f x 在区间 , 212 上单调递减D. 函数 ( )f x在 3 , 42 上有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题意
12、求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减 区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【详解】最小正周期是， 2 2 T 它的图象向右平移 3 个单位后得到的函数为奇函数， ( )sin2() 3 f xx 为奇函数，则 2 , 3 kkZ ， 2 ， 3 ， ( )sin(2) 3 f xx ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 由2, 32 xkkZ 得 5 , 122 k xkZ ， 则 ( )f x的图象不关于 2 3 x 对称，故选项 A 错误； 由2, 3 xkkZ 得, 62 k xkZ ， 则 ( )f x的图象不关于
13、 11 (,0) 12 对称，故选项 B 错误； 由 3 222 232 kxk ，得 511 1212 kxk ， 则 ( )f x的单调递减区间为 511 , 1212 kkkZ 取1k ，得区间 7 , 1212 ， 由 7 , 2121212 ，知选项 C 正确； 函数 ( )f x的零点为, 62 k xkZ ， 则函数 ( )f x在 3 , 42 上有 2 3 和 7 6 两个零点，故选项 D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数 sin()yAx 的图象变换，单调性、奇偶性、对称中心、对 称轴等性质，属于中档题. 11.已知函数( )yf x是R上的奇函数， 函数(
14、)yg x是R上的偶函数， 且( )(2)f xg x， 当02x时，( )2g xx，则(10.5)g的值为（） A. 1.5B. 8.5C. 0.5D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知中函数( )yf x是R上的奇函数， 函数( )yg x是R上的偶函数， 且( )(2)f xg x， 可得( )g x是以 8 为周期的周期函数，逐步转化，进而求得(10.5)g的值. 【详解】函数( )yf x是R上的奇函数， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - ()( )fxf x ， 又函数( )yg x是R上的偶函数， ()( )gxg x ， 又( )(
15、2)f xg x， (4)(2)(2)()( )g xf xfxgxg x ， 故(8)(4)( )g xg xg x ， 即( )g x是以 8 为周期的周期函数， (10.5)(2.5)(1.5)(1.52)0.5ggg . 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用. 12.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 12, FF O、为坐标原点， 点P 是双曲线在第一象限内的点，直线 2 ,PO PF分别交双曲线C的左、右支于另一点,M N，若 12 2PFPF，且 2 120MF N ，则双曲线的离心率为
16、（） A. 2 2 3 B. 7 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可设 2 ,60OPOMMF P ，故四边形 12 PFMF是平行四边形，且 21 ,OPOMMFPF由双曲线的定义可得： 212 2 ,4PFa PFMFa，由余弦定 理可得 222222 1 4|4162 2420812 2 POaaaaaaa ， 即 22 |3POa， 借助平 行四边形的性质可得 2222 2(416)412aaca，即 22222 404127acaca ，故双 曲线的离心率 7e ，应选答案 B 点睛：解答本题的思路是借助双曲线的对称性，将问题进行等价转化与化归为平行四边形的
17、几何性质问题，再依据平行四边形的四边的平方和等两条对角线的和这一性质，探寻到建立 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 方程的依据从而使得问题获解 二二 填空题填空题 13.已知x轴为曲线 3 4411fxxax的切线，则a的值为_. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 设x轴 与 曲 线 fx的 切 点 为 0,0 x， 由 题 意 结 合 导 数 的 几 何 意 义 可 得 3 00 2 00 44110 12410 xax fxxa ，解方程即可得解. 【详解】由题意 2 1241fxxa，设x轴与曲线 fx的切点为 0,0 x， 则 3 00 2 00 4
18、4110 12410 xax fxxa ，解得 0 1 2 1 4 x a . 故答案为： 1 4 . 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题. 14.已知 n S为数列 n a的前n项和，若22 nn Sa，则 54 SS _. 【答案】32 【解析】 【分析】 由 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn 结合题意可得2n n a ，再利用 545 SSa即可得解. 【详解】当1n 时， 111 22aSa解得 1 2a ； 当2n 时， 11 2222 nnnnn aSSaa ，整理得 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的
19、等比数列， 1 2 22 nn n a ， 所以 545 5 322SSa . 故答案为：32. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【点睛】本题考查了 n a与 n S关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基 础题. 15.在ABC中，若 1 cos 3 A ，则 2 sincos2 2 BC A 的值为_ . 【答案】 1 9 【解析】 【分析】 利用诱导公式，二倍角公式将所求的式子转化成关于cos A的代数式，代入求解即可. 【详解】BCA， 1 cos 3 A 22 sincos2sincos2 22 BCA AA 2 coscos2 2
