1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试卷数学试卷 一一、选择题选择题（本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1. 设全集U R，集合13Axx ,21Bx xx 或,则 U AC B （） A.11xx B.23xx C.23xxD.21x xx 或 【答案】A 【解析】 【分析】 进行交集、补集的运算即可 【详解】 U C Bx| 2x1； A（ U C B） x|1x1 故选A 【点睛】考查描述法的定义，
2、以及交集、补集的运算 2. 在复平面内，复数(1)ii 对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析： 2 11i iiii ，在复平面内对应的点的坐标为1, 1 ，位于 第三象限，故选 C. 考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义 3. 已知命题p：“0a ，都有 1 a e 成立”，则命题 p 为（） A.0a ，有1 a e 成立B.0a ，有 1 a e 成立 C.0a ，有 1 a e 成立D.0a ，有1 a e 成立 【答案】D 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 -
3、【详解】 全称量词的否定为存在量词， 命题的否定只否定结论， 1 a e 的否定为1 a e 命题 p 为0a ，有1 a e 成立 4. 函数 2 3 ln1x f x x 的大致图象是 A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数 f x为奇函数，可排除 B 选项； 当x0时， 0f x ，可排除 D 选项； 当x1时， 12fln，当x3时， ln10ln10 (3),ln2 2727 f， 即 13ff，可排除 C 选项， 故选 A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题 5. 已知函数
4、2 2cos23sin 4 63 fxxx ，则下列判断错误的是（） A. fx为偶函数B. fx的图像关于直线 4 x 对称 C. fx的值域为1,3D. fx的图像关于点 ,0 8 对称 【答案】D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【解析】 【分析】 化简 f（x）1+2cos4x 后，根据函数的性质可得 【详解】f（x）1+cos（4x 3 ） 3 sin（4x 3 ）1+2sin（4x 36 ）1+2cos4x， f（x）为偶函数，A 正确； 4xk,得 k x 4 ,当 k=1 时，B 正确； 因为 2cos4x 2 2f x ，的值域为1,3，C 正
5、确； 故 D 错误 故选 D 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准 确计算是关键，是基础题 6. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨 辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 1 2n ， 若去除所有为1的项， 依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,， 则此数列的前55项和为() A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048 【答案】A 【解析】 【分析】 利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1 行，然后令x1 得到对应项的系数和，结合
6、等 比数列和等差数列的公式进行转化求解即可 【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为 1，公比为 2 的等比数列， 则杨辉三角形的前n项和为Sn 12 12 n 2 n1， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 若去除所有的为 1 的项，则剩下的每一行的个数为 1，2，3，4，可以看成构成一个首 项为 1，公差为 1 的等差数列， 则Tn 1 2 n n ， 可得当n10，所有项的个数和为 55， 则杨辉三角形的前 12 项的和为S122 121， 则此数列前 55 项的和为S12234072， 故选A 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二
7、项式系数的关系以及等 比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大 7. 设 ,m n是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（） 若,m 则m；若,m ，n，则mn； 若,mnmn，则；若,nnm，则m. A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 分析：根据直线与平面的位置关系的判定和性质，即可判定命题的真假. 详解：对于中，若, m，则/ /m或m，所以不正确； 对于中，若,/ /m ，则m，又由n，所以mn是正确； 对于中，若,/ /mnmn，则/ /或与相交，所以不正确； 对于中，若,nn，则/ /，又由m，所以m是正确的， 综上正
8、确命题的个数为 2 个，故选 B. 点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定 理和性质定理及几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的 常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为 证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 8. 如图，在ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则AF =（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - A. 15 88 ABAC B. 51 88 ABAC C. 15 88 ABAC D. 51 88 ABA
