1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 毕节市实验高级中学毕节市实验高级中学 20202020 春季半期高二数学（理）试题春季半期高二数学（理）试题 考试时间：考试时间：120120 分钟分钟满分：满分：150150 分分 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.若复数 z=i（32i） （i 是虚数单位） ，则 =（ ） A. 23iB. 2+3iC. 3+2iD. 32i 【答案】A 【解析】 试题分析：. 考点：复数概念及其运算. 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外, 有时
2、要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算 中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式 的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数 形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问 题. 2.公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为（） A.16B.13C.12D.10 【答案】C 【解析】 【分析】 分两步完成，第一步先选进门的方法有 4 种，再选出门的方法有 3 种，最后相乘. 【详解】解：分两步完成，第一步：从 4 个门
3、中选择一个门进有 4 种方法， 第二步：从余下的 3 个门中选一个出有 3 种方法， 根据分步计数乘法原理，共有4 312 故选：C 【点睛】考查分步计数乘法原理，基础题. 3.用反证法证明命题“设, a b为实数，则方程 3 0 xaxb 至少有一个实根”时，要做的假 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 设是（） A. 方程 3 0 xaxb 没有实根 B. 方程 3 0 xaxb 至多有一个实根 C. 方程 3 0 xaxb 至多有两个实根 D. 方程 3 0 xaxb 恰好有两个实根 【答案】A 【解析】 分析：反证法证明命题时，假设结论不成立至少有一个的对立
4、情况为没有故假设为方程 3 0 xaxb 没有实根 详解：结论“方程 3 0 xaxb 至少有一个实根”的假设是“方程 3 0 xaxb 没 有实根” 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立常见否定词语的 否定形式如下： 结 论 词 没 有 至 少 有 一 个 至 多 一 个 不 大 于 不 等 于 不 存 在 反 设 词 有 一 个 也 没 有 至 少 两 个 大 于 等 于 存 在 4.将三颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”， 事件 B 表示“至少出现一个 3点”，则概率|P AB等于（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A
5、. 91 216 B. 5 18 C. 60 91 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件概率的含义，|P AB的含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现 一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个3点” 的情 况数目与B发生的情况下A发生的个数，相比即可得出答案. 【详解】 根据条件概率的含义，|P AB的含义为在B发生的情况下，A发生的概率， 即在“至 少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，“至少出现一个3点”的情况数 目为 33 6591 ，在B发生的情况下A发生的个数为 12 35 60C A，所以 60 | 91
6、 P AB. 故选：C 【点睛】本题主要考查条件概率，解题的关键是掌握概率的求法. 5.一批产品（数量很大）中，次品率为 1 3 ，现连续地抽取4次，其次品数记为X，则E X 等于（） A. 1 3 B. 2 3 C. 8 9 D. 4 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据独立重复试验的条件，转化成4次的独立重复试验，利用二项分布期望的计算公式，即可 求解. 【详解】由题意，一批产品数量很大，其中次品率为 1 3 ，现连续地抽取4次， 可以看出是 4 次的一个独立重复试验，可得随机变量X服从二项分布，即 1 (4, ) 3 XB， 所以 14 4 33 E X . 故选：D. 【点睛】本题
7、主要考查了独立重复试验，以及二项分布的期望的计算，其中解答熟记独立重 复试验的条件，掌握独立重复试验中随机变量服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 问题和解答问题的能力. 6.已知函数( )sin(),f xx且 2 3 0 ( )0,f x dx 则函数 ( )f x的图象的一条对称轴是( ) A. 5 6 x B. 7 12 x C. 3 x D. 6 x 【答案】A 【解析】 【详解】函数 fx的对称轴为 1 2 xk 1 2 xk , 因为 2 3 0 2 sin0coscos0 3 xdx sin0 3 , 所以 2
8、 3 k 2 3 k , 即对称轴 121 5 26 xkkk ( 12 ,k kN) 则 5 6 x 是其中一条对称轴,故选 A. 7. 有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不 同的选法共有 A. 60 种B. 70 种C. 75 种D. 150 种 【答案】C 【解析】 试题分析：因,故应选 C 考点：排列数组合数公式及运用 8.已知(1)nx的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 （） A. 12 2 B. 11 2 C. 10 2 D. 9 2 【答案】D 【解析】 因为(1)nx的展开式中第 4 项与第
9、8 项的二项式系数相等，所以，解得， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 所以二项式 10 (1) x中奇数项的二项式系数和为 考点：二项式系数，二项式系数和 9.一个盒子里装有大小相同的 10 个黑球、12 个红球、4 个白球,从中任取 2 个,其中白球的个 数记为 X,则下列概率等于 112 22422 2 26 C CC C 的是() A. P(0X2)B. P(X1)C. P(X=1)D. P(X=2) 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得 P（X=1）和 P（X=0） ，即可判断等 式表示的意义 【详解】由题意