20、A A 2 1 cos 2cos1 2 A A 2 1 1 1 3 2 ( )1 23 1 9 . 故答案为： 1 9 . 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，诱导公式，以及二倍角的余弦公式的综合运用. 16.已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为_. 【答案】 3 8 3 r 【解析】 【分析】 设出圆锥的高为h，底面半径为R，在截面中，由球O与圆锥相切可设出底面和母线SB的切 点分别为C和D，接着由三角形的相似求得h、R、r三者间的关系，然后将圆锥的体积表示 成关于h的函数，利用导函数求最值. 【详解】设圆锥的高为h，底面半径为R， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资
21、源网 - 12 - 在截面图中，SCh，OCODr，BCR， 根据圆锥与球相切可知，D、C均为球O与外切圆锥的切点， 则 2 SCBSDO 又OSDBSC ，SODSBC， BCSC ODSD ，即 22 () Rh r hrr ， 222 ()2 hrhr R hrrhhr ， 圆锥体积为 22 2 1 ( ) 33(2 ) r h V hR h hr ， 2 2 (4 ) ( ) 3(2 ) r h hr V h hr ， 令( )0V h 可得4hr，则 04hr时，( )0V h ；4hr时，( )0V h ， ( )V h在(0,4 ) r单调递减，在(4 ,)r 单调递增， 则 3
22、 min 8 ( )(4 ) 3 V hVrr. 故答案为： 3 8 3 r. 【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大. 三三 解答题解答题 17.已知数列 n a的首项 1 2 3 a ， 11 2 nnnn aaaa * (0,) n anN. （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （2）数列 n n a 的前n项和 n S. 【答案】 （1）证明见详解； （2） 12 2 22 n n n nn S 【解析】 【分析】 （1） 利用数列递推式， 整理后两边取倒数， 再两边减
23、去 1， 即可证得数列 1 1 n a 是等比数列； （2）利用第（1）题的结论，求出 11 1 2n n a ，进而得到 2n n nn n a ，用分组求和法，错 位相减法，求出 n S. 【详解】解： （1） * 11 20, nnnnn aaaaanN Q， 1 11111 222 n nnn a aaa ， 1 111 11 2 nn aa ， 又 1 2 3 a ， 1 11 1 2a ， 数列 1 1 n a 是以 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列. （2）由（1）知 1 1111 1 2 22 nn n a ， 即 11 1 2n n a ， 2n n nn n a .
24、 设 23 123 2222 n n n T =+， 则 231 1121 22222 n nn nn T L， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 由得 21 1111 22222 n nn n T L 11 11 1 122 1 1 222 1 2 n nnn nn ， 1 1 2 22 n nn n T .又 1 123 2 n n n . 数列 n n a 的前n项和 12 2 22 n n n nn S . 【点睛】本题考查了倒数法求数列的通项公式，分组求和法，错位相减法求数列的前n项和， 属于中档题. 18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡
25、一种新型的购销平台.已知经销某种商 品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨 亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图 所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x（单位：吨，100150 x） 表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该 商品获得的利润. （1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保 留到小数点后一位
26、）. 【答案】 （1） 0.839,100130 65,130150 xx T x ； （2）0.7； （3）平均数为126.5（吨） ，估计中 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 位数应为126.7（吨） 【解析】 【分析】 （1）分别计算100,130 x和130,150 x时T的值，用分段函数表示T的解析式； （2）计算利润T不少于 57 万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可； （3）利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积（即频率）求和得出平均数，根据中位 数两边频率相等（即矩形面积和相等）求出中位数的大小. 【详解】解： （1）当100,130 x
27、时，0.50.3 1300.839Txxx； 当130,150 x时，0.5 13065T ， 所以， 0.839,100130 65,130150 xx T x ； （2）根据频率分布直方图及（1）知， 当100,130 x时，由0.83957Tx，得120130 x， 当130,150 x时，由6557T 所以，利润T不少于 57 万元当且仅当120150 x， 于是由频率分布直方图可知市场需求量120,150 x的频率为 0.0300.0250.015100.7， 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 万元的概率的估计值为 0.7； （3）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为 1