9、C 【答案】D 【解析】 【分析】 利用中线所在向量结合向量加减法，不难把AF 转化为AB AC 和 ，得解 【详解】解： 1 2 AFABAE 111 222 ABAD 111 242 ABABAC 51 88 ABAC ， 故选D 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题. 9. 等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S与 n T， 对一切正整数n， 都有 1 n n Sn Tn ， 则 5 6 a b 等于（） A. 3 4 B. 5 6 C. 9 10 D. 10 11 【答案】A 【解析】 【分析】 令 2, (1),0 nn Skn Tkn nk，
10、再由 554 aSS， 665 bTT，即可得出 5 6 a b 的值. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【详解】由等差数列的求和公式得 2 11 (1) 222 n n ndd Snadnan，即满足 2 n Sanbn型 2 1(1) n n Snn Tnn n 则可令 2, (1),0 nn Skn Tkn nk 554 25169aSSkkk， 665 423012bTTkkk 5 6 93 124 ak bk 故选：A 【点睛】本题主要考查了两个等差数列前n项和之比的问题，属于中档题. 10. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(H
11、ipparchus，又名依巴 谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越 大，它的光就越暗.到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森 (. .M R Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮 度来描述.两颗星的星等与亮度满足 1221 2.5 lglgmmEE.其中星等为 i m的星的亮 度为1,2 i E i .已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮 度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当x较小时， 2 101 2.32.7 x xx ) A
12、. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，代值计算，即可得r，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得： 21 1 1.252.5 lgElgE 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 可得 1 2 1 10 E lg E ，解得 1 1 10 2 10 E r E ， 根据参考公式可得 11 12.32.71.257 10100 r ， 故与r最接近的是1.26. 故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题. 11. 已知离心率为 1 e的椭圆 1 C： 22 22 11 1 x
13、y ab （ 11 0ab）和离心率为 2 e的双曲线 2 C： 22 22 22 1 xy ab （ 2 0a ， 2 0b ）有公共的焦点 1 F， 2 F，P是它们在第一象限的交点，且 12 60FPF，则 22 12 ee的最小值为（） A. 3 2 B. 13 2 C. 2 2 3 D. 33 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理得出 222 12 34aac，最后由离心率公式以及基本不 等式求解即可. 【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴为 1 2a，双曲线的实轴为 2 2a P在双曲线的右支上，且在椭圆上 则由椭圆的定义知 121 2PFPF
14、a 由双曲线的定义知 122 2PFPFa 112212 ,PFaaPFaa 12 60FPF 由余弦定理可得 22 2 12121212 4aaaaaaaac 整理得 222 12 34aac 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 222222 22 1212 12 2222 1212 33 44 aaaacc ee aaaa 2222 2121 2222 1212 331323 1121 444422 aaaa aaaa 当且仅当 22 21 22 12 3aa aa 时等号成立 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的基本性质，涉及了基本不等式，余弦定理的
15、应用， 属于中档题. 12. 已知函数 fx在R上都存在导函数 fx ， 对于任意的实数都有 2 () e ( ) x fx f x ， 当0 x 时， ( )( )0f xfx ，若e(21)(1) a faf a，则实数a的取值范围是() A. 2 0, 3 B. 2 ,0 3 C.0,)D.(,0 【答案】B 【解析】 【分析】 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令( )( ) x g xe f x，则当0 x 时，( ) ( )( )0 x g xef xfx， 又()()( )( ) xx gxefxe f xg x ，所以( )g x为偶函数， 从
16、而211 a e faf a等价于 211 (21)(1), (21)(1) aa efaef agag a ， 因此 2 2 ( |21|)( |1|),|21|1|,3200. 3 gagaaaaaa 选 B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 已知函数 2 ln11f xxx， 4f a ，则fa_ 【答案】2 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【分析】 发现 f xfx2，计算
17、可得结果. 【详解】因为 2222 f xfxln1x1ln1x1ln 122xxxx ， f afa2，且 f a4，则fa2 . 故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现 f xfx2是关键，属 于中档题. 14. 若 7 28 0128 11 2xxaa xa xa x，则 6 a _. 【答案】224 【解析】 【分析】 由题意可知 6 a为 7 11 2xx展开式中 6 x的系数，结合二项式定理求解即可. 【详解】由题意可知 6 a为 7 11 2xx展开式中 6 x的系数 7 (12 )x的通项为 177 ( 2 )( 2) rrrr r TCxC x
