1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 兴仁市凤凰中学兴仁市凤凰中学 20212021 届高二第二学期期中届高二第二学期期中( (理科数学理科数学) )试题试题 满分：满分：150150 分分 测试时间：测试时间：120120 分钟分钟 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一一、选择题选择题（本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1.求复数 3 1 i i 的值为（） A.1iB.1 iC.22iD
2、.2i 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据复数代数形式的除法运算法则计算可得； 【详解】解： 31342 2 1112 iiii i iii 故选：D 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题. 2.若复数z满足1(120)zi,则复数z在复平面内对应的点在() A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数，求得24zi，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z满足1(120)zi，可得 10 1210 24 121212 i zi iii ， 所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
3、 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运 算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3.复数 1 1 i z i - = + 的虚部是（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A.iB.1C.iD.1 【答案】D 【解析】 分析：化简复数 z，写出它的虚部即可 详解：复数 z= 1 1 i i = 2 2 1 1 i i = 121 1 1 i =i， z 的虚部是1 故选 D 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设 12 , , ,zabi zcdi a b c dR，
4、 则 1 2 z zabicdiacbdadbc i， 1 22 2 abicdiacbdbcad izabi zcdicdicdicd . 4.给甲、乙、丙、丁四位教师安排三所学校上班，不同的安排方法共有（） A. 4 3种 B. 3 4种 C. 3 4 A种D. 3 4 C种 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分步乘法计数原理求解. 【详解】给甲、乙、丙、丁四位教师安排三所学校上班，甲、乙、丙、丁各有 3 种选法，因 此不同的安排方法共有 4 3 3 3 33 种， 故选：A. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题. 5.由曲线 2 yx=与直线y x 所围成
5、的封闭图形的面积为（） A. 1 8 B. 1 6 C. 1 2 D.1 【答案】B 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 封闭图形的面积为 1 2 0 ()xx ，利用莱布尼茨公式计算即可. 【详解】 如图，封闭图形的面积为 1 1 223 00 11111 () 23236 xxxx . 故选：B. 【点睛】本题考查利用定积分计在平面几何中的应用，在利用定积分求平面图形的面积时， 一定要找准积分上限、下限及被积函数，本题是一道基础题. 6.数列 n a的前 n 项和 2 2 nn Snan，而 1 1a ，通过计算 234 ,a a a猜想 n
6、 a () A. 2 2 1n B. 2 1n n C. 2 21 n D. 2 21n 【答案】B 【解析】 【详解】当1n 时， 1 1a ，排除 A,C D选项.故选B. 7.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是（） X3459 P 2 a1 6 a 1 2 1 6 A. 1 6 B. 1 12 C. 1 9 D. 1 2 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【答案】C 【解析】 【分析】 由随机变量分布列中概率之和为 1 列出方程即可求出a. 【详解】 111 1 2626 a a，解得 1 9 a . 故选：C 【点睛】本题考查离散型随机变量分布
7、列，属于基础题. 8.对于, Ra b ， 2abab （大前提） ， 11 2xx xx （小前提） ，所以 1 2x x （结 论）.以上推理过程中的错误为（） A. 大前提B. 小前提C. 结论D. 无错误 【答案】B 【解析】 分析：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定 是正确的， 这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确， 演绎推理一般模式是“三段论” 形式，即大前提小前提和结论 详解：2abR abab ， ， 这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b 都是正数， 11 2xx xx 是小前提，没有写出 x 的取值范围， 本题
8、中的小前提有错误， 故选 B 点睛：本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模 式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系 9.观察下列等式： 332333233332 123 ,1236 .123410，根据上述规律，得到 333333 123456（ ） A. 2 B. 2 20 C. 2 21 D. 2 22 【答案】C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【解析】 【分析】 先分析左右两边数的规律，再求得结果. 【详解】因为 233233322 123,1236(123)2),(1 333322 123410(1234) 所以
