1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学（理科）试题数学（理科）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1.设函数 yf x，当自变量x由 0 x改变到 0 xx时，函数的改变量y是（ ） A. 0 f xxB. 0 f xx C. 0 f xxD. 00 f xxf x 【答案】D 【解析】 【分析】 根据自变量对应的函数值，得出函数值的改变量. 【详解】自变量x由 0
2、x改变到 0 xx 当 0 xx时， 0 yfx 当 0 xxx时， 0 yfxx 00 yfxxfx 故选：D 【点睛】本题主要考查了平均变化率，属于基础题. 2.函数 cos 6 fx 的导数是（） A. 0B. 1 2 C. 1 2 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】 常数函数的导数为 0. 【详解】 3 cos 62 f x ， 0fx. 故选：A 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3.函数 y= 1 2 x 2 x 的单调递减区间为 A. （1,1B. （0,1C. 1，+）D. （0，+）
3、 【答案】B 【解析】 对函数 2 1 ln 2 yxx求导，得 2 11x yx xx （x0）,令 2 1 0 0 x x x 解得(0,1x，因 此函数 2 1 ln 2 yxx的单调减区间为(0,1，故选 B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐 含的定义域 4.复数 3 1 i i 等于（ ） A.1 2iB.1 2iC.2iD.2i 【答案】C 【解析】 试题分析： 3(3)(1)42 2 1(1)(1)2 iiii i iii ，故选 C 考点：复数的运算 5.函数 3 x f xxe的单调递增区间是（） A.,2B.0,3C.1,4D
4、.2, 【答案】D 【解析】 【分析】 求导分析导函数大于 0 的区间即可. 【详解】易得 2 x fxxe,当 0fx 时解得2x .故函数 3 x f xxe的单调 递增区间是2,. 故选：D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题. 6.在复平面内，设 z=1+i（i 是虚数单位） ，则复数 +z 2对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论 解：z=1+i， +z 2= +（1
5、+i） 2= =1i+2i=1+i， 对应的点为（1，1） ，位于第一象限， 故选 A 点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键 7.观察按下列顺序排列的等式：9 0 1 1 ，9 1 211 ，9 2321 ，9 3431,. ， 猜想第Nn n 个等式应为（） A.9( +1)+ =10 +9nnnB.9(1)+ =109nnn C.9 +(1)=101nnnD.9(1)+1 =1010nnn 【答案】B 【解析】 解：因为：9 0 1 1 ，9 1 211 ，9 2321 ，9 3431 ，则可以归纳猜想 第()n n N个等式应为9(1)109nnn
6、，故选 B 8.已知 2 21f xx xf ，则 0 f 等于（） A.4B. 4C.2D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数 ( )f x求导，在导函数中代入 1x ，化简求出 (1) f 的值，再取0 x ，即可求出 (0) f 【详解】由题可得：( )22(1)fxxf ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 取1x 可得(1)2 12(1)ff ，解得：(1)2 f ， 则(0)2 02(1)2 02 ( 2)4ff . 故选：A 【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键是理解原函数解析式中(1) f ，在这里的(1) f 只 是一个常数，属于基础
7、题 9.在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了 优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”事 实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是（） A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】 通过推理假设某一个说的是假话，推出矛盾，得到结果. 【详解】假设丙说的是假话，即甲得优秀，则乙说的也是假话，不成立； 假设乙说的是假话，即乙没有得优秀，又甲没有得优秀，故丙得优秀； 假设甲说的是假话，即甲得优秀，则乙说得也是假话，不成立. 故选：C 【点睛】本题考查了合情推理，先假设再推理出
8、结果，考查了学生的逻辑推理能力. 10.已知函数 yf x的图象在点 1,1f处的切线方程为210 xy ，则 12 1ff的值为 A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 【答案】D 【解析】 由1 210y 得1y ，因此有(1)1f， 1 (1) 2 f， 1 (1)2(1)122 2 ff 故 选 D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 11.已知函数 2 2 ln2f xaxxx（aR）在定义域上为单调递增函数，则a的最小值 是（） A. 1 4 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 原题等价于 2 220 a f
9、xx x 在(0,)恒成立，即 2 axx 在(0, )恒成立，再 求二次函数的最大值即得解. 【详解】由题得 2 220 a fxx x 在(0,)恒成立， 所以 2 axx 在(0, )恒成立， 因为函数 2 yxx 在(0,)上的最大值为 1 4 ， 所以 1 4 a ， 所以a的最小值为 1 4 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，意在考查学生对该知识的理解掌握 水平. 12.若函数 fx对任意xR的都有 fxf x 恒成立，则（） A.3 (ln2)2 (ln3)ffB.3 (ln2)2 (ln3)ff C.3 (ln2)2 (ln3)ffD.3 (ln
10、2)f与2 (ln3)f的大小不确定 【答案】C 【解析】 【详解】令 x f x g x e ,则 x fxf x gx e ， 因为对任意xR都有f(x)0,即g(x)在R上单调递增， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 又ln2ln3,所以g(ln2)g(ln3),即 ln2ln3 ln2ln3ff ee ， 即 3f(ln2)2f(ln3)， 本题选择C选项. 点睛：点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中某 些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本 质，那么运用函数的单调性解题，能
11、起到化难为易、化繁为简的作用因此对函数的单调性 进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的根据题目的特点， 构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧许多问题，如果运用这 种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.若 2x f xxe，则 1 f _ 【答案】 2 3e 【解析】 【分析】 根据导数运算法则求出 fx ，再计算 1 f 即可. 【详解】 222 21 2 xxx fxex ex e，所以 2 13fe.