10、可知 112 22422 22 2626 1,0 CCC P XP X CC ：（）（）， 112 22422 2 25 C CC C 表示选 1 个白球或者一个白球都没有取得即 P（X1） ， 故选 B 【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概 型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数 10.已知函数 fx满足： f mnf m f n， 14f，则 22222 12243648510 13579 ffffffffff fffff 等于 （） A.36B.40C.18D.24 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得
11、 1 14 f x f f x 、 2 2fxfx，代入化简即可得解. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【详解】由 f mnf m f n， 14f， 令mx，1n ，可得 11f xf x f，所以 1 14 f x f f x ， 令mnx可得 2 2fxfx， 所以 222 1224510 139 ffffff fff 22242628210 13579 fffff fffff 2 4444440. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数递推关系式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 11.若 1 2 0 2f xxf x dx ,则 1 0 f x dx
12、 （ ） A.1B. 1 3 C. 1 3 D.1 【答案】B 【解析】 试题分析：设 1 2 0 ( )2f x dxcf xxc 1 3 11 00 0 111 |2|2 333 f x dxxcxccc ，故选 B 考点：定积分 12.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 25 73 1 v tt t （t的 单位:s,v的单位:/m s）行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ） A.125ln5B. 11 825ln 3 C.425ln5D.450ln2 【答案】C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【解析】 【详解】试
13、题分析：令得，故 4 4 2 0 0 3 ( )725ln(1)425ln5 2 t sv t dttt ，故选 C 考点：定积分的几何意义 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知 21x f xe ，则 1 f 的导数为_； 【答案】0 【解析】 【分析】 由题意可得 1 f 为常数，即可得解. 【详解】 21x f xe ， 1 f 为常数， 10f . 故答案为：0. 【点睛】本题考查了常见函数的导数，属于基础题. 14.设复数( ,)abi a bR的模为 3，则( )()abi abi_. 【答案】3 【解析】 由3abi得，即 2
14、2 3ab ，所以 22 ()()3abi abiab. 考点：复数的运算. 15.已知 1 3 8 ，且 13DD，_； 【答案】117 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 由题意结合方差的性质可得 2 3DD，即可得解. 【详解】 1 3 8 ，且 13D， 2 1 33117 8 DDD . 故答案为：117. 【点睛】本题考查了随机变量方差性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16.已知曲线 3 14 33 yx，则曲线在点2,4P处的切线方程为_ 【答案】440 xy 【解析】 【分析】 求出 3 14 33 yx的导数，令2x
15、 ，可得曲线在点2,4P处的切线斜率，由点斜式可得结 果. 【详解】因为 3 14 33 yx， 所以 2 yx， 令2x ，可得4y ， 即切线斜率为4，442yx， 化为440 xy，故答案为440 xy. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于基础题. 求曲线切线方程的一般步骤 是： （1）求出( )yf x在 0 xx处的导数，即( )yf x在点P 00 (,()xf x出的切线斜率（当 曲线( )yf x在P处的切线与y轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 0 xx） ； （2）由 点斜式求得切线方程 00 ( ) ()yyfxxx. 三、解答题三、解答题 17.求下列
16、函数的导数： （1） 1 11yx x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - （2）sincos 22 x y x x （3） cos2 sincos x y xx 【答案】 （1） 11 1 2xx （2） 1 1cos 2 x（3）sincosxx 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 11 22 yxx ，根据导数的运算法则即可得解； （2）由题意可得 1 sin 2 yxx，根据导数的运算法则即可得解； （3）由题意可得cossinyxx，根据导数的运算法则即可得解. 【详解】 （1）由题意 11 22 11 11yxxxx xx ， 所以 13 22 111
17、1 1 222 yxx xx ； （2）由题意 1 sincossin 222 yxxx xx ， 所以 1 1cos 2 yx ； （3）由题意 22 cossinsincoscos2cossin sincossincossincos xxxxxxx y xxxxxx cossinxx， 所以sincosyxx . 【点睛】本题考查了常见函数导数的求解，考查了导数的加减法运算，属于基础题. 18.有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数. （1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起； （2）全体排成一行，其中男生必须排在一起. 【答案】 （1）288 种（2）720 种
