1、第第 2 节节排列与排列与排列数、排列数、组合组合与组合数与组合数 知识梳理 1.排列、组合的定义 (1)排列的定义：一般地，从 n 个不同对象中，任取 m(mn)个对象，按照一定的 顺序排成一列，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个排列.特别地，mn 时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. (2)组合的定义：一般地，从 n 个不同对象中取出 m(mn)个对象并成一组，称为 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个组合. 2.排列数与排列数公式 排列数定义 从n个不同对象中取出m(mn)个对象的所有排列的个数叫 做从 n 个不同对象中取出 m 个对象的排列数 排列数表示法Am
2、n 排列数 公式 乘积式Amnn(n1)(n2)(nm1) 阶乘式Amn n！ （nm） ！ 性质Annn！ 备注规定：0！1，A0n1 3.组合数及组合数公式 组合数定义及表示 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数， 称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的组合数，用符号 C m n表示， 且 m，nN，mn. 组合数公式 乘积形式Cmnn（n1） （n2）n（m1） m（m1）21 阶乘形式Cmn n！ m！ （nm） ！ 性质 CmnCn m n Cm 1 nCmnCm 1 n1 备注C0n1，C1nn，Cnn1 1 解受条件限制的排列、 组合题， 通常有直接法(合理分
3、类)和间接法(排除法) 分 类时标准应统一，避免出现重复或遗漏 2对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别， 避免重复或遗漏 诊断自测 1判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列() (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序() (3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立() (4)(n1)！n！nn！.() (5)kCknnCk 1 n1.() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取 出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)
4、若 CxnCmn，则 x m 或 nm，故(3)错 2从 4 本不同的课外读物中，买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，则不同的送 法种数是() A12B24C64D81 答案B 解析4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法 种数为 A3424. 3计算 C37C47C58C 6 9的值为_(用数字作答) 答案210 解析原式C48C58C69C59C69C610C410210. 4(2020新高考山东卷)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只 去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安 排方法共有
5、() A120 种B90 种C60 种D30 种 答案C 解析先从 6 名同学中选 1 名安排到甲场馆，有 C 1 6种选法，再从剩余的 5 名同 学中选 2 名安排到乙场馆，有 C 2 5种选法，最后将剩下的 3 名同学安排到丙场馆， 有 C 3 3种选法， 由分步乘法计数原理知， 共有 C16C25C3360(种)不同的安排方法 故 选 C. 5(2021湖南四校联考)周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订 购的 4 张电影票恰好在同一排且连在一起为安全起见，每个孩子至少有一侧有 家长陪坐，则不同的坐法种数为() A8B12C16D20 答案C 解析法一将 4 个座位编号如下，4
6、 人的座位可分四种情况，坐家长 坐孩子、坐孩子坐家长、坐家长坐孩子、坐孩子坐家 长，所以不同的坐法种数为 4A22A2216，故选 C. 法二当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长， 所以不同的坐 法种数为 A442A22A2216，故选 C. 6 (2020全国卷)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种 答案36 解析将 4 名同学分成人数为 2，1，1 的 3 组有 C246 种分法，再将 3 组同学分 到 3 个小区共有 A336 种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有 6636
7、 种 考点一排列问题 【例 1】有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数 (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻； (5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定 解(1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57765432520(种) (2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A 3 7种方法，余下 4 人站后排，有 A 4 4种方 法，共有 A37A44504
8、0(种) (3)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A 4 4种方法，再将女 生全排列，有 A 4 4种方法，共有 A44A44576(种) (4)(插空法)先排女生，有 A 4 4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个 空位安排男生，有 A 3 5种方法，共有 A44A351440(种) (5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A 6 6种排列方法， 共有 5A663600(种) 法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另 6 人中的两人，有 A 2 6种排法， 其他有 A 5 5种排法，共有 A26A553600(种) (6)