28、05 0.1 115 0.2 125 0.3x 135 0.25 145 0.15126.5（吨） 由频率分布直方图易知， 由于100,120 x时，对应的频率为0.010.02100.30.5， 而100,130 x时，对应的频率为0.01 0.020.03100.60.5， 因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间120130,，于是估计中位数应为 1200.50.1 0.20.03126.7（吨）. 【点睛】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 19.如图所示，四棱锥SABCD中，SA平
29、面ABCD，90ABCBAD ， 1ABADSA，2BC ，M为SB的中点. （1）求证：/ /AM平面SCD； （2）求点B到平面SCD的距离. 【答案】 （1）证明见详解； （2） 2 3 3 【解析】 【分析】 （1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND为平行四边形，进而证 得/ /AM平面SCD； （2）先证明AM 平面SBC，进而得到平面SCD 平面SBC，作BESC交SC于E， 则BE平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离. 【详解】证明： （1）取SC的中点N，连结MN和DN， M为SB的中点， /MN BC且 1 2 MNBC， 90ABCBAD
30、 Q，1AD ，2BC ， /AD BC且 1 2 ADBC， /AD MN且ADMN， 四边形AMND为平行四边形， /AM DN， AM 平面SCD，DN 平面SCD， /AM平面SCD； （2）1ABSAQ，M为SB的中点， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - AMSB， SA平面ABCD，BC 平面ABCD， SABC， 90ABCBAD Q， BCAB，又SAABA， BC平面SAB， BCAM， AM平面SBC， 由（1）可知/AM DN， DN 平面SBC， DN 平面SCD， 平面SCD 平面SBC， 作BESC交SC于E，则BE平面SCD， 在直
31、角三角形SBC中，有 11 22 SB BCSC BE， 2 22 3 36 SB BC BE SC ， 即点B到平面SCD距离为 2 3 3 . 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，转化思想，等面积法，属于中档 题. 20.已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy， 1 F、 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点. （1）求 12 FMF的最大值，并证明你的结论； （2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且 11 (,) 23 k ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 求直线BM的斜率的取值范围. 【答案】 （
32、1） 12 FMF的最大值为 2 3 ，证明见详解； （2） 1 3 ( , ) 2 4 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 椭 圆 的 定 义 可 知 12 4MFMF， 在 12 FMF中 ， 利 用 余 弦 定 理 可 得 ： 12 12 2 cos1FMF MFMF ，再利用基本不等式得到 12 1 cos 2 FMF ，当且仅当 12 MFMF时等号成立， 再结合 12 0FMF ， 以及余弦函数的图象， 即可得到 12 FMF 的最大值； （2）设直线BM的斜率为 k ， 00 ,M xy，则 1 4 k k ，再根据k的范围即可得到 k 的范 围. 【详解】解： （1）由椭圆的定
33、义可知 12 4MFMF， 12 2 3FF 在 12 FMF中，由余弦定理，可得 222 1212 12 12 cos 2 MFMFFF MF F M M F F 2 2 121212 12 2 2 MFMFFFMFMF MFMF 12 1212 22 1 MFMF MFMFMFMF 212 21 1 2 () 2 MFMF ， 12 0FMF Q， 12 FMF的最大值为 2 3 ，此时 12 MFMF， 即点M为椭圆C的上、下顶点时， 12 FMF取最大值，其最大值为 2 3 ； （2）设直线BM的斜率为 k ， 00 ,M xy，则 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网
34、- 19 - 0 0 2 y k x ， 0 0 2 y k x ， 2 0 2 0 4 y k k x ， 又 2 2 0 0 1 4 x y， 22 00 44xy， 1 4 k k ， 11 (,) 23 k Q， 13 24 k ， 故直线BM的斜率的取值范围为 1 3 ( , ) 2 4 . 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，余弦定理和基本不等式的应用，过两点的直线的斜率 公式，是中档题. 21.已知函数( )(1)ex a f x x （e为自然对数的底数） ，其中0a . （1）在区间(, 2 a 上，( )f x是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明 理由. （2
35、）若函数 ( )f x的两个极值点为 1212 ,x xxx，证明： 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa . 【答案】 （1）存在，最小值为 2 a e ； （2）证明见详解 【解析】 【分析】 （1）对函数 ( )f x求导，令( )0fx ，得两根 1212 ,0 x xxx，从而得出( )f x的单调区 间.由用作差法比较 1 x与a的大小，结合( )(1)ex a f x x ，可知 1 0 2 a xa ，则 ( )f x 在区间(, 2 a 单调递减，则其取得最小值 2 2 a a fe ； （2）由( )0fx 的韦达定理，得 1212 xxx xa ，