18、6655 677 ( 2)( 2)448672224aCC 故答案为：224 【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题. 15. 已知圆的方程为 22 (2)(3)16xy， 设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为_. 【答案】8 11 【解析】 【分析】 根据题意可知，过(3,5)的最长弦为直径，最短弦为过(3,5)且垂直于该直径的弦，分别求出 两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【详解】解：由圆的方程为 22 (2)(3)16xy， 得最长的
19、弦为圆的直径等于2 48， 圆心(2,3)与点(3,5)的距离 22 (32)(53)5d ， 根据勾股定理得最短的弦长为 2 1652 11BD ， 四边形ABCD的面积 11 | |82 118 11 22 SACBD 故答案为：8 11 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用和圆的弦长，掌握对角线垂直的四边形的面 积计算方法为对角线乘积的一半是关键，考查数形结合的解题思想方法. 16. 下列四个命题： 函数 cos sinfxxx的最大值为 1； 已知集合 2 230AxN xx，则集合A的真子集个数为 3； 若ABC为锐角三角形，则有sinsinsincoscoscosABCABC；
20、 “0a ”是“函数 2 f xxax在区间( ) 0,+内单调递增”的充分必要条件. 其中正确的命题是_.（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】 由二倍角公式结合正弦函数的性质判断；由集合的知识判断；由锐角三角形的定义以及 正弦函数的单调性，结合诱导公式判断；由二次函数的图象和性质，集合充分必要条件的 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 定义判断. 【详解】由 1 ( )cos sinsin2 2 f xxxx，得 ( )f x的最大值为 1 2 ，故错误； 2 2300,1AxN xx，则集合A的真子集为 0 , 1 ,，共有三个，故正 确； ABC为锐角三
21、角形， 2 AB ，则 2 AB sinyx在0, 2 上为增函数，sinsincos 2 ABB 同理可证，sincos ,sincosBCCA sinsinsincoscoscosABCABC，故正确； 当0a 时，函数 ( )f x在区间( ) 0,+的解析式为 22 f xxaxxax，由对称轴 0 2 a x 可知，函数 2 f xxax在区间( ) 0,+内单调递增 若函数 2 f xxax在区间( ) 0,+内单调递增，结合二次函数的对称轴，可知0 2 a ， 则0a 即“0a ”是“函数 2 f xxax在区间( ) 0,+内单调递增”的充分必要条件.故正 确； 故答案为： 【
22、点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了三角函数性质的应用，判断充分必要条件 等知识，属于中档题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数列 n a满足 1 1a ， 1 12 nnn aaa （ * nN ） （1）求证：数列 1 n a 是等差数列； （2）若 12231 16 33 nn a aa aa a ，求正整数n的最小值 【答案】 （1）详见解析（2）17n 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12
23、 - (1)由题意整理所给的递推关系式，利用后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列； (2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后裂项求和可得 12231nn a aa aa a 的 值，最后求解关于n的不等式即可确定正整数n的最小值 【详解】 （1）由已知可得： 11 2 nnnn aaa a ，故： 1 11 2 nn aa ， 所以数列 1 n a 是等差数列， 首项 1 1 1 a = ，公差2d . （2）由（1）可得 1 11 (1)21 n ndn aa ， 1 21 n a n ， 1 1111 (21)(21)2 2121 nn a a nnnn ， 12231 1
24、 111111 2 13352121 nn a aa aa a nn 11 1 22121 n nn ， 16 2133 n n ， 解得16n ， 17n ，即正整数n的最小值为 17. 【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列的通项公式，裂项求和的方法等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知sinsin 2 AC abA （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且1c ，求ABC面积的取值范围 【答案】(1) 3 B ;(2) 33 (,) 82 . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -
25、13 - 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解 得 3 B .(2)根据三角形面积公式 1 sin 2 ABC SacB ，又根据正弦定理和1c 得到 ABC S 关于C的函数，由于ABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 2 来计算C的定义域， 最后求解( ) ABC SC 的值域. 【详解】(1)根据题意sinsin 2 AC abA ，由正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA ，因 为0A，故sin0A ，消去sin A得sinsin 2 AC B 0 B，0 2 AC 因为故 2 AC B
26、或者 2 AC B ，而根据题意 ABC，故 2 AC B 不成立，所以 2 AC B ，又因为ABC，代入得 3B，所以 3 B . (2)因为ABC是锐角三角形，由（1）知 3 B ，ABC得到 2 3 AC， 故 0 2 2 0 32 C C ，解得 62 C . 又应用正弦定理 sinsin ac AC ，1c ， 由三角形面积公式有： 22 2 sin() 111sin3 3 sinsinsin 222sin4sin ABC C aA SacBcBcB cCC 22 sincoscossin 33212313 33 (sincos) 4sin43 tan38 tan8 CC CCC