9、法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有 A 6 6种方法；甲不 在最右边时，可从余下的 5 个位置任选一个，有 A 1 5种，而乙可排在除去最右边 的位置后剩下的 5 个中任选一个有 A 1 5种，其余人全排列，只有 A 5 5种不同排法， 共有 A66A15A15A553720. 法二(间接法)7 名学生全排列，只有 A 7 7种方法，其中甲在最左边时，有 A 6 6种 方法，乙在最右边时，有 A 6 6种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的 情形，有 A 5 5种方法，故共有 A772A66A553720(种) (7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有A 7
10、 7 A33840(种) 感悟升华排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实 际进行排列时一般采用特殊元素优先原则， 即先安排有限制条件的元素或有限制 条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解 决有限制条件的排列问题的常用方法 【训练 1】用 1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比 20000 大，并且百位数不 是数字 3 的没有重复数字的五位数共有() A96 个 B78 个 C72 个 D64 个 答案B 解析根据题意知，要求这个五位数比 20000 大
11、，则万位数必须是 2，3，4，5 这 4 个数字中的一个， 当万位数是 3 时，百位数不是数字 3，符合要求的五位数有 A4424(个)； 当万位数是 2， 4， 5 时， 由于百位数不能是数字 3， 则符合要求的五位数有 3(A44 A33)54(个)， 因此共有 542478(个)这样的五位数符合要求故选 B. 考点二组合问题 【例 2】某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4
12、)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234561(种)，某一种假货必须在 内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 3 34种或者 C335C234C3345984(种) 某一种假货不能在内的不同取法有 5984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C2152100(种) 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C 2 15种，选取 3 种假货有 C
13、3 15种，共有选取方式 C120C215 C31521004552555(种) 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2555 种 (5)选取 3 种的总数为 C335，选取 3 种假货有 C 3 15种，因此共有选取方式 C335C31565454556090(种) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6090 种 感悟升华组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足； “不含”， 则先将这些元素剔除， 再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至 少”与“
14、至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可 以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 【训练 2】 (1)(多选题)(2021青岛调研)在新高考方案中，选择性考试科目有：物 理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学生根据高校的要求，结合自身特长 兴趣，首先在物理、历史 2 门科目中选择 1 门，再从政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某 学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6 门课程中选三门作为选考科 目，下列说法正确的是() A若任意选科，选法总数为 C24 B若化学必选，选法总数为
15、 C12C13 C若政治和地理至少选一门，选法总数为 C12C12C13 D若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 C12C121 (2)在一次演唱会上共 10 名演员，其中 8 人能够唱歌，5 人会跳舞，现要演出一 个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目，有_种选派方法(用数字作答) 答案(1)BD(2)199 解析(1)若任意选科， 选法总数为 C12C24， A 错误； 若化学必选， 选法总数为 C12C13， B 正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为 C12(C12C121)，C 错误；若物理 必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 C12C121，D 正确 (2)10 名演员中有
16、 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞，3 人为全能演员以只会唱歌的 5 人是否选上唱歌人员为标准进行研究，只会唱歌的 5 人中没有人选上唱歌人员 共有 C23C 2 3种，只会唱歌的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C15C13C 2 4种，只会唱歌的 5 人中只有 2人选上唱歌人员有 C25C 2 5种， 由分类加法计数原理共有C23C23C15C13C24 C25C25199(种) 考点三分组、分配问题 角度 1不等分问题 【例 3】若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则 有_种不同的分法 答案360 解析将 6 名教师分组，分三步完成： 第 1