18、 【解析】 【分析】 （1）由题意可将男、女生各看成一个整体，分别全排列，最后两个整体全排列，即可得解； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - （2）由题意将男生看成一个整体，先进行内部全排列，再与女生进行全排列，即可得解. 【详解】 （1）男、女生各站在一起，可以先把男、女生各看成一个整体，分别全排列，最后 两个整体全排列， 所以共有 342 342 288AAA种排法； （2）将男生看成一个整体，先进行内部全排列，再与女生进行全排列即可， 所以共有 35 35 720AA种排法. 【点睛】本题考查了简单排列的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 19.已知，x
19、yR且 22 0 xy，求证：x y， 全为零. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 假设x，y不全为零，分类讨论，均与 22 0 xy矛盾，即可得证. 【详解】证明：假设x，y不全为零，则有以下三种可能： 0 x ，0y ，则 22 0 xy，与 22 0 xy矛盾； 0 x ，0y ，则 22 0 xy，与 22 0 xy矛盾； 0 x ，0y ，则 22 0 xy，与 22 0 xy矛盾； 故假设不成立，所以x，y全为零. 【点睛】本题考查了反证法的应用，考查了推理能力，属于基础题. 20. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王 到银行取钱
20、时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试； 否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. （）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 【答案】 （） 1 2 ； （）分布列见解析，期望为 5 2 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - （）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A， 则 5431 ( )= 6542 P A （）依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3 又 151
21、1542 (X=1),(X=2),(X=3)1=. 6656653 PPP 所以 X 的分布列为 所以 1125 E()123 6632 X 考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望 21.某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s（km） ，水的流速为常量a（/km h） ，船 在静水中的最大速度为b（/km h） （ba） ，已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船 在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的 燃料费用最省？ 【答案】若2ba，则当船在静水中的速度为/b km h时，燃料费用最省；若2ba，则当 船在静水中的速度为2a/k
22、m h时，燃料费用最省. 【解析】 【分析】 设 船 在 静 水 中 的 航 行 速 度 为/xkm h， 全 程 的 燃 料 费 用 为 y 元 ， 由 题 意 可 得 2 x yf xsk xa ，xa b，求导可得函数的单调区间，分类讨论即可得解. 【详解】设船在静水中的航行速度为/xkm h，全程的燃料费用为y元， 由题设可得 2 2 sx yf xkxsk xaxa ，xa b， 所以 2 22 22x xaxax ysksk xaxa ， 令0y ，得2xa或0 x （舍去） ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 当2ab时，若2xaa，0y， fx
23、为减函数；若2xa b，0y ， fx为 增函数；所以当2xa时，4 min yask； 当2ab时，若xa b，0y， fx在a b，上为减函数， 所以当xb时， 2 1 min ysk b ba ； 综上可知，若2ba，则当船在静水中的速度为/bkm h时，燃料费用最省； 若2ba，则当船在静水中的速度为2a/km h时，燃料费用最省. 【点睛】本题考查了函数与导数的实际应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 22.已知函数 2 lnf xxaxbx abR，曲线 yf x在点 11f，处的切线方 程为220 xy. （1）求a、b的值； （2）求证：当2m，1x 时，不等式 x m ee
24、efx恒成立 【答案】 （1） 1 1. a b ， （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导得 2 b fxxa x ，由题意可得 110 122 fa fab ，即可得解； （2）构造函数 12 21ln x g xexxx ，1x ，求导后可得 1 1 2 x x gxex x ，构造函数 1x h xex ，1x ，求导后可得 1 0 x ex ，进 而可得函数 g x在1 ，上单调递增，即可得证. 【详解】 （1） 2 lnf xxaxbx abR， 2 b fxxa x ， 11fa， 12fab ， 将点 11f，代入切线方程得 2 1120f ，可得 10f， 110
25、122 fa fab ，解得 1 1 a b ； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （2）证明：由（1）得 2 lnf xxxx， 当2m，1x 时，要证不等式 x m eeefx，即证 12 1ln x m exxx ， 当1x 时，先证 12 21ln x exxx ， 构造函数 12 21ln x g xexxx ，1x ， 则 11 11 2212 xx x gxexex xx ， 构造函数 1x h xex ，1x ，则 1 1 x h xe ， 当1x 时， 0h x ，函数 h x在1 ，上单调递增， 当1x 时， 10h xh，则 1 0 x ex ， 1 1 20 x x gxex x 函数 g x在1 ，上单调递增， 10g xg即当1x 时， 12 21ln x exxx ， 则当2m，1x 时， 112 121ln xx m eexxx ， 当2m，1x 时，不等式 x m eeefx恒成立. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 -