27、. 又因 3 ,tan 623 CC ,故 33133 88 tan82C ， 故 33 82 ABC S . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 故 ABC S的取值范围是 33 (,) 82 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以 用余弦定理求解） ，最后考查ABC是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道 很好的考题. 19. 随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷 移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的 进步，许多人喜欢用信用卡购
28、物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世蚂蚁 花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上 消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与 消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随 机抽取 100 人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示. （1）由大数据可知，在 18 到 44 岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y与年龄x成线性相 关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群 体各年龄段“赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归
29、方程（回归直线方程的斜率和截距保 留两位有效数字） ； （2）该网站年龄为 20 岁的注册用户共有 2000 人，试估算该网站 20 岁的注册用户中使用花 呗“赊购”的人数； （3）已知该网店中年龄段在 18-26 岁和 27-35 岁的注册用户人数相同，现从 18 到 35 岁之间 使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取 8 人，再从这 8 人中简单随机抽取 2 人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率. 参考答案： 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ，aybx $ . 高考资源网（）您身边的高考专家 版
30、权所有高考资源网 - 15 - 【答案】 （1）0.0231.0yx ； （2）1080 人； （3） 5 14. 【解析】 【分析】 （1）根据公式计算出 0.023b ， 1.0a 后可得0.0231.0yx ； （2）将20 x=代入0.0231.0yx 得0.54y ，进而可得2000 0.541080； （3）根据分层抽样可知随机抽取 8 人，年龄在 18 到 26 岁之间有 5 人，年龄在 27-35 之间有 3 人，再根据古典概型的概率公式计算可得结果. 【详解】 （1）由题意， 223140 31 3 x ， 0.50.30.0822 375 y ， 所以 2222 22 22
31、 0.531 0.340 0.083 31 3.78 75 0.023 2231403 31162 b ， 223.78 311.0 75162 a ，所求线性回归方程为0.0231.0yx . （2）由（1）知，该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为 0.023 20 1.00.54，而2000 0.541080， 所以估计该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为 1080 人. （3）依题意，随机抽取 8 人，年龄在 18 到 26 岁之间有 5 人，年龄在 27-35 之间有 3 人，所 以抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率为 2 5 2 8 1
32、05 2814 C C . 【点睛】本题考查了求线性回归方程，考查了利用回归方程估计总体，考查了分层抽样，考 查了古典概型，属于中档题. 20. 如图，三棱锥PABC中，PC 平面 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - ABC，3PC ， 2 ACB ,D E分别为线段,AB BC上的点，且 2,22CDDECEEB (1)证明：DE 平面PCD； (2)求二面角APDC的余弦值 【答案】 （1）见解析； （2） 3 6 【解析】 【详解】试题分析： （1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC 平面ABC， 可知PCDE，再分析已知由2,2DCDECE得CDD
33、E，这样与DE垂直的 两条直线都已找到，从而可得线面垂直； （ 2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的 平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于 2 ACB ，PC 平面ABC，因此 ,CA CB CP两两垂直，可以他们为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求 出平面APD和平面CPD的法向量 12 ,n n ，向量 12 ,n n 的夹角与二面角相等或互补，由此 可得结论 试题解析： （1）证明：由 PC平面 ABC，DE平面，故 PC DE 由 CE，CD=DE 得为等腰直角三角形，故 CDDE 由 PCCD=C，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，故