17、步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C 1 6种取法； 第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C 2 5种取法； 第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C 3 3种取法 根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C3360 种取法 再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A336 种分法， 根据分步乘法计数原理可得共有 606360 种不同的分法 角度 2平均分组问题 【例 4】将 9 名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日 3 天参加社区公益 活动， 每天分别安排 3 人， 每人参加一次， 则不同的安排方案共有_种(用 数字作答) 答案1680 解析
18、先选出 3 人，有 C 3 9种，再由剩下的 6 人中选出 3 人，有 C 3 6种，最后由剩 下的 3 人为一组，有 C 3 3种 由分步乘法计数原理以及每 A 3 3中只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排 方案共有C 3 9C36C33 A33 A331680(种) 角度 3部分均分问题 【例 5】10 个人参加义务劳动，分成 4 组，各组分别为 2 人、2 人、2 人、4 人， 则不同的分组方案共有_种(用数字作答) 答案3150 解析由于分成 2 人、2 人、2 人、4 人的四个组对应的种数分别为 C210，C28，C26， C 4 4种，由分步乘法计数原理以及每 A 3 3中只能
19、算一种不同的分组方法，可得不同 的分组方案共有C 2 10C28C26C44 A33 3150(种) 感悟升华1.平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数 的全排列 2对于分堆与分配问题应注意三点：(1)处理分配问题要注意先分堆再分配； (2)被分配的元素是不同的；(3)分堆时要注意是否均匀 3对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！. 【训练 3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培 养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有 6 个免费培养的教育专 业师范毕业生要平均分到
20、 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法(用数 字作答) (2)(2021长沙调研)学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的 班，选课结束后，有 5 名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收 2 名同 学，那么安排好这 5 名同学的方案有_种(用数字作答) 答案(1)90(2)90 解析(1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C 2 6C24C22 A33 种方法，再将 3 组毕业生分 到 3 所学校，有 A336 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，根据分类乘法 计数原理可得共有C 2 6C24C22 A33 A3390 种分派方法 (2)由已知可得， 先将5名
21、学生分成3组， 有C 1 5C24C22 A22 15种， 所以不同分法有15A33 90(种) A 级基础巩固 一、选择题 1用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为() A8B24C48D120 答案C 解析末位数字排法有 A 1 2种，其他位置排法有 A 3 4种，共有 A12A3448 种 2不等式 Ax86A x2 8的解集为() A2，8B2，6C7，12D8 答案D 解析 8！ （8x） ！6 8！ （10 x） ！， x219x840，解得 7x12. 又 x8，x20， 7x8，xN*，即 x8. 3(多选题)(2021烟台调研)若 3 男 3 女排成一
22、排，则下列说法错误的是() A共计有 720 种不同的排法 B男生甲排在两端的共有 120 种排法 C男生甲、乙相邻的排法总数为 120 种 D男女生相间排法总数为 72 种 答案BC 解析3 男 3 女排成一排共计有 A66720 （种） ； 男生甲排在两端的共有 2A55240 （种） ； 男生甲、 乙相邻的排法总数 A22A55240 （种） ； 男女生相间排法总数 2A33A33 72（种） ，故选 BC. 4(2020新高考海南卷)3 名大学生利用假期到 2 个山村参加扶贫工作，每名大 学生只去 1 个村，每个村至少 1 人，则不同的分配方案共有() A4 种 B5 种 C6 种 D
23、8 种 答案C 解析先将 3 名大学生分成 2 组有 C13C 2 2种分法， 再分配到 2 个村有 A 2 2种分法， 则不同的分配方案共有 C13C22A226（种） 故选 C. 5某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课 安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有() A60 种 B30 种 C120 种 D24 种 答案A 解析把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有 A55120 种情 况， 其中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比 化学先上的排法有120 2 60（种） 故选 A. 6(2020东北三省三校模
24、拟)安排 5 名学生去 3 个社区进行志愿服务，且每人只 去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共 有() A360 种B300 种C150 种D125 种 答案C 解析分 2 步分析：先将 5 名学生分成 3 组，有两种分组方法，若分成 3，1，1 的三组，则有 C3510 种分组方法；若分成 1，2，2 的三组，则有C 1 5C24C22 A22 15 种 分组方法，则一共有 101525 种分组方法再将分好的三组全排列，对应三 个社区，有 A336 种情况，则有 256150 种不同的安排方式，故选 C. 7(2021重庆诊断)金庸先生的武侠小说射雕英雄传第