36、则可消去a，得 1 12 ()(1) x f xx e， 2 21 1 x f xx e.通过两边取对数，得 212 ln()ln 1f xxx和 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 121 ln()ln 1f xxx，将其代入需证不等式.再得 12 22 11 211axx ，采用 换元法，反证法，将所求不等式转化为 lnln2mn mnmn .再用换元法，令 m t n 构造函数 2 ,1 1 ln 1 t t h tt t ，利用导函数求其最值，则可证明不等式. 【详解】. 解： （1）由条件可函数 fx在,0上有意义， 2 2 x xaxa fxe x ，
37、 令 0fx ，得 2 1 4 2 aaa x ， 2 2 4 2 aaa x ， 因为0a ，所以 1 0 x ， 2 0 x . 所以当 1 ,xx 时， 0fx，当 1,0 xx上 0fx， 所以 fx在 1 ,x上是增函数，在 1,0 x是减函数. 由 1 xx axa f xee xx 可知， 当x a 时， 0f x ，当x a 时， 0f x ， 当0ax 时， 0f x ， 因为 2 1 4 2 aaa axa 2 4 0 2 aaa ， 所以 1 0 xa ， 又函数在 1,0 x上是减函数，且 1 0 2 a xa ， 所以函数在区间, 2 a 上的有最小值， 其最小值为
38、2 2 a a fe . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - （2）由（1）可知，当0a 时函数 fx存在两个极值点 12 ,x x， 且 12 ,x x是方程 2 0 xaxa 的两根， 所以 1212 xxx xa ，且 12 1xx， 11 12 1 (1)(1) xx a f xex e x ， 2 21 1 x f xx e， 所以 2 21 lnln 1 x fxx e 12 ln 1xx， 1 12 lnln 1 x f xxe 21 ln 1xx， 所以 211221 2121 lnlnln 1ln 1f xf xxxxx xxxx 12 12 l
39、n 1ln 1 1 11 xx xx ， 又 21 22 11 22axx 12 2 1 11xx ， 由（1）可知 12 110 xx ， 设 1 1mx ， 2 1nx ，则0mn， 故要证 21 21 lnln2 1 2 f xf x xxa 成立， 只要证 lnln2mn mnmn 成立， 下面证明不等式 lnln2mn mnmn 成立， 构造函数 21 ln 1 t h tt t ，1t 则 2 2 1 0 1 t h t t t ，所以 h t在1,t上单调递增， 10h th，即 21 ln 1 t t t 成立， 令 m t n ，即得不等式 lnln2mn mnmn ， 高考
40、资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 - 从而 21 21 lnln2 1 2 f xf x xxa 成立. 【点睛】本题考查了利用导函数求函数的最值，证明不等式，其中换元法、反证法的应用是 本题的关键，考查了转化的思想，属于综合性较强的难题. 22.在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l： cos , sin xt yt （t为参数， 0 2 ） ，曲线 1 C： 2cos 4+2sin x y , （为参数） ， 1 l与 1 C相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系. （1）求 1 C的极坐标方程及点A的极坐标； （2） 已知直线 2 l：(
41、) 6 R 与圆 2 C： 2 4 3 cos20交于B，C两点， 记AOB 的面积为 1 S， 2 COC的面积为 2 S，求 12 21 SS SS 的值. 【答案】 （1） 2 8 sin120；点A的极坐标为2 3, 3 （2）16 【解析】 【分析】 （1） 消去参数得 1 C的直角坐标方程， 利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得 1 C的 极坐标方程；由题意得 1 l的极坐标方程为R ，代入 1 C的极坐标方程后利用0 即可得解； （2）由题意可得 2 2 3,0C，设 1, 6 B ， 2, 6 C ，将 6 代入 2 C后即可得 12 6， 12 2 ，再利用三角形面积
42、公式可得 11 3 2 S ， 22 3 2 S ，化简即可得 解. 【详解】 （1）消去参数可得 1 C的直角坐标方程为 2 2 44xy， 将 cos sin x y 代入得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 23 - 又 1 l的参数方程为 cos , sin xt yt （t为参数，0 2 ） ， 可得 1 l的极坐标方程为R ， 将代入 1 C得 2 8 sin120， 则 2 8sin4 120 ， 3 sin 2 ， 又0 2 ，所以 3 sin 2 ， 3 ， 此时2 3，所以点A的极坐标为2 3, 3 . （
43、2）由 2 C的极坐标方程为 2 4 3 cos20， 可得 2 C的直角坐标方程为 2 2 2 310 xy，所以圆心 2 2 3,0C， 设 1, 6 B ， 2, 6 C ，将 6 代入 2 4 3 cos20， 得 2 620，280 ， 所以 12 6， 12 2 ，所以 1 0， 2 0， 又因为 111 13 sin 2362 A S ， 2222 13 sin 262 SOC ， 所以 1212 2121 SS SS 2 2 1212 12 262 2 16 2 . 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标 求三角形面积的应用，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 24 -