34、 DE平面 PCD （2）解：由（）知，CDE 为等腰直角三角形，DCE 4, ，如（）图，过点作 DF 垂直 CE 于，易知 DF FCEF，又已知 EB ， 故 FB 由ACB 2, 得 DF/ /AC， 2 3 DFFB ACBC ，故 AC 3 2 DF 3 2 以为坐标原点，分别以,CACB CP ， 的方程为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标 系，则（0,0,0,） ，（0,0,3） ，（32 ,0,0）, （0,2,0 ） ，（1,1,0） ，(1, 1,0),ED 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - ( 1, 1,3)( , 1,0)
35、DPDA ， 设平面PAD的法向量 111 ,)nx y z （ ， 由0nDP ，0nDA ， 得 111 1 11 30 (2,1,1 0 + ) 1 2 xyz n xy 故可取 . 由（1）可知 DE平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 2n 可取为ED ,即 2 (1, 1,0)n . 从而法向量 1 n u r ， 2 n u u r 的夹角的余弦值为 12 12 12 3 ,= 6| | n n cos n n nn ， 故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为 3 6 . 考点：考查线面垂直，二面角考查空间想象能力和推理能力 21. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab
36、ab 的离心率 6 3 e ，坐标原点O到直线:2l ybx 的距离为 2 （1）求椭圆C的标准方程； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - （2）已知定点1,0E ，若直线20ykxk与椭圆C相交于不同的两点 11 ,A x y、 22 ,B xy，且 0EA EB ，求k的值 【答案】 （1） 2 2 1 3 x y； （2） 7 6 . 【解析】 【分析】 （1）利用原点到直线l的距离为 2求出b的值，再结合离心率的值求出a的值，即可得出椭 圆C的标准方程； （2）将直线2ykx的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的 坐标运算结合 0EA
37、 EB ，可求出实数k的值. 【详解】 （1）坐标原点O到直线:2l ybx的距离为 2，所以 2 2 2 1 b ，1b ， 椭圆C的离心率为 222 222 16 11 3 abb e aaa ，解得 3a . 因此，椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y； （2）联立直线AB与椭圆C的方程 2 2 2 1 3 ykx x y ， 消去y并整理得 22 311290kxkx， 2 36360k ，解得1k 或1k . 由韦达定理得 12 2 12 31 k xx k ， 12 2 9 31 x x k . 1111 1,1,2EAxyxkx ，同理 22 1,2EBxkx ， 2 12
38、121212 11221215EA EBxxkxkxkx xkxx 2 2 911221 50 31 kkk k ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 整理得760k，解得 7 6 k ，满足 . 因此，实数k的值为 7 6 . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用椭圆中向量数量积的运算求参数 值，考查运算求解能力，属于中等题. 22. 已知函数 ,0 x a e f xaR a x . （）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处切线的方程； （）求函数 fx的单调区间； （）当0,x时， 1fx 恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】 （
39、1）y e . （2）0a 时， f x的单调增区间为1 ，；单调减区间为0，和01 ，； 0a 时， f x的单调增区间为0，和01 ，；单调减区间为1 ，. （3） 1 a e . 【解析】 【分析】 （1）求出函数 f x的导函数( ) fx，代入1a ，求得(1) f ，再求(1)f，利用直线方程的 点斜式求解即可. （2）求出( ) fx，通过讨论a的取值，分别求出( )0fx ，( )0fx 所对应的区间即为函 数的单调区间. （3）当0,x时 1f x 恒成立等价于 x x a e 在0,x恒成立，令( ) x x g x e ， 由导数求出函数( )g x的最大值，即可求得a的
40、取值范围. 【详解】 （1） ,0 x a e f xaR a x ，得 22 (1) ( )=(0) xxx ax eaeaex fxx xx . 当=1a时， 2 (1) ( )= x ex fx x ， 1 2 (1 1) (1)=0 1 e f ，即函数 f x在1x 处的切线斜率为 0. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 又 1fe,故曲线 yf x在点 1,1f处切线的方程为y e . (2) ,00, x a e f xx x . 22 (1) ( )= xxx ax eaeaex fx xx , 若0a ，由( )0fx 得1x ；由( )0fx
41、 得1x ，又,00,x ， 所以 f x在1 ，上单调递增，在0，和01 ，上单调递减. 若0a ，由( )0fx 得1x ；由( )0fx 得1x ，又,00,x ， 所以 f x在0，和01 ，上单调递增，在1 ，上单调递减. 综上所述，0a 时， f x的单调增区间为1 ，；单调减区间为0，和01 ，. 0a 时， f x的单调增区间为0，和01 ，；单调减区间为1 ，. （3）0,x时， 1 x ae f x x 恒成立,即 x x a e 在0,x恒成立. 令( ) x x g x e ，则 1 ( ) x x g x e . 则01x时，( )0g x ；1x ，( )0g x . ( )g x在0,1上单调递减，在( ) 1+，上单调递增，则 max 1 ( )(1)g xg e . 1 a e . 【点睛】本题考查函数与导数综合运用.（1）利用导数研究曲线上一点处的切线方程；考查 了导数的几何意义的应用.（2）利用导函数研究函数的单调性：( )0fx ，则函数单调递增； ( )0fx，则函数单调递减.（3）通过参变分离构造函数，利用导数处理恒成立中求参数问 题，其中参变分离后将恒成立问题转化为函数的最值问题，是此问解题的关键步骤. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 -