25、 12 回中有这样一段情 节，“洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋 味，一共有几般变化，我可算不出了”现有五种不同的肉，任何两种(含两种) 以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为 () A20B24C25D26 答案D 解析现有五种不同的肉，若两种不同的肉混合后，有 C2510 种不同的滋味； 若三种不同的肉混合后，有 C3510 种不同的滋味；若四种不同的肉混合后，有 C455 种不同的滋味；若五种不同的肉混合后，有 1 种不同的滋味，则共有 10 105126 种不同的滋味，故选 D. 8(2021山东部分高中联考)甲、乙、丙 3 人
26、站到共有 6 级的台阶上，若每级台 阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是() A90B120C210D216 答案C 解析因为甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，且每级台阶最多站 2 人，所 以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有 C36A33120 种站 法；第二类，有 2 人站在同一级台阶上，剩余 1 人独自站在一级台阶上，共有 C23C26A2290 种站法综上，每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站 的位置的不同的站法种数是 12090210.故选 C. 二、填空题 9已知 1 Cm5 1 Cm6 7 10Cm7 ，则
27、 m_ 答案2 解析由组合数公式化简整理得 m223m420，解得 m2 或 m21(舍去) 10 (2021武汉高中检测)某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设 有青铜器、瓷器、书画三个场馆若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时 间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同， 并且每个年级的学生在三个时间段 内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有_种(用数字作答) 答案12 解析三个年级的学生在三个时间段内各参观青铜器、瓷器、书画三个场馆，且 每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，共有 2A3312 种方法 11从 2 位女生、4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1
28、位女生入选，则 不同的选法共有_种(用数字作答) 答案16 解析法一可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C12C2412 种；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C22C144 种根据 分类加法计数原理知，至少有 1 位女生入选的不同的选法有 12416（种） 法二从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C3620（种） ，从 6 人中任选 3 人都是 男生，不同的选法有 C344（种） ，所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20 416（种） 12把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法
29、有_种(用数字作答) 答案36 解析将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A 4 4 种方法，将产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行 全排列，共有 A22A 3 3种方法于是符合题意的摆法共有 A22A44A22A3336(种) B 级能力提升 13(2021福州调研)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法 种数为() A144B120C72D24 答案D 解析“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两 人不相邻的坐法种数为 A3443224. 14将标号为 1，2，3，4，
30、5，6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中若每个盒 子放 2 个，其中标号为 1，2 的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有() A12 种B16 种C18 种D36 种 答案C 解析先将标号为 1，2 的小球放入盒子，有 3 种情况；再将剩下的 4 个球平均 放入剩下的 2 个盒子中，共有C 2 4C22 A22 A226 种情况，所以不同的方法共有 36 18(种)故选 C. 15从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有_种不同的选法(用数 字作答) 答案660 解析法一只有 1 名女
31、生时，先选 1 名女生，有 C 1 2种方法；再选 3 名男生， 有 C 3 6种方法； 然后排队长、 副队长位置， 有 A 2 4种方法 由分步乘法计数原理知， 共有 C12C36A24480 种选法 有 2 名女生时，再选 2 名男生，有 C 2 6种方法；然后排队长、副队长位置，有 A 2 4种方法由分步乘法计数原理知，共有 C26A24180 种选法所以依据分类加 法计数原理知，共有 480180660 种不同的选法 法二不考虑限制条件， 共有 A28C 2 6种不同的选法， 而没有女生的选法有 A26C 2 4种， 故至少有 1 名女生的选法有 A28C26A26C24840180660(种) 16(2020郑州二模改编)2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立 70 周年国庆 日，将 2，0，1，9，10 按照任意次序排列成一行，拼成一个 6 位数，则产生的 不同的 6 位数的个数为_(用数字作答) 答案84 解析根据题意，将 2，0，1，9，10 按照任意次序排成一行，“10”是一个整体， 有 A55120 种情况， 其中数字“0”在首位的情况有 A4424（种） ， 数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有 A4424（种） ， 则可以产生 12024241284 个不同的 6 位数