9、 33333322 123456(123456)21 故选：C 【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析归纳能力，属基础题. 10.求1 2 n x展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则 2 x项的系数为（ ） A. 58B. 59C. 60D. 61 【答案】C 【解析】 【分析】 由第 4 项的二项式系数最大可知6n ，从而可知展开式的第1k 项为 6 2k kk C x，从而可确定 2k ，进而可求出 2 x项的系数. 【详解】因为1 2 n x展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大， 所以6n ，则展开式第1k 项为 166 22 k kkkk k TCxC x ， 当2k 时，
10、 22 6 24 1560C. 故选:C. 【点睛】本题考查了二项式定理.本题的关键是求出n的值. 11.对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为 80 81 ，则此射手的命中率为 （ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 4 D. 1 5 【答案】B 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 试题分析： 设命中率为,四次都不命中的概率为,即,故, 所以,故应选 B. 考点：独立重复试验事件的概率公式及对立事件的概率公式的运用. 12.已知函数f(x)x 312x，若 f(x)在区间(2m，m1)上单调递减，则实数m的取值范围是 () A. 1
11、m1B. 1m1C. 1m1D. 1m1 【答案】D 【解析】 因为 f (x)3x 2123(x2)(x2)，令 f (x)02x2，所以函数 f(x)x312x的 单调递减区间为(2,2)，要使 f(x)在区间(2m，m1)上单调递减，则区间(2m，m1)是区间 (2,2)的子区间，所以 22 12 12 m m mm 从中解得1m1，选 D. 点睛：导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法：设函数( )yf x在某个区间内可导，如果( )0fx ，则 ( )yf x在该区间为增函数；如果( )0fx，则( )yf x在该区间为减函数. (2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间或存
12、在单调区间，常常通过求导，转化为解方 程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .把答案填写在答题卡相应的位置上）把答案填写在答题卡相应的位置上） 13. 5 1x的展开式中，含 4 x项的系数为_. 【答案】5 【解析】 【分析】 根据展开式的通项公式可得答案. 【详解】 5 1x的展开式的通项公式为 15 rr r TC x ，0,1,2,3,4,5r ， 所以 5 1x的展开式中，含
13、4 x项的系数为 4 5 5C . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 故答案为：5. 【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，属于基础题. 14.若随机变量 1 6, 2 XB ，则1P X _ 【答案】 7 64 【解析】 【分析】 根据二项分布的概率公式计算可得； 【详解】解：因为随机变量 1 6, 2 XB ，则 0615 01 66 11117 10111 222264 P XP XP XCC 故答案为： 7 64 【点睛】本题考查二项分布的性质的应用，属于基础题. 15.复数 5 2i 的共轭复数是_. 【答案】2i 【解析】 【分析】
14、 由复数代数形式的除法运算化简复数 5 2i ，求出z即可 【详解】解： 55( 2)5( 2) 2 2( 2)( 2)5 ii i iii ， 复数 5 2i 的共轭复数是2i 故答案为2i 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题 16.观察以下各等式： 22 3 sin 30cos 60sin30 cos60 4 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 22 3 sin 20cos 50sin20 cos50 4 ， 22 3 sin 15cos 45sin15 cos45 4 ， 分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为_ 【答案】 22
15、3 sincos (30 )cos(30 ) 4 nnsinnn 【解析】 由题意得3060与，2050与，15与45相差了30，另外根据所给三个式子的特点可得 一般规律为 22 3 sincos (30 )cos(30 ) 4 nnsinnn 答案： 22 3 sincos (30 )cos(30 ) 4 nnsinnn 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 6 小题，第小题，第 1717 小题满分小题满分 1010 分，第分，第 1818 至至 2222 小题每题满分小题每题满分 1212 分，共分，共 7 70 0 分分. .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要
16、的文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知i为虚数单位，求 42 23513 3 i iii i 的值. 【答案】16 12i 【解析】 【分析】 根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】解： 42 23513 3 i iii i 2 22 423 10215313 33 ii iii ii 13 1312ii 16 12i 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 18.（1）已知x，y是实数，求证： 22 222xyxy （2）用分析法证明： 672 25 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版