12、 故答案为： 2 3e 【点睛】本题主要考查导数的运算，属于基础题. 14.曲线 2 1 yx x 在点（1，2）处的切线方程为_ 【答案】 1yx 【解析】 设( )yf x，则 2 1 ( )2fxx x ，所以(1)2 11 f ， 所以曲线 2 1 yx x 在点(1,2)处的切线方程为21 (1)yx ，即1yx 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜 率，其求法为：设 00 (,)P xy是曲线( )yf x上的一点，则以P为切点的切线方程是 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 000 ()()yyfxxx 若曲线(
13、 )yf x在点 00 (,()P xf x处的切线平行于y轴（即导数 不存在）时，由切线定义知，切线方程为 0 xx 15.下列结论正确的是_（填写序号） 若ln2y ，则 1 2 y=；若 2 1 y x ，则 3 2 27 x y ； 若2xy ，则2 ln2 x y ；若 2 logyx，则 1 ln2 y x 【答案】 【解析】 【分析】 根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得： 对于中，函数ln2y ，则0y ，所以不正确； 对于中，函数 2 1 y x ，可得 3 2 y x ，所以 3 2 27
14、 x y ，故正确； 对于中，函数2xy ，可得2 ln2 x y ，所以正确； 对于中，函数 2 logyx，则 1 ln2 y x ，所以正确. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了导数的运算法则及其应用，其中解答中熟记基本初等函数的导数公 式是解答的关键，属于基础题. 16.函数 f(x)x 33ax23(a2)x1 有极大值又有极小值，则 a 的范围是 【答案】 【解析】 【分析】 将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解a的取值范围即可. 【详解】由题意可得： 2 3632fxxaxa， 若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程 2 36320 xaxa有两个不同的实
15、数根， 即： 2 64 3 320aa ，整理可得：整理可得：36120aa， 据此可知a的取值范围是2a 或1a . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【点睛】(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右 侧f(x)的符号不同 (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增 或减的函数没有极值 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 个大题，共个大题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.计
16、算下列各式的值 （1） 0 sincosdxxx ； （2） 3 2 1 32dxxx 【答案】 （1）2； （2） 【解析】 【分析】 （1）由题得 0 0 sincosd( cossin )|xxxxx ，计算即得解； （2）如图，先求出扇形ACB的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】 （1）由题得 0 0 sincosd( cossin )|( cossin )( cos0sin0)xxxxx =1 0 102 ； （2）令 222 (32),(1)4(13,0)yxxxyxy ， 因为 3 2 1 32dxxx 等于1,3,xxx轴和曲线ADB所围成的曲边梯形的面积， 如图
17、扇形ACB， 扇形ACB的面积为 2 1 2 = 4 ， 所以 3 2 1 32dxxx . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解 掌握水平. 18.已知复数z的共轭复数是z，且满足292z zizi，求z 【答案】1 2zi 或1 4zi 【解析】 【分析】 设( ,)zabi a bR，则z abi ，根据292z zizi，根据复数相等的条件，列出 方程组，即可求解. 【详解】设( ,)zabi a bR，则z abi ， 因为z292zizi，所以292abiabii abii，
18、 即 22 2292abbaii ，所以 22 29 22 abb a ，解得1a ， 代入得 2 280bb ，解得2b 或4b 所以1 2zi 或1 4zi 【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数相等的充要条件的应用，其中解答中熟记复 数相等的条件，列出方程组解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 19.已知函数 f(x)x 34x25x4 (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程 【答案】 （1）xy40 （2）xy40 或 y20 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【解析】 解：(