17、权所有高考资源网 - 9 - （1）根据完全平方式 2 (1)0 x与 2 (1)0y ,展开后两式相加即可证明. （2）根据分析法,将不等式两边同时平方,化简后再将不等式平方即可证明. 【详解】 （1）证明：因为 22 21(1)0 xxx ,可得 2 21xx , 22 21(1)0yyy ,可得 2 21yy, 所以 22 222xyxy （2）证明:要证 672 25 成立, 只需证 22 ( 67)(2 25)成立； 即证13 2 42132 40 成立； 即证 4240 成立； 即证4240成立, 因为4240成立, 所以原不等式成立. 【点睛】本题考查了综合法与分析法在不等式中的
18、证明,属于中档题. 19.在含有 2 件次品的 5 件产品中，任取 3 件，求 （1）取到的次品数X的分布列. （2）至少取到 1 件次品的概率. 【答案】 （1）详见解析， （2） 9 10 【解析】 【分析】 （1）先确定随机变量，再根据古典概型概率公式求对应概率，列表可得分布列； （2）根据分布列求至少取到 1 件次品的概率. 【详解】 （1）取到的次品数可以为 0，1，2 3 3 3 5 1 (0) 10 C P X C 1 23 3 2 5 3 (1) 5 C C P X C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 5 12 23 3 3 (2) 10 C
19、C P X C 所以分布列为 X012 P 1 10 3 5 3 10 （2）至少取到 1 件次品的概率为 339 (1)(2)+ 51010 P XP X 【点睛】本题考查分布列以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 20.已知函数 32 392f xxxx ，求： （1）函数 yf x的图象在点（0，-2）处的切线方程； （2） fx的单调递减区间. 【答案】 （1）9xy20 （2）f（x）的单调递减区间为（，1） ， （3，+） 【解析】 【分析】 （1）求出f（x）3x 2+6x+9，f（0）9，f（0）2，由此利用导数的几何意义能 求出函数yf（x）的图象在点（0，f（
20、0） ）处的切线方程 （2）由f（x）3x 2+6x+90，能求出 f（x）的单调递减区间 【详解】 （1）f（x）x 3+3x2+9x2， f（x）3x 2+6x+9， f（0）9，f（0）2， 函数yf（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程为： y+29x，即 9xy20 （2）f（x）x 3+3x2+9x2， f（x）3x 2+6x+9， 由f（x）3x 2+6x+90， 解得x1 或x3 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - f（x）的单调递减区间为（，1） ， （3，+） 【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的减区间的求法，考查导数的几何
21、意义、 导数性质等基础知识，是中档题 21.设函数 lnf xaxx （1）当1a 时，求 fx的单调区间； （2）讨论 fx的单调性 【答案】 （1）增区间为(1,)，减区间为(0,1)（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导数，再解不等式得单调区间； （2）先求导数，根据a分类讨论，结合导函数，根据导函数符号确定单调性. 【详解】 （1）当1a 时， 1 ln10fxxxfxx x ， 当 0fx 时，1x ；当 0fx 时，01x； 因此 fx的增区间为(1,)，减区间为(0,1) （2） 1 ln,(0)fxaxxfxax x Q 当0a 时， 0fx ， fx在(0,)上单调
22、递减， 当0a 时，由 0fx 得 1 x a ；由 0fx 得 1 0 x a ； 综上， 当0a 时， fx在(0,)上单调递减； 当0a 时， fx在 1 (0, ) a 上单调递减； fx 在 1 ( ,) a 上单调递增. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中 档题. 22.（1）用数学归纳法证明： 2222* 121 123 6 n nn nnN 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （2）用反证法证明：已知, x yR，且2xy，求证 , x y中至少有一个大于 1. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明
23、见解析 【解析】 【分析】 （1）根据数学归纳法的证明步骤先验证1n 时结论成立，再假设nk时，结论成立，推导 1nk时结论成立即可 （2）根据题意，首先假设原命题不成立，也就是x，y均不大于 1 成立，即1x且1y；两 式相加可得 2xy ，即可得与已知条件2xy相矛盾的结论，即可证原命题成立 【详解】证明： （1）1n 时，左边 2 11 ，右边 1 23 1 6 ，等式成立， 假设nk时，等式成立，即 2222 (1)(21) 123 6 k kk k ， 则1nk时， 222222 (1)(21) 123(1)(1) 6 k kk kkk 2 12 6(1) 6 k kkk 2 1(2 76) 6 k kk (1)(2)(23)(1)(1 1)(2(1)1) 66 kkkkkk 当1nk时，等式成立， 由得： 2222 (1)(21) 123 6 n nn n （2）证明：用反证法， 假设x，y均不大于 1，即1x且1y， 则 2xy ，这与已知条件2xy矛盾， x ，y中至少有一个大于 1， 即原命题得证 【点睛】本题考查了数学归纳法证明以及反证法证明，注意1nk的证明时，必须用上假 设条件属于中档题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 -