19、1)f(x)3x 28x5， f(2)1，又 f(2)2， 曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(2)x2，即 xy40 (2)设切点坐标为(x0，x0 34x 0 25x 04)， f(x0)3x0 28x 05， 切线方程为 y(2)(3x0 28x 05)(x2)， 又切线过点(x0，x0 34x 0 25x 04)， x0 34x 0 25x 02(3x0 28x 05)(x02)， 整理得(x02) 2(x 01)0，解得 x02 或 x01， 经过 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40 或 y20 20.已知函数 32 yaxbx，当1x 时，有极大值
20、3 （1）求, a b的值； （2）求函数y的极小值 【答案】 （1） 6 9 a b ； （2）0 【解析】 【分析】 （1）由题意得 10,13ff ，则可得到关于实数, a b的方程组，求解方程组，即可求 得, a b的值； （2）结合（1）中, a b的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值. 【详解】 （1） 2 32yaxbx ，当1x 时，有极大值 3，所以 1320 13 fab fab ，解得 6 9 a b ， 经检验，满足题意，所以6,9ab ； （2）由（1）得 32 69yxx ，则 2 1818yxx ，令0y ，得0 x 或1x ， 列表得 高考资源网（
21、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - x ,000,11 1, fx 00 fx极小值极大值 易知0 x 是函数的极小值点，所以当0 x 时，函数有极小值 0 【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的极值，考查了学生对 极值概念的理解与运算求解能力. 21.已知a2，函数f(x)(x 2axa)ex . （1）当a1 时，求f(x)的单调递增区间； （2）若f(x)的极大值是 6e -2，求 a的值 【答案】 （1）的单调增区间是（2） 【解析】 【分析】 （1）定义域为R，或所以的单调增 区间为（2）或故-2，-a有可能是的极 值点， 列表判断出时取得极
22、大值且极大值是列方程求出a.函数的单调性与 导数，函数的极值 【详解】试题解析： （1）当a1 时，f(x)(x 2x1)ex，f(x)(x23x2)ex. 由f(x)0，得x 23x20，解得 x2 或x1. f(x)的单调递增区间是(，2，1，) （2）f(x)x 2(a2)x2aex.由 f(x)0，得x2 或xa. a2. 当x变化时，f(x)，f(x)变化情况列表如下： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - x2 时，f(x)取得极大值而f(2)(4a)e 2， (4a)e 26e2.a2. 考点：1、函数的单调性与导数；2、函数的极值 22.已知函数 3
23、2 2 221 3 xxxa xf，其中0a （1）若2a ，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）求 fx在2,3上的最小值 【答案】 （1）6350 xy； （2）73a 【解析】 【分析】 （1） 求出导数， 当2a 时求出 1f、 1 f ， 即可写出切线的点斜式方程；（2） 求出 0fx 的两根，分析函数的单调性，分类讨论函数 fx在2,3上的单调性从而求最小值. 【详解】 （1） fx的定义域为R，且 2 242fxxxa， 当2a 时， 1 1 3 f ， 12 f ， 曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 1 21 3 yx ，即6350 xy （2）由 2
24、 242fxxxa，可知判别式为80a ， 令 0fx ，得 1 2 1 2 a x 或 2 2 1 2 a x ， fx和 fx 的情况如下： x 1 ,x 1 x 12 ,x x 2 x 2, x fx +0 0+ fx极大值极小值 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 故 fx的单调增区间为 2 ,1 2 a ， 2 1, 2 a ；单调减区间为 22 1,1 22 aa ， 当02a时， 2 2x ，此时 fx在2,3上单调递增， fx在2,3上的最小值是 3 2 7 2fa； 当28a时， 12 23xx，此时 fx在 2 2,x上单调递减，在 2,3 x上单调递增， fx在2,3上的最小值是 2 52 33 aa f xa ； 当8a 时， 12 23xx，此时 fx 在 2,3上单调递减， fx在2,3上的最小值是 373fa 综上所述，当02a时， fx在2,3上的最小值是 7 2 3 a； 当28a时， fx在2,3上的最小值是 52 33 aa a ； 当8a 时， fx在2,3上的最小值是73a 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、分类讨论含参函数的单调性 及最值，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 -
